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Mg. Samuel Oporto Díaz Cinemática Directa INTELIGENCIA ARTIFICIAL.

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1 Mg. Samuel Oporto Díaz Cinemática Directa INTELIGENCIA ARTIFICIAL

2 2/44 Mapa Conceptual del Curso Inteligencia y Conocimiento Patrones Agentes Coordinación y Sincronización Robótica de Manipuladores Robótica Móvil Procesamiento de Imágenes Redes Neuronales

3 3/44 Tabla de Contenido 1.REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN 2.TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 3.Parámetros Denavit-Hartenber

4 4/44 Objetivos Al final del curso el alumnos estará en capacidad de: Describir y analizar movimientos rígidos. Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y operar con los resultados de las ecuaciones. Resolver problemas de cinemática inversa

5 5/44 REPRESENTACION DE POSICION Y ORIENTACION EN EL ESPACIO

6 6/44 Orientación de los ejes en 3-D Regla de la mano derecha X Z Y Z Y X Z Y X

7 7/44 Ejercicio 1 Para los siguientes sistemas de referencia, indique la orientación de los ejes (el lado positivo). X Y Z Y X Z

8 8/44 Sistema de Referencia Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se realizan los cálculos. Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas. x y z x y z β PiPi PfPf PxPx x X XiXi Y YiYi I x {A} {B} {C}

9 9/44 Movimiento del efector final La manipulación de piezas mediante un robot implica conocer la posición del efector final y la orientación que tiene, con respecto a la base del robot. x y z x y z POSICION ORIENTACION

10 10/44 POSICION Una vez que se establece un sistema de coordenadas, podemos localizar cualquier punto en el espacio con un vector de posición (3x1). Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido. A P = pxpypzpxpypz

11 11/44 ORIENTACION Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas. Luego se da la descripción de este sistema de coordenadas relativa al sistema de coordenadas de referencia. Existen varios métodos para representar la orientación: –Matriz de Rotación. –Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ) –Roll, pitch y yaw. –Vector -ángulo (o par de rotación). –Cuaternios.

12 12/44 Giro en ángulo positivo Eje + θ +

13 13/44 ORIENTACION

14 14/44 La orientación de B con respecto a A es representado por: θ θ Y Z

15 15/44 Coordenadas Homogéneas Las matrices que indican la posición y orientación de un espacio no es suficiente para describir un espacio. Por lo que es necesario incluir algunos conceptos adicionales. La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala. T = = R 3x3 p 3x1 f 1x3 w 1x1 Rotación Traslación Perspectiva Escalado

16 16/44 TRANSFORMACION DE COORDENADAS

17 17/44 TRASLACION Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas: PSea el espacio {B} que se desplaza P con respecto al espacio {A} XAXA YAYA ZAZA {A} XBXB YBYB ZBZB {B} P ABAB T = p x p y p z

18 18/44 Ejercicio 2 Sea el espacio {A} y el vector A P = [2 3 4] T. 1.Indique la matriz de transformación para trasladar el espacio {A} en una distancia dada por el ventor P. Esta matriz permite trasladar cualquier punto en el espacio {B} hacia el espacio {A}. 2.Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3] T, [3 4 5] T, [3 2 1] T 3.Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [1 2 2] T, [3 3 5] T, [3 2 2] T

19 19/44 Ejercicio 2 Matriz de transformación de B hacia A. ABAB T = = = =

20 20/44 Ejercicio 2 Matriz de transformación de A hacia B. BABA T = = = =

21 21/44 Ejercicio 3 Cierto sistema, se traslada en P 1, luego se traslada en P 2 y luego en P 3, para obtener finalmente el sistema {B}. P 1 = [-3, 3, 2] T, P 2 = [2, 4 -1] T, P 3 = [0, -2, 4] T Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3] T, [3 4 5] T, [3 2 1] T Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [-1 2 3] T, [2 2 2] T, [3 -2 1] T

22 22/44 ROTACION Cómo expresar la rotación de coordenadas. Se implementará la función R( eje, ángulo) La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo. La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano derecha.

23 23/44 Rotación en el eje X Definir las matrices de rotación para los ejes X, Y, Z

24 24/44 Ejercicio 4 El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje Z, calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4] T, dado en el sistema {B}

25 25/44 Ejercicio 4 60º X Y X Z Y c π/3 -s π/3 0 0 c π/3 c π/ Rot(z, π/3) = c π/3 -s π/3 0 0 c π/3 c π/

26 26/44 Ejercicio 5 El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje X, luego 60º alrededor del eje Y y luego 60º alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4] T, dado en el sistema {B}

27 27/44 Parámetros Denavit-Hartenber

28 28/44 Conceptos de robótica Cadena cinemática abierta formada por eslabones y articulaciones: –Rotación –Prismáticas Estudio cinemático Estudio dinámico

29 29/44 Conceptos de geometría espacial Consideraremos como sistemas de referencia los formados por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z): –Ortogonales (perpendiculares 2 a 2) –Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales) –Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los otros 2)

30 30/44 Conceptos de geometría espacial Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje. Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas:

31 31/44 Traslaciones y Rotaciones

32 32/44 Matriz de Transformación T Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).

33 33/44 Cinemática directa Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones. (x, y, z, α, β, γ) = f (q 1,q 2,...,q n )

34 34/44 Resolución cinemática directa S n = T. S 0 S n es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas S 0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

35 35/44 Cinemática inversa Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas. No existe solución única. (q 1,q 2,...,qn) = f(x, y, z, α, β, γ)

36 36/44 Obtención de la matriz T Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas. Parámetros de D-H.

37 37/44 Algoritmo Elegir un sistema de coordenadas fijo (X 0, Y 0, Z 0 ) asociado a la base del robot Localizar el eje de cada articulación Z: Si la articulación es rotativa, el eje será el propio eje de giro. Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento.

38 38/44 Algoritmo Situar los ejes X el la línea normal común a Z i-1 y Z i. Si estos son paralelos, se elige la línea normal que corta ambos ejes El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro

39 39/44 Algoritmo Parámetros de D-H: α i : ángulo entre el eje Z i-1 y Z i, sobre el plano perpendicular a X i. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd). a i : distancia entre los ejes Z i-1 y Z i, a lo largo de X i. El signo lo define el sentido de X i. θ i : ángulo que forman los ejes X i-1 y X i, sobre el plano perpendicular a Z i,. El signo lo determina la rmd. d i : distancia a los largo del eje Z i-1 desde el origen del sistema S i-1 hasta la intersección del eje Z i, con el eje X i. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

40 40/44 Algoritmo α i : ángulo entre el eje Z i-1 y Z i, sobre el plano perpendicular a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

41 41/44 Algoritmo a i : distancia entre los ejes Z i-1 y Z i, a lo largo de X i. El signo lo define el sentido de X i.

42 42/44 Algoritmo θ i : ángulo que forman los ejes X i-1 y X i, sobre el plano perpendicular a Z i,. El signo lo determina la rmd.

43 43/44 Algoritmo d i : distancia a los largo del eje Z i-1 desde el origen del sistema S i-1 hasta la intersección del eje Z i, con el eje X i. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

44 44/44 Ejemplo

45 45/44 Obtención de T Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.

46 46/44 Resolución cinemática directa Resolución cinemática directa S n = T. S 0 S n es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas S 0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

47 47/44 Puma 560

48 48/44 Bibliografía John Craig, Introduction to robotics, Addison Wesley. G. Dudek and M. Jenkin, Computational Principles of Mobile Robotics, Cambridge University Press.

49 49/44 PREGUNTAS


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