Tema : Probabilidad.

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1 Tema : Probabilidad

2 Cuando realizamos un experimento, diremos que es:
SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

3 Sucesos E espacio muestral E espacio muestral A A’ E espacio muestral
Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E) Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral. Pueden ser simples o compuestos Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es el formado por los elementos que no están en A Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B E espacio muestral A A’ E espacio muestral A B E espacio muestral A B E espacio muestral A B UNIÓN INTERS.

4 PROPIEDADES DE LOS SUCESOS COMPLEMENTARIOS:
Los sucesos aleatorios se pueden representar mediante un diagrama, llamado diagrama de Venn. Ejemplo A = "salir nº par"

5 Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es
{1,2,3,4,5,6} Algunos eventos: Sacar un número impar: A={1,3,5} Sacar un número primo: B={1,2,3,5} Sacar un número que no sea impar: AC={2,4,6} Sacar un número primo no impar: B ∩ AC={2}

6 Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}} Sacar cara
Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado” el espacio muestral es {{1,C}, {1,X}, {2,C}, {2,X}, {3,C}, {3,X}, {4,C}, {4,X}, {5,C}, {5,X}, {6,C}, {6,X}} Algunos eventos: Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}} Sacar cara B={{1,C}, {2,C}, {3,C}, {4,C}, {5,C}, {6,C}} Sacar un número par D={{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}} Sacar cara o un número par B U C= {{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}, {1,C}, {3,C}, {5,C}} Sacar cara y un número par B ∩ C= {{2,C}, {4,C}, {6,C}}

7 Nociones de Probabilidad
Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimación de la probabilidad) Teórica - “A Priori” Pr (Ai) = n / N n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado N = número total de resultados posibles Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori” Pr (Ai) = n/N n = número de veces que ocurrio “Ai” N = número total de observaciones Subjetiva La “Opinión de un Experto”

8 CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD
Experimento que está sujeto al azar n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es: P(A) = nA/n Ejemplos: Con una baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3? 12/40=3/10 Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar? 3/6=1/2 ¿Qué hacemos si los sucesos no son equiprobables? ¿Cómo contamos los posibles resultados de un experimento?

9 (Eventos Equiprobables)
EN RESUMEN: Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Noción intuitiva: P(A) = Resultados favorables al evento A Resultados posibles Noción frecuentista: Sea N: N° total de veces que se realiza un experimento NA: N° total de veces que ocurre A P(A) =

10 Probabilidad Axiomática
Axioma 1: P(A)  0 Axioma 2: P(E) = 1 Suponiendo que A1, A2,..... son eventos mutuamente excluyentes (si Ai∩Bj=Ø) Axioma 3: P(Ai) = P(Ai) E espacio muestral A

11 Propiedades 1. P() = 0 2. P(A)  1 3. P(AC) = 1 - P(A)
4. Si A  B  P(A)  P(B) 5. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Def: Diferencia de sucesos(A-B): Elementos de A que no pertenecen a B A – B = ABc Prop.: Si A  B  P(B-A) = P(B) - P(AB)

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13 Experimento Aleatorio
II 1 2 3 Se toma al azar una esfera de la urna I Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

14 Espacio Muestral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas han sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir 2 1 3 II Traspasar Roja # 1 3 2 1 3 Estas 12 formas en que puede ocurrir el experimento – cada una con identica posibiloidad - es lo que llamamos el Espacio Muestral. ¿Cuál es la probabilidad que la esfera sacada de la urna II sea verde? A :={la esfera sacada de la urna dos es de color verde} Existen cinco (5) resultados favorables al evento, cada uno con una probabilidad de ocurrur 1/12. Casos: 4, 7, 8, 11 y 12 Luego A = { 4, 7, 8, 11, 12} Entonces p(4)=p(7) =.....= p(12) = 1/12 P(A) = p(4)+ p(7)+ p(8) + p(11)+ p(12) = 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12 = 4/ 12 Número de casos favorables al evento Número total de eventos posibles I II 1 Traspasar Verde # 1 2 2 2 3 II Traspasar Verde # 2 3 P(A) = 2

