CICLO LECTIVO 2013 2º JORNADA.

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1 CICLO LECTIVO 2013 2º JORNADA

2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EJES DE TRABAJO DE LA JORNADA CAMPO CONCEPTUAL ADITIVO EVALUACIÓN CAMPO CONCEPTUAL MULTIPLICATIVO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

3 TODOS LOS PROBLEMAS DE SUMA
¿SON IGUALES?

4 Lucía debe leer un libro de 74 páginas. Ha leído 28 páginas
Lucía debe leer un libro de 74 páginas. Ha leído 28 páginas. ¿Cuántas páginas le quedan por leer? En una caja hay manzanas y peras. Hay 45 manzanas y 37 peras. ¿Cuántas frutas hay en la caja? Facundo juega una partida y pierde 12 bolitas. Juega otra vez y pierde 6. ¿Cuántas perdió en total? Al otro día, Facundo juega una partida y gana 3 bolitas. Juega otra vez y pierde 5. ¿Cómo le fue en el juego? Pablo le debe 15 bolitas a Manuel. Le devuelve ¿Le sigue debiendo? ¿Cuántas? Manuel le debe 3 bolitas a Facundo y Facundo le debe 5 bolitas a Manuel. En definitiva ¿quién le debe a quién? ¿Cuántas? Ignacio tiene 12 bolitas antes de jugar con sus compañeros. Luego del juego le quedan 18 bolitas. ¿Ganó o perdió bolitas? ¿Cuántas?

5 ¿QUÉ PROBLEMAS DE SUMA TRABAJAMOS EN PRIMER CICLO?

6 Composición de medidas
Son problemas en los que dos medidas se combinan para obtener una tercera. m1 m2 M

7 m1 m2 ? En 1°C hay 13 niños y 6 niñas. ¿Cuántos alumnos hay? m1 ? M En 1°C hay 19 alumnos. Si 13 son niños, ¿Cuántas niñas hay? ? m2 M En 1°C hay 19 alumnos. Si 6 son niñas, ¿Cuántas niños hay?

8 Transformación (positiva/negativa) de medidas
Se trata de fenómenos en los que se produce una modificación en el devenir cronológico de los estados de las medidas, pasando de un estado inicial (mi) a un estado final (mf) mediante una transformación positiva o bien negativa t mi mf t

9 María tiene 15 globos y compra una bolsa con 50 globos
María tiene 15 globos y compra una bolsa con 50 globos. ¿Cuántos globos tiene ahora? mi ? t Pepe tiene 38 figuritas y en el primer recreo pierde 12, ¿Cuántas figuritas le quedan? María tiene 15 globos. Se ha comprado una bolsa y ahora tiene 65 globos. ¿Cuántos globos tenía la bolsa? mi mf ? Pepe tiene antes de jugar en el primer recreo 38 figuritas y al terminar le quedaron 26. ¿Qué pasó en el recreo? María compra una bolsa con 50 globos y ahora tiene 65 globos. ¿Cuántos globos tenía María antes de comprar la bolsa? ? mf t Pepe terminó el día en la escuela con 26 figuritas, si perdió en el recreo 12, cuántas tenía antes de comenzar a jugar?

10 Composición de transformaciones
Pablo gana 12 figuritas en el primer recreo y 9 en el segundo. ¿Cuántas gana en total? Román pierde 9 figuritas en el primer recreo y 7 en el segundo . ¿Cuántas pierde en total? Nicolás gana 12 figuritas en el primer recreo y pierde 7 en el segundo . En definitiva, ¿cómo le fue? ¿Por qué? Carlitos hoy jugó con figuritas y ganó 15 al terminar la mañana. Si en el primer recreo ganó 22 figuritas, ¿cómo le fue en el otro recreo?

11 OTROS PROBLEMAS PARA NUEVAS DISCUSIONES

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13 ¿Qué problemas priorizamos en 1º grado, en 2º grado y, en 3º grado?
EN 1º GRADO SE PRIORIZAN LOS PROBLEMAS CON COMPOSICIÓN DE MEDIDAS Y TRANSFORMACIONES POSITIVAS EN 2º GRADO SE SIGUEN TRABAJANDO LOS PROBLEMAS CON MEDIDAS Y TRANSFORMACIONES POSITIVAS Y SE INCORPORAN LOS PROBLEMAS CON TRANSFORMACIONES NEGATIVAS EN 3º GRADO SE SIGUEN TRABAJANDO LOS PROBLEMAS CON MEDIDAS , TRANSFORMACIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS Y SE INCORPORAN LOS PROBLEMAS CON COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES

14 Y EN EL CAMPO MULTIPLICATIVO…
¿QUÉ ENSEÑO EN 1º GRADO? ¿QUÉ ENSEÑO EN 2º GRADO? ¿QUÉ ENSEÑO EN 3º GRADO?

15 ¿Cuándo llegamos al algoritmo de la multiplicación y de la división?
“Hacer las cuentas” ¿significa que los estudiantes reconocen el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación?

16 ¿En qué año enseño el algoritmo de la multiplicación?
¿En segundo? NO! Lo enseño yo en 3º! Y yo qué enseño en 2º entonces?? ¿y yo en 1º? ¿tendré que enseñar algo de esto? ¿Problemas? ¿cuáles? ¿Las tablas ? ¿qué más enseño sobre multiplicación?????

