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¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística? ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un corte de ruta cuando voy a clase? Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el concepto de probabilidad. La idea intuitiva es lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso. En este capítulo vamos a: › Definir probabilidad. › Reglas de cálculo. › Teorema de Bayes 2
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3 Surge de preguntarse cómo repartir el dinero apostado en un juego de azar que se interrumpe antes de finalizarlo????? Blaise Pascal 1623-1662 Fermat 1601-1665
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Determinísticos 4 Aleatorios AZAR
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Se arroja un dado : Si observamos su cara superior, el conjunto de resultados posibles es Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 5
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Ejemplo 2:Se arrojan dos dados y se observa la suma de sus caras. 6 Ω 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
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7 Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC,..., X..XC,.... }
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8 = {(x,y)/ x = 1, 2.. 6, y = 1, 2.. 6 } Ω 123456 Ω A = {(x,y) / x + y = 5 } A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} A
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9 E espacio muestral A A’ Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestra (Ω). Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados. Se llama suceso complementario de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A
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10 E espacio muestral A B Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). E espacio muestral A B UNIÓN Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B E espacio muestral A B INTERSEC.
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11 Espacio muestra equiprobable # (cardinal de ) a la cantidad de resultados posibles del experimento cada resultado posible tiene una probabilidad de 1/# Ω de ocurrir. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD. Sea A un subconjunto de, Ω, simbolizando con #A al cardinal de A que indica el número de casos favorables al suceso A, calculamos la probabilidad de dicho suceso (siempre que sea equiprobable) como el cociente:
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12 PROPIEDAD 10 ≤P(A) ≤ 1 Como 0 ≤ #A ≤ # Ω PROPIEDAD 2 Como # = 0 P( )= 0 PROPIEDAD 3P( Ω ) =1 Ya que P( Ω ) =
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13 PROPIEDAD 4 P (A B) = P(A) + P(B), si A B = Si A B =, entonces #(A B) = #A + #B. PROPIEDAD 5 P (A B) = P(A) + P(B)- P(A B) si A B ≠ PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A) A A’ A B A B
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14 DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD. Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del experimento. Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad teórica del suceso A y la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del suceso A. Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones del experimento.
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nfhnf h 1060,60110560,51 2080,40120630,53 30140,47130610,47 40190,48140720,51 50250,50150750,50 60310,52160780,49 70380,54170830,49 80430,54180890,49 90460,51190950,50 100510,512001010,50 15
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16 P (A B) = P(A) + P(B), si A B = P (A B C) = P(A) + P(B) + P(C), si A B C = Sucesos Excluyentes Sucesos No Excluyentes P (A B) = P(A) + P(B)- P(A B)
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17 Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B : E espacio muestral A B
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18 B A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,10 B A ¿Probabilidad de A dado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,08
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19 A B A B ¿Probabilidad de A dado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0
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Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico: › A indep. B P(A|B) = P(A) Dicho de otra forma: › A indep. B P(AB) = P(A) P(B) 20
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21 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 Son una colección de sucesos A 1, A 2, A 3, A 4 … Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A4A4 A2A2 A1A1
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22 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A 1 ) U (B∩A 2 ) U ( B∩A 3 ) U ( B∩A 4 ) Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.. A3A3 A4A4 A2A2 A1A1
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23 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B) = P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + … A3A3 A4A4 A2A2 A1A1
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› P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% Tema 4: Probabilidad 24 Mujeres Varones fumadores T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Excl. De sucesos T. Bayes ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% ¿Se elije a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
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25 Estudiante Mujer No fuma Hombre Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
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26 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada A i. P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) =P(B|A 1 ) P(A 1 ) + P(B|A 2 ) P(A 2 ) + … A3A3 A4A4 A2A2 A1A1
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