15 Probabilidad Condicional
Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B: W Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que ha ocurrido el evento B Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B A Sea un Call Center de una gran organización. Supongamos que se ha declarado que un tiempo de respuesta satisfactorio debe ser entre 10 y 30 segundos Sea A = {tiempo respuesta es mayor de 20 segundos} B = {tiempo de respuesta es menor de 25 segundos} Calcular la probabilidad que el tiempo de respuesta para una llamada dada sea menor de 25 segundos, dado que la llamada lleva más de 20 segundos: P(B | A) Podemos apreciar que el tiempo de respuesta es mayor de 20 segundos el 50% de las veces y que el tiempo de respuesta entre 20 y 25 segundos A ^ B ocurre el 25% de las veces. Luego P(B | A ) = .25 / .50 = .50 B B A

16 Casos Probabilidad Condicional
Si A  B =   P(A | B) = = = 0 P(A  B ) P(B) P() A B Si A  B = A  P(A | B) = = = P(A) P(A  B ) P(B) P(A) A B Si A  B = B  = P(A | B) = 1 P(A  B ) P(B) A B Si A  B    P(A | B) = P(A  B ) P(B) No confundáis probabilidad condicionada con intersección.

17 Intuir la probabilidad condicionada
P(A) = 0,25 P(B) = 1/16 P(A∩B) = 1/16 P(A) = 0,25 P(B) = 1/16 P(A∩B) = 1/64 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=1/4

18 Los problema de probabilidad pueden resolverse a partir de las propiedades de los axiomas, pero además son útiles las siguientes expresiones: P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) P(A∩B∩C)= P(A) P(B|A) P(C|A∩B)

19 Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A
Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0,9 P(B)=0,8 P(C)=0,7 P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956 Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar ¿cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A? Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A. P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28)=0,28079

20 Independencia de sucesos
Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro. A es independiente de B  P(A|B) = P(A)  P(A ∩ B) = P(A) P(B)

21 Partición disjunta del espacio muestral
Es una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. ¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? A1 A2 Suceso seguro A1 A2 A3 A4 A3 A4

22 Divide y vencerás A1 A2 Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) B Suceso seguro A1 A2 A3 A4 B A3 A4 Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.

23 Teorema de la probabilidad total
Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. A1 A2 B P(B|A1) Suceso seguro A1 A2 A3 A4 B P(A1) P(B|A2) P(A2) A3 A4 P(B|A3) P(A3) P(A4) P(B|A4) P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

24 ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H) =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 =13% Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta Mujer Fuma Fuman Hombre 0,1 Mujer 0,9 0,7 No fuma Estudiante Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

25 Teorema de Bayes Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. A1 A2 B A3 A4 donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) = = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

26 Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres
Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. Se elije a un individuo al azar y es… fumador ¿Probabilidad de que sea un hombre? Mujer Fuman Fuma Hombre 0,1 Mujer 0,7 0,9 No fuma Estudiante Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma

27 P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC)
Ejemplo III 1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (, , P) tales que: P(B)=0,4 P(AB)=0,7 P(A/B)=0,75 Determinar: P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC)

28 Solución P(AC) = 1 - P(A) P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(AB) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3 P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6 P(AC) = 0,4 P(A-B) = P(ABC) = P(A) - P(AB) = 0,6 - 0,3 = 0,3 P(ACBC) = P(AC) + P(BC) - P(ACBC) P(ACBC) = P(BC) - P(ABC) = 0,6 - 0,3 = 0,3 Luego P(ACBC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7 P(A/BC) = P(ABC) = 0,3 = 0,5 P(BC) 0,4

29 Ejemplo IV Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50 ; p3 = 0,25. Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes: i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante horas. ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

30 Solución i) P(C) = = 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25 = 0,225.
ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3) P(C) = 0,4 * 0,25 = 0,444. 0,225