17 Algunas pautas a tener presente:
¿Cuál es el camino que debemos recorrer desde primer grado en la enseñanza de la multiplicación hasta tercer grado? LA MULTIPLICACIÓN COMIENZA A TENER SENTIDO POR LAS SITUACIONES QUE PUEDE RESOLVER EN DIFERENTES PROBLEMAS LA MULTIPLICACIÓN SE ENSEÑA : COMO NOCIÓN EN 1º GRADO SE CONCEPTUALIZA EN 2º GRADO SE PROFUNDIZA EN 3º GRADO SE ENSEÑA LOS TRES SENTIDOS DE LA MULTIPLICACIÓN PROPORCIONALIDAD ORGANIZACIONES RECTANGULARES COMBINACIONES

18 Comencemos con 1º grado…
“¿Cuántas figuritas hay en cuatro paquetes si en cada uno hay 5 figuritas?” Una posible resolución

19 En división enseñamos en 1º grado la noción de reparto
“Para la biblioteca del aula juntamos 15 libros. Tenemos que acomodarlos en 5 estantes y que en todos los estantes haya la misma cantidad de libros ¿Cuántos libros pondremos en cada uno?”

20 Los niños dibujan, cuentan o suman para resolverlo:

21 ¿Cómo presento en signo X ?
¿Y en segundo grado? ¿Cómo presento en signo X ? Un ejemplo posible de hacerlo…. Se les entrega a todos los grupos de niños un mismo listado de cálculos “largos” de sumas reiteradas. Cada grupo recibe además una tarjeta con uno de esos cálculos y debe enviar el mensaje a otra pareja con la que juega para que identifiquen qué cálculo han recibido. No pueden escribir ese mismo cálculo. Por ejemplo, para podrán utilizar inicialmente como mensaje “sumás 18 veces el número 13” . La restricción posterior de escribir el mensaje más corto posible permite hacer aparecer la escritura 18 x 13 como forma sintética de esta suma. Tomado de Cerquetti-Aberkane (1998): “Enseñar matemática en los primeros ciclos”. Edicial. Bs. As.

22 ¿ Cuáles son los sentidos de la multiplicación?
Series proporcionales Organizaciones rectangulares Combinatoria

23 Uso de las tablas de proporcionalidad
Si hacemos un trabajo sistemático de análisis de las tablas de proporcionalidad ¿qué le permitirá a los alumnos? Les permitirá tomar conciencia de la regularidad de las series numéricas involucradas: 23

24 Uso de organizaciones rectangulares
El patio del colegio debe embaldosarse. Para ello se necesitan colocar por fila 20 baldosas. Al contar el piso hay 30 filas. ¿Cuántas baldosas se necesitan? Los problemas de filas y columnas (embaldosados, asientos del cine, butacas para un acto escolar, departamentos de un portero eléctrico, remedios en un blister, etiquetas u ojalillos que vienen en una plancha, etc.) 24

25 Uso de problemas de combinatoria
“Voy a comprarme un helado de dos gustos. Si quiero combinar una fruta y un dulce, cuántos helados diferentes puedo elegir?” Frutas Dulces Limón Frutos del bosque Banana De leche Chocolate

26 UN SOLO ESPACIO DE MEDIDAS
Andrés tiene 4 caramelos y Juan tiene el triple. ¿Cuántos caramelos tiene Juan? Andrés Juan x 3 Un espacio de medida: caramelos Relación entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos) Operador – escalar: 3 B1 X ..... B2

27 PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
DOS ESPACIOS DE MEDIDAS PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Relación entre series de cantidades organizadas en tablas ¿Cuánto tendré que pagar por 4 ramos de flores si cada uno cuesta $3? Ramos de flores Dinero ($) 1 3 4 x= 3.4 Dos espacio de medidas: flores – dinero Cuatro cantidades: 1 y 4 ( del espacio de medida: flores) 3 y x= 12 (del otro espacio de medida: dinero)

28 TRES ESPACIOS DE MEDIDAS
PROBLEMAS DE ORGANIZACIONES RECTANGULARES Las cantidades se presentan organizadas en filas y columnas Este es el piso rectangular de un patio. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso? 6 baldosas por fila x 4 baldosas por columna = 24 baldosas Dos espacio de medidas se combinan para dar lugar a un tercer espacio

29 PROBLEMAS DE COMBINATORIA
Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas colecciones por medio de diversas estrategias Si Natalia tiene una bufanda blanca, otra azul y otra celeste y un par de guantes blanco y otro par azul, ¿ de cuántas maneras diferentes puede combinarlos? Bufanda blanca Guantes blanco Bufanda Celeste Guantes azul Bufanda azul bufanda Celeste bufanda azul bufanda blanca bufanda guante 3 bufandas x 2 pares de guantes = 6 combinaciones

30 Y en tercero….. ¿qué hacemos????

31 ¿CÓMO COMPLETAR LA TABLA?
LA TABLA PITAGÓRICA ¿CÓMO COMPLETAR LA TABLA?

32 Podemos explicar con un ejemplo cómo se ubican en la tabla dos factores y su producto:
el producto de 3 x 4 es 12, lo escribimos en…… ¿y el producto 4 x 3? ¿dónde les parece que se puede escribir? ¿Por qué? Luego, podemos pedirles que escriban los resultados que ya conocen. No se les pedirá que completen toda la tabla, sino que escriban solo los productos que ya tienen memorizados Por último, se puede pedir que avancen y completen el resto de los casilleros, usando en este caso otro color de lápiz o birome.

33 RELACIONES NUMÉRICAS EN LA TABLA
¿Qué columnas se pueden duplicar para obtener otras? Si se compara cada número de la columna del 2 con cada uno de los de la columna del 6 para la misma fila, ¿qué relación tienen? ¿Y si se compara con la del 10? ¿Cómo se pueden obtener los números de la columna del 8 partiendo de los de la columna del 2? ¿Qué columnas es posible sumar para obtener otra?

34 Para completar la fila del 8 ¿se puede usar la fila del 4?
En esta tabla ya está escrito el resultado de 2 x 8. Completa las filas del 2, 4 y 8 16 Para completar la fila del 4 ¿se puede usar la fila del 2? Para completar la fila del 8 ¿se puede usar la fila del 4? Para completar la fila del 8 ¿se puede usar la fila del 2?

35 MÁS RELACIONES NUMÉRICAS
Consideren las columnas del 5 y del 10. Algunos chicos dicen que estos productos son fáciles de recordar; ¿ustedes están de acuerdo? ¿Por qué? Si se compara cada número de la columna del 5 con cada uno de los de la columna del 10 para la misma fila, ¿qué relación tienen? Si continuáramos la columna del 10 poniendo los casilleros para 11 x 10, 12 x 10, hasta el 19 x 10, ¿qué números escribirían como productos?¿ podrían decir rápidamente cuánto da 35 x 10?, ¿Por qué?

36 En este cuadro están escritos los resultados de algunas multiplicaciones por 2 y por 3 en las columnas respectivas Si averiguan el doble de todos los números de la columna del 2, ¿es cierto que obtienen todos los resultados de la columna del 4?.Escriban los números de la columna del 4. 2) ¿Es cierto que los números de la columna del 9 son el triple que los resultados de la columna del 3? Escriban los números de la columna del 9. 3) Si multiplican por 4 los números de la columna del 2, obtienen los resultados de otra columna. ¿De cuál se trata? . Ubíquenlos. 4) Completen las filas del 5 y del 10. 5) Completen la columna del 6. Pueden usar los resultados de las columnas del 2 y del 3. 36

37 HACIA UN REPERTORIO MULTIPLICATIVO
COMPLETA ESTAS TABLAS SIN MIRAR LA PITAGÓRICA

38 MULTIPLICAR MENTALMENTE
Usando 3 x 4 = 12, resolvé mentalmente los siguientes cálculos: 30 x 4 = 300 x 4 = 33 x 4 = 303 x 4 = Usando 4 x 4 = 16, resolvé mentalmente las siguientes multiplicaciones 4 x 8 = 4 x 16 = 4 x 32 = Sin hacer la cuenta, ¿cuál pensás que es el resultado correcto?. Marcalo

39 Si tuvieras que elegir cuatro de estos cálculos para hacer mentalmente y cuatro para hacer con calculadora, ¿cuáles serían? Sabiendo que 16 x 10 = 160, ¿cómo resolverías, sin hacer la cuenta escrita, los siguientes cálculos?: a) 16 x 20 = b) 16 x 40 = c) 16 X 100 = d) 16 x 50= e) 16 x 80 = Sabiendo que 43 x 10 = 430, resolvé los siguientes cálculos a) 43 x 11 = b) 43 x 9 =

40 HACIA LA CONSTRUCCIÓN DEL ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN
¿Cuántos botones hay que comprar para ponerlos en 9 delantales, sabiendo que llevan 2 en cada puño y 8 en el frente?

41 Propuesta Reutilizar relaciones de otras actividades para que los alumnos comprendan mejor los cálculos que subyacen al algoritmo convencional de la multiplicación

42 ALGORITMOS PARA LA MULTIPLICACIÓN
Trabajo en pequeños grupos o en parejas ¿Por qué Julia pone un 180 en los tres 6? b) ¿Cómo tiene que hacer Julia para saber el resultado total? c) En las hojas de Julia, Mora y Sofía hay un 180. ¿Cómo hizo Joaquín si no escribió 180? d) ¿Dónde está en la cuenta de Joaquín el 15 que se ve en las otras hojas? e) Joaquín escribió un 1 chiquito arriba del 6. ¿Pueden explicar por qué?

43 OTROS EJEMPLOS UNA TIRA DE PAPEL TIENE 3 CUADRADITOS DE ANCHO Y 84 DE LARGO. ¿CUÁNTOS CUADRADITOS TIENE EN TOTAL? ¿Cómo tiene que hacer Marcos para saber el resultado total? ¿En los procedimientos de Ana y de Valeria hay un 240. ¿Cómo hizo Julieta, si no escribió 240? Julieta escribió un 1 chiquito arriba del 8. ¿Pueden explicar por qué? En la cuenta de Julieta, ¿Dónde está el 12 de la cuenta de Valeria

44 En las actividades presentadas se pretende que los niños comparen diferentes organizaciones de los cálculos que configuran aproximaciones a algoritmos para multiplicar.

45 REINVERSIÓN DE RECURSOS PARA MULTIPLICAR
Se pretende que los alumnos apelen a diferentes recursos para multiplicar, que podrán coincidir o no con los analizados previamente

46 ES DECIR QUE…..

47 Resolución de problemas que involucran series proporcionales y organizaciones rectangulares mediante diferentes procedimientos: dibujos, conteo, sumas reiteradas, etc. Explicitación y comparación de las estrategias utilizadas (1º y 2º año). Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la multiplicación (series proporcionales, organizaciones rectangulares, combinatoria) por medio de variados procedimientos inicialmente y luego por medio de escrituras multiplicativas (2º y 3º año). Interpretación de los significados y usos de la multiplicación con números naturales, elaborando e implementando estrategias de cálculo en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problemáticas ( 2º y 3º año). Estimación e interpretación de resultados de cálculos en forma mental, por escrito y con uso de calculadora, comprobando su razonabilidad y justificando los procedimientos empleados (2º y 3º año). Investigación de regularidades y propiedades de una colección de productos organizados en tablas y cuadros con la finalidad de ser reutilizados en otros problemas y posteriormente memorizados (3º año) Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que permitan realizar multiplicaciones. Utilización de resultados numéricos conocidos (multiplicación x la unidad seguida de ceros y productos de la tabla pitagórica) y de las propiedades de los números y las operaciones (diferentes descomposiciones) para resolver otros cálculos (3º año) Elaboración de distintas estrategias de cálculo aproximado para resolver problemas en los cuales no sea necesario un cálculo exacto (3º año). Investigación y reconstrucción del algoritmo de la multiplicación a partir de los recursos elaborados por los alumnos para realizar cálculos mentales (3º año).

48 Para reflexionar… ¿Estos problemas del campo multiplicativo permitirán a los estudiantes dar sentido a la división?

49 Algunas preguntas que se hacen los docentes…
¿Qué problemas plantear para enseñar la división? ¿Son todos de la misma complejidad? ¿Están los chicos en condiciones de resolver un problema de división antes de haberles enseñado el algoritmo? ¿Con qué recursos? ¿Qué aporta la multiplicación para resolver problemas de división?

50 ¿El sentido de la división lo da el algoritmo de la división?
La construcción del sentido de la división se logra cuando los niños RECONOCEN cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación. Progresivamente, deberían reconocer y resolver nuevos tipos de problemas, de mayor complejidad, ampliar los recursos de cálculo que utilizan y sistematizar nuevos conocimientos sobre las propiedades de la operación.

51 ¿Cómo reconocemos el reparto y la partición?
1. Analía quiere dar 15 lápices a sus 3 amigos. Y a cada amigo la misma cantidad. ¿Cuántos les dará a cada uno? 2. Analía tiene 15 lápices, y quiere poner en cada cartuchera 3. ¿Cuántas cartucheras necesitará?

52 En el primero se conoce la cantidad de partes
(3 amigos) y se necesita averiguar el valor de cada parte (cuántos lápices para cada amigo). “Divido lápices por amigos”. En el segundo caso, en cambio, se conoce el valor de cada parte (cuántos lápices para cada amigo) y se necesita averiguar en cuántas partes se puede dividir el conjunto de 15 lápices. “Divido lápices por lápices”.

53 Ahora analicemos los siguientes problemas
Lisandro compró 4 paquetes de latas de gaseosa. Las contó y tiene 24 en total. ¿Cuántas latas trae cada paquete? Los chicos del grado prepararon 27 germinaciones. Si en cada estante ubican 9, ¿Cuántos estantes ocupan? Ana ha combinado 6 remeras de distintos colores con pantalones y puede vestirse de 24 formas diferentes . ¿Cuántos pantalones tiene para combinar? Los estudiantes pueden usar la Tabla Pitagórica para resolver estos problemas de reparto y partición. Este vínculo entre las multiplicaciones y los problemas de reparto y partición permiten ir profundizando el estudio de la división. ¿Qué estrategias de solución puede dar un alumno de 3º grado? 53

54 Entonces….¿Qué tipos de problemas contribuyen a construir el sentido de la división?

55 PROBLEMAS DE REPARTO EQUITATIVO Y NO EQUITATIVO
1.Marcela tiene 16 chupetines y quiere dárselos a sus 4 hijos. ¿Cuántos le dará a cada uno? 2. Martín tiene 15 figuritas y quiere repartirlas entre sus 5 amigos, dándole la misma cantidad a cada uno. ¿Cuántas figuritas les dará? PROBLEMAS DE REPARTO EQUITATIVO Y NO EQUITATIVO

56 PROBLEMAS CON CANTIDADES CONTINUAS Y DISCRETAS
3. Lucas tiene 18 lápices y quiere repartirlos entre 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de lápices que puede darle a cada uno? 4. Martín tiene 18 alfajores y quiere repartirlos entre sus 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de alfajores que puede darle a cada uno? PROBLEMAS CON CANTIDADES CONTINUAS Y DISCRETAS

57 PROBLEMAS DE REPARTO Y PARTICIÓN
5. Mariana tiene 24 caramelos y quiere darle 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos puede darles? 6. María tiene 18 revistas y quiere repartirlas en partes iguales entre sus tres amigos. ¿Cuántas les dará a cada uno? PROBLEMAS DE REPARTO Y PARTICIÓN

58 PROBLEMAS DONDE SE CONSIDERE EL RESTO
7. Se deben transportar 17 personas en autos. En cada uno sólo pueden entrar 4 personas. ¿Cuántos autos serán necesarios? PROBLEMAS DONDE SE CONSIDERE EL RESTO

59 PROBLEMAS CON PROPORCIONALIDAD Y DISTRIBUCIONES RECTANGULARES
8. Mariela compró 4 cuadernos iguales y todas costaron $12. ¿Cuál es el precio de un cuaderno? 9. En un aula hay 24 mesas. Si hay 4 mesas por fila. ¿Cuántas filas hay? PROBLEMAS CON PROPORCIONALIDAD Y DISTRIBUCIONES RECTANGULARES

60 No debemos olvidar algunas estrategias de cálculo multiplicativo necesarias para abordar la división….

61 Estrategias de cálculo multiplicativo
Utilizar la Tabla Pitagórica para obtener los resultados de los problemas…. Trabajar sobre un repertorio de productos memorizados… Completá esta tabla multiplicando estos números por 10: ¿Cuáles son los resultados de estas multiplicaciones? 8 x 1 = 23 x 1= x 1= 8 x 10 = 23 x 10 = x 10= 8 x 100= x 100 = 70 x 100= 1 2 3 4 9 10 11 12 20 23 35 44 56 X 10 61

62 Completá esta tabla multiplicando estos números por 1000:
x 1000 Completá estos cálculos: 10 x ……….= 320 d) ……… x 40 = 4.000 ……… x 6 = 600 e) 7 x …………= 70 83 x ……….= f) 10 x ……… = 1.000 Hacemos entre todos… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Piensen una regla que sirva para multiplicar por 10, 100 y 1.000 ¿Cómo podrían explicar por qué funciona esa regla?

63 Hacé los siguientes cálculos: 3 x 10= 3 x 100= 30 x 100 =
Usá que 4 x 6 = 24 para resolver las multiplicaciones siguientes: 4 x 60= 4 x 600= 40 x 6= 400 x 6= 63

64 Es importante que los niños desde 1º grado resuelvan problemas que involucren las distintas operaciones y no se restrinja el trabajo a la resolución de situaciones para las cuales conocen la operación.

65 La noción de división como reparto ingresa en 1º grado a través del conteo, del reparto 1 a 1, de sumas y de restas. En 2º grado se incorporan también situaciones de partición. En 3º grado se avanza en el algoritmo de la división.

66 INTRODUCCIÓN DEL SIGNO :
Con motivo de la fiesta de fin de año, los alumnos están preparando flores para la decoración. Cada equipo armó flores de un tipo especial que tenían, todas, un mismo número de pétalos. En el equipo verde, tenían 48 pétalos, y armaron flores de 4 pétalos, ¿cuántas flores pueden armar? En el equipo violeta, armaron 7 flores con los 28 pétalos que tenían, ¿Cuántos pétalos les pusieron a cada flor? Los niños del equipo azul cortaron 30 pétalos, ¿cuántas flores de 6 pétalos pueden armar? Los del equipo rojo, armaron 7 flores de 7 pétalos, ¿cuántos pétalos necesitaron?

67 Cantidad de pétalos en cada flor
Para hacer entre todos A partir de la resolución de estos problemas registremos los cálculos y resultados en esta tabla: Equipos Cantidad de flores Cantidad de pétalos en cada flor Total de pétalos Cálculo realizado VERDE VIOLETA AZUL ROJO

68 Se reflexiona: para resolver los problemas a), b) y c) se puede escribir un cálculo de este tipo:
Se puede continuar diciendo que otra forma de escribir ese cálculo es la siguiente: 48 : 4 = en el primer caso 28 : 7 = en el segundo 30 : 6 = en el último caso. Posteriormente se dirá y se anotará cómo se lee: 48 dividido por 4 es igual a 12, etc

69 Otro problema para analizar…
Doña Gaby hizo 100 empanadas para venderlas en paquetes de 12. ¿Cuántos paquetes pudo armar? Resolución 1 Resolución 2 (noción de doble) 12 x 2= x 4= 48 12 x 8 = 96 “ faltan 4 empanadas para llegar a 100” Entonces armó 8 paquetes y sobran 4 empanadas. Paquetes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Empanadas 12 24 36 48 60 72 84 96 108

70 PARA SEGUIR TRABAJANDO LA RELACIÓN ENTRE EL COCIENTE, EL DIVIDENDO Y EL DIVISOR
Una de las características específicas de la división, es que, el resultado está compuesto por dos números: el cociente y el resto. Una mejor comprensión de estos elementos y de las relaciones que se establecen entre ellos y el dividendo y el divisor, permitirá un mayor dominio por parte de los alumnos y control de sus producciones. 70

71 En la panadería de Doña Mimí, embolsan los bizcochitos de queso de a 6.
Todos los días, la empleada anota cuántos bizcochitos se hornearon, cuántas bolsitas armó y cuántos bizcochitos sobraron. Completá las anotaciones de la empleada: Cantidad de bizcochitos horneados Cantidad de bolsitas Cantidad de bizcochitos que sobraron 25 18 28 34

72 En los dos días siguientes, las cantidades de bizcochitos horneados fueron 20 y 27.
¿Podrá la empleada usar los datos que ya tiene en la tabla para encontrar los nuevos sin necesidad de hacer nuevamente los cálculos? ¿Cuál es el máximo de bizcochitos que pueden sobrar?

73 Estas anotaciones están incompletas
Estas anotaciones están incompletas. Averiguá lo que corresponde y completá los lugares vacíos: Cantidad de bizcochitos horneados Cantidad de bolsitas Cantidad de bizcochitos que sobraron 6 2 4 3 42 5 ¿Todos dieron las mismas respuestas?

74 HACIA LA CONSTRUCCIÓN DEL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

75 Escribe por cuánto hay que multiplicar en cada caso:
Las veces que entra… Escribe por cuánto hay que multiplicar en cada caso: ¿Por cuánto hay que multiplicar 4 para obtener 28? ¿Por cuánto hay que multiplicar 5 para obtener 45? ¿Por cuánto hay que multiplicar 3 para obtener 24? ¿Por cuánto hay que multiplicar 6 para obtener 30?

76 Escribe cuántas veces entra y cuánto sobra en cada ejercicio:
7 entra ….. veces en 15 y sobran ….. 6 entra ….. veces en 45 y sobran ….. 10 entra ….. veces en 32 y sobran ….. 8 entra ….. veces en 44 y sobran …..

77 Encontrar cocientes. Para encontrar el cociente de algunas divisiones, Mariela prueba con multiplicaciones y compara con el número que tenía para dividir: Decidí si ya encontró el resultado o si tiene que seguir probando… Para resolver «150:3=» probó con «50x3» Para resolver «670:6=» probó con «110x6» y luego con «10x6» Para resolver «100:4=» probó con «30x4»

78 UN ALGORITMO INTERMEDIO propuesto por GUY BROSSEAU
¿Por qué un algoritmo intermedio?? Para promover recursos de cálculo más “transparentes”

79 trabaja con la globalidad de los números ( no los separa en unidades, decenas y centenas), lo cual le permite al alumno tener una idea aproximada del cociente. los alumnos van repartiendo por partes. Al principio utilizan distintas multiplicaciones para la búsqueda del cociente; luego se les puede proponer que busquen el mayor factor posible para acortar la cuenta, por ejemplo, hacer 10 x 6 (para la cuenta anterior). Finalmente luego de haber trabajado con diversos procedimientos, se presenta el algoritmo convencional usando la escritura de la resta. Es requisito que los niños tengan disponibles cálculos mentales x10, x100, los productos hasta el 9, resta de números redondos,…

80 Luego se les puede proponer buscar el mayor número posible, tratando de acortar la cuenta:

81 En un momento posterior se les enseña a estimar la cantidad de cifras del cociente y a escribir los lugares del mismo Y por último se presenta el algoritmo convencional, manteniendo la escritura de la resta.

82 Juan dice que: ¿Está bien lo que hizo Juan? Justifiquen sin hacer la cuenta. En una librería hay libros guardados en cajas de 24 libros cada una. ¿Cuántas cajas hay en el depósito? Resuelvan el problema sin hacer la cuenta.

83 Algunos problemas usando el algoritmo de Brousseau…….
Luego de analizarlos, la propuesta es concluir cuál es la intencionalidad didáctica ……

84

85 Pablo tiene 134 latas y las quiere organizar en 3 estantes, todos con la misma cantidad. a) ¿Cuántas latas deberá poner en cada estante? ¿Sobran latas? Para resolver el problema, Matías hizo esta división: = Marcá en la cuenta los números que necesitás para armar las respuestas de la parte a)

86 Estimar antes de dividir….
Usen las tres multiplicaciones para saber si el cociente será mayor o menor que 1.000 7 x 10= 70 7 x 100= x 1.000=7.000 ¿Cuánto darán, aproximadamente, estas divisiones?

87 Multiplicar y dividir por 10; 100 y 1.000
¿Por qué número se multiplicó en cada cálculo? Si precisás, podés comprobar con la calculadora. 5 x……..= 50 5 x ……= x ……. = …… x 7 = 70 ….. x 7 = ….. x 7= Resolvé estas divisiones: 50 :10= 500: 100= : = 70 : 10= 700 : 100= : = 90 : 10= 900 : 100= : 1.000=

88 Calculá mentalmente 23 x 10 = 230: 10 = 230 : 23= 34 x 100 = 3
Calculá mentalmente 23 x 10 = 230: 10 = 230 : 23= 34 x 100 = : 100= : 34= Para hacer entre todos: En una fábrica se produjeron ladrillos de tres clases diferentes. Los van a trasladar en carretillas en las que entran 100. a)¿Cuántas carretillas pueden completar con cada clase de ladrillos? b)¿Cuántos ladrillos de cada clase quedan sin cargar?

89 En función del cálculo que se deba resolver se utilizará:
Un cálculo mental El algoritmo de Brousseau El algoritmo convencional O cualquier otra estrategia que resulte más conveniente.

90 Y AHORA…. ¿CÓMO EVALUAMOS??

91 FORMAS DE ENSEÑAR El trabajo que se propone en la clase de Matemática parte de la resolución de problemas, entendida como una práctica de matemática de producción de conocimientos frente a desafíos intelectuales. Supone un docente que alienta la reflexión sobre lo realizado, incentiva al niño para que comunique sus reflexiones y fundamente sus elecciones. FORMAS DE EVALUAR Consecuentemente, la evaluación deberá tomar información sobre los diferentes aspectos involucrados en el trabajo de producción y validación matemática, tanto en forma individual como grupal y, tanto en el mediano como en el largo plazo.

92 Los niños en primer ciclo son introducidos en la cultura matemática, es decir, en las formas de trabajar “matemáticamente”. Desde esta manera se van desarrollando capacidades más simples que se traducen en otras más complejas denominadas competencias. EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS Proceso cualitativo Criterios Niveles de desempeño Proceso cuantitativo Valoración de criterios Valoración de niveles de desempeño e indicadores. La evaluación de las competencias articula la valoración, estimación, cálculo de procesos de actuación integral de los estudiantes ante problemas y situaciones contextuales (intra y extramatemáticas)

93 ¿Cuál es la propuesta para evaluar en matemática?
SABERES MATEMÁTICOS INDICADORES DE LOGROS NIVELES DE POSICIONAMIENTO

94 NIVEL DE POSICIONAMIENTO
Posicionamiento: es un término técnico no vinculado puntualmente con la evaluación tradicional numérica, que hemos acuñado para referirnos al lugar de construcción desde donde cada niño o niña interroga al sistema de escritura en función de las situaciones didácticas que haya podido experimentar, vivenciar. Concepto de logro incipiente (LI) En la observación del proceso de aprendizaje no se busca identificar lo que el alumno sabe o no sabe, sino los avances y las dificultades que presenta en determinadas competencias. De ahí surge el concepto de logro incipiente: entre el no logro y el logro suficiente existen algunas posiciones intermedias que permiten visualizar si está en proceso de… Es decir, que las categorías intermedias que se analizan y se ponderan son los logros incipientes y logros satisfactorios. NIVEL DE POSICIONAMIENTO (No Logrado, Logro Incipiente, Logro Satisfactorio, Logro óptimo)

95 NL No hay indicios de que haya comenzado el desarrollo de las capacidades básicas del proceso de alfabetización matemática inicial. El niño no logra utilizar ninguna de las estrategias correspondientes a los aprendizajes esperados. LI Aparecen indicios de un desarrollo incipiente de las capacidades. El niño comienza a utilizar parcialmente algunas estrategias correspondientes a los aprendizajes esperados . LS Aparecen indicios de desarrollo de estrategias básicas correspondientes a los aprendizajes esperados. LO Se evidencia el dominio básico de las estrategias requeridas.

96 LA EVALUACIÓN PASO A PASO
Diseñar la evaluación Definir lo que se va a evaluar Seleccionar problemas. Elaborar posibles respuestas. Elaborar lista de valoración Elaborar una lista con las posibles respuestas y asignarles un posicionamiento Organizar una lista de saberes Analizar errores y dificultades Toma de decisiones Si los errores aparecen en las producciones de muchos alumnos del grupo Si los errores aparecen en las producciones de algunos alumnos del grupo

97 REVISEMOS LO ABORDADO EN LAS JORNADAS DE FEBRERO DE 2013
La evaluación no es paralela ni final sino es un insumo permanente del proceso de enseñanza y aprendizaje: se retroalimentan permanentemente

98 Evaluación normativa vs. Evaluación criterial
Norma en base a los mejores alumnos. Distancia con respecto a la norma. El error cuenta por parte del alumno Evaluación criterial Se tiene en cuenta lo que el alumno logra en relación a los saberes básicos fundamentales (NAP). Es la base para seguir aprendiendo. Incluye analizar los errores. Hay que revisar el proceso

99 Evaluación vs. aprendizaje
El aprendizaje( en términos grales.) implica un cambio de conducta. Cambia la disponibilidad de ese sujeto para comprender y actuar sobre el mundo. Es un proceso interno, no lo podemos observar ni medir directamente (¿cómo aprendió?) Se buscan instrumentos, estímulos que hagan que esos alumnos puedan manifestar esos aprendizajes.

100 Los saberes básicos fundamentales se enseñan (aprendizajes deseados); luego de un tiempo y mediante el proceso de enseñanza y aprendizaje se da el cambio en el cerebro de los alumnos: son los aprendizajes logrados , luego queremos medirlos usamos test, investigaciones, trabajos prácticos, pruebas, frente a esos estímulos manifiesta lo que ha aprendido. La manifestación de los aprendizajes que no podemos medir la llamamos : rendimiento académico (son los objetivos medidos) La manifestación frente al estímulo no es un problema del aprendizaje de alumno sino el estímulo, la pregunta no está clara, cuando nos pregunta: ¿qué quiere que le escriba seño?...

101 ¿Cuándo un saber escolar se considera aprendido?
A veces pensamos que aprenden cuando: Lo repiten de memoria, hacen una mecánica y consideramos que lo aprendió… Pero no es así: estamos hablando de aprendizaje cuando se produce un cambio interno de una conducta. Tiene que tener estabilidad y persistencia ese cambio. Existe una relación entre lo que enseñamos y lo que aprenden. Sino lo aprendió, no lo enseñamos, sólo lo declamamos

102 Diferencia entre evaluación y calificación
La evaluación es un juicio de valor, no un fin en sí misma. Debe ofrecer oportunidades de mejoras, es formativa por definición. Calificación: es traducir todo el juicio de valor en una nota. La calificación es un indicador provisorio… (toda persona sigue aprendiendo).

103 AHORA ,TENIENDO PRESENTE LA COMPLEJIDAD DE LA EVALUACIÓN QUE NO SE PLASMA SOLAMENTE EN LO QUE UN ALUMNO MANIFIESTA EN UNA PRUEBA , VEREMOS UN EJEMPLO DE CÓMO PLANIFICAR UNA INSTANCIA DE EVALUACIÓN …..

104 RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS
PRIMER GRADO APRENDIZAJE: RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS INDICADOR DE LOGRO: Suma con distintos significados Ignacio tenía 8 autos de colección; su abuela le regaló otros 7. ¿Cuántos tiene ahora? NL: no responde o, no reconoce la noción de agregar LI: utiliza objetos o dibujos para resolverlo y no llega a la respuesta correcta. LS: usa dibujos y/o números y realiza el sobre conteo y llega a la respuesta correcta. LO: llega al resultado correcto utilizando diferentes estrategias de cálculo, por ejemplo, diagrama arbolar.

105 RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS
APRENDIZAJE: RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS INDICADOR DE LOGRO: Resta con distintos significados En el juego de la Oca, mi ficha estaba en el casillero 15. Debo retroceder 6 casillero. Indicá en qué casillero colocaré mi ficha. NL: no responde o, no reconoce la noción de retroceder. LI: utiliza objetos o dibujos para resolverlo y no llega a la respuesta correcta. LS: usa dibujos y/o números y realiza el sobre conteo y llega a la respuesta correcta. LO: llega al resultado correcto utilizando diferentes estrategias de cálculo (15 – 6// – 6// – 6)

106 RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS
SEGUNDO GRADO APRENDIZAJE: RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS INDICADOR DE LOGRO: Suma y resta con distintos significados Del total de 200 sillas que necesito para completar el salón para la fiesta del día de la tradición tengo 185. ¿Cuántas me faltan? NL: no aplica ningún procedimiento. LI: recurre al sobreconteo para resolver el problema LS: recurre a resultados memorizados para resolver el problema y no redacta respuesta.. LO: recurre a cálculos económicos para resolver el problema y redacta una respuesta.

107 RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS
TERCER GRADO APRENDIZAJE: RESOLVER PROBLEMAS CON DISTINTOS PROCEDIMIENTOS INDICADOR DE LOGRO: Suma y resta Camilo obtuvo 567 puntos en el juego de los banderines, y Pedro, 676. ¿Cuántos puntos más tiene Pedro que Camilo? NL: no resuelve la situación LI: intenta resolverlo sin éxito, plantea el cálculo correcto (resta) pero no resuelve bien o tiene una sola cifra bien. LS: emplea un procedimiento de resolución correcto pero el resultado tiene solo dos cifras correctas LO: resuelve la situación bien

108 “…un sentido fundamental de la evaluación es recoger información sobre el estado de los saberes de los alumnos, para luego tomar decisiones que permitan orientar las estrategias de enseñanza. Las producciones de los niños dan cuenta tanto de los resultados derivados de nuestras propias estrategias de enseñanza, como de lo que aprendieron y de sus dificultades. “ Cuaderno para el aula 2. MECyT

109 Se presenta a continuación un ejemplo de evaluación de Matemática para alumnos de 2º grado. Luego de leerla: Identificar: Aprendizaje: Indicador/es de logro: b) Elaborar, para cada uno de los problemas presentados, una lista de valoración (nivel de posicionamiento)

110 EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA
2º GRADO 1. Camila tiene un puesto de flores. Para hoy, armó 7 ramos con 6 claveles cada uno. ¿Cuántos claveles necesitó para armar esos ramos? 2. En la heladera de un quiosco, hay 4 estantes con 10 botellas cada uno. Si la mitad son de agua, ¿Cuántas botellas son las de agua? En el patio de la escuela, hay 12 filas de 9 baldosas cada una. ¿Cuántas baldosas tiene el patio? 4. Laura tiene 3 estantes en los cuales hay cajas de CD. Si en cada caja caben15 CD, ¿Cuántos tiene Laura en total? 5. Este es el patio de Betina Si la mitad de las baldosas se rompieron, ¿cuántas hay que comprar para arreglarlo? Intentá responder haciendo cálculos y no contando las baldosas.

111 BIBLIOGRAFÍA “Todos pueden aprender Matemática en 2º” . Educación para todos. Unicef. “Todos pueden aprender Matemática en 3º” . Educación para todos. Unicef. “Serie Cuadernos del Aula ” .MECyT Broitman, Claudia, “Las operaciones en el Primer Ciclo: Aportes para el trabajo en el Aula”, Novedades Educativas. Bs. As Itzcovich, Horacio, “La Matemática Escolar”, Ed. Aique. Bs. As Parra, Cecilia; Saiz, Irma, “Enseñar aritmética a los más chicos: de la exploración al dominio” Ed. Homo Sapiens. Santa Fé Chamorro, María del Carmen, “Didáctica de las Matemáticas para Primaria” Ed. Pearson. Madrid Castro, Adriana y otros, “Enseñar Matemática en la Escuela Primaria”. Ed. Tinta Fresca. Bs. As Broitman y otros, “Matemática en…”Ed. Santillana. Bs. As. 2012 Díaz, Adriana, “Aventura Matemática”. Ed. Aique. Bs. As. 2009 Bibliografía de distintas editoriales que se encuentran en las bibliotecas escolares. Material elaborado por la Dirección de Evaluación de la Calidad Educativa. DGE. Pcia. de Mendoza

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