Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE.

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1 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

2 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Leyes de Biot-Savart, Ampere

3 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Unidad IX 9.1 Introducción 9.2 Objetivo General 9.3 Objetivos Específicos 9.4 Ley de Biot-Savart para un elemento de corriente 9.5 Ley de Ampere 9.6 Flujo magnético 9.7 Naturaleza solenoidal del vector campo magnético 9.8 Auto evaluación 9.9 Solucionarlo

4 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 9.1 Introducción En este capitulo seguiremos describiendo las maneras en que se producen campos magnéticos, aprenderemos la ley de Ampere, así como, la ley de Biot y Savart, que describen los campos magnéticos que producen cargas en movimiento, o simplemente la corriente eléctrica.

5 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 9.2 Objetivo general Emplear y utilizar de forma lógica las leyes de Biot- Savart para determinar el campo magnético debido a una distribución de corriente y la ley Ampere para calcular el campo magnético producido por un sistema simétrico..

6 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 9.3 Objetivos específicos Familiarizar al estudiante con el tratamiento y determinación de campos magnéticos en solenoides y toroides. Dotar al alumno de los principios básicos con el fin que elabore diagramas de las líneas del campo magnético para un conductor largo, una espira circular de corriente, un solenoide, etc.

7 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Biot, Jean Baptiste (1774-1862), matemático, físico y astrónomo francés, nacido en París. Profesor de física en el Collège de France en 1800, fue elegido miembro de la Academia de Ciencias a la edad de 29 años. Biot es conocido, sobre todo, por sus estudios sobre la rotación del plano de la luz polarizada a medida que ésta se transmite por una solución líquida. Fue el primero en utilizar el polarímetro para determinar la naturaleza y la cantidad de azúcares en una solución. Formuló también, junto con el físico francés Félix Savart, la ley de Biot- Savart que da la intensidad del campo magnético creado por una corriente eléctrica. Biot, Jean Baptiste

8 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Biot y Savart, Ley de, ley que permite hallar el campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria. A partir de esta ley se obtuvo el campo magnético debido a una carga móvil. Los físicos franceses Jean Baptiste Biot y Félix Savart hallaron la relación que existe entre la intensidad de una corriente rectilínea e indefinida y el campo magnético creado por ella a una distancia r. Demostraron que el módulo del campo magnético, B, es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a la distancia r: B =  o I / 2  r donde µ 0 es la permeabilidad magnética del vacío y tiene un valor de 4  · 10 -7 weber/amperio·metro." Ley de Biot y Savart

9 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Consideremos un conductor que lleva una corriente I y que genera un campo magnético B. La ley de Biot y Savart establece que si un alambre conduce una corriente estable I, el campo magnético dB en un punto P asociado a un elemento de alambre dS tiene las siguientes propiedades. Para tal efecto escogemos un punto P que se encuentra a una distancia r de un elemento cualquiera de corriente I dS y que genera un elemento de campo dB en ese punto. I    9.4 Ley de Biot-Savart para un elemento de corriente r  ds ^ r p dBdB

10 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La magnitud de dB es proporcional a I y a la longitud dS del elemento IdS  dB r ^ El vector dB es perpendicular tanto al vector IdS como al vector unitario r ^ La magnitud de dB es inversamente proporcional a r 2, donde r es la distancia del elemento IdS a P La magnitud de dB es proporcional a sen  donde  es el ángulo entre los vectores IdS y r. ^

11 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La ley de Biot y Savart puede resumirse dB = k m (IdS r) / r 2 ^ Donde k m es una constante que es exactamente 10*10 -7 T-m / A. Esta constante suele escribirse  o / 4  o es la constante de la permeabilidad magnética del espacio libre:  o / 2  = k m = 2*10 -7 T-m / A  o = 4  -7 T-m / A dB = (  o /4  (IdS r) / r 2 ^

12 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se desea encontrar el campo magnético de un alambre conductor recto, largo y delgado que transporta una corriente constante I en un punto P. Supongamos que tenemos el alambre conductor colocado a lo largo del eje x. Ejemplo.9.1 Campo magnético alrededor de un conductor recto y delgado Seleccionamos un punto P y un elemento de corriente cualquiera IdS que se encuentra a una distancia r de P Todos los elementos IdS generan un elemento de campo dB dirigido hacia fuera de la pantalla en P. Por tanto, sólo tenemos que determinar la magnitud del campo en P. El elemento de campo dB generado por un elemento de corriente IdS es: dB r p ^ r  IdS dB = (  o /4  (IdS r) / r 2 ^  IdS r = Idx Sen  ^ dB = (  o /4  Idx Sen  / r 2 y Sen  = y / r  r = y / Sen  r = y Csc  Cot  = -x / y  x = - y Cot  dx = y (Csc  2 d   dB = (  o /4  I (y Csc  2  d  ) Sen  / (y 2 Csc  2 ) dB = (  o /4  I/y) Sen  d  B = (  o /4  I/y) Sen  d      B = (  o /2  I/y)

13 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 9.2 Calcule la magnitud del campo magnético a 10 cm de un alambre recto y largo que lleva una corriente de 2 A. El campo magnético de un alambre recto y largo es: B = (  o /2  I/y) = (4  -7 Tm/A / 2  )(2 A / 0.10m) B = 4  T

14 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Consideremos un lazo circular de radio R en el plano YZ que conduce una corriente estable I. Sea un elemento de corriente IdS que se encuentra a una distancia r del punto p y que genera un elemento infinitesimal de campo magnético dB  r. Ejemplo.9.3 Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular. R r dB ^ r IdS p dB Z Y dB z dB x   Se desea encontrar el campo magnético en un punto axial p a una distancia x del centro del anillo. Tomamos un elemento de corriente IdS simétrico, que genera un campo dB  r, para observar en que eje el elemento dB se cancela. X Z Y B y = 0 y B z = 0 x B x = (B Cos  i ^ 

15 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA dB x = (  o /4  IdS (R/(x 2 + R 2 ) ½ ) / (x 2 + R 2 ) B x = (  o IR 2 ) / 2(x 2 + R 2 ) 3/2 r = (x 2 + R 2 ) ½ R r dB ^ r IdS x dB x  dB x = ((  o /4  (IdS r) / r 2 ) Cos  ^  IdS r = IdS Sen 90  = IdS ^ dB x = (  o /4  IRdS) / (x 2 + R 2 ) 3/2 )  Cos  = R / r dB x = (  o IR) / (4  (x 2 + R 2 ) 3/2 ) dS   2R2R dB x = (  o IR) / (4  (x 2 + R 2 ) 3/2 )S  2R2R

16 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Calcule la magnitud del campo magnético en el centro de un lazo de 20 cm de diámetro que lleva una corriente circular I de 2 A Ejemplo 9.4 El campo magnético a una distancia x del centro del lazo es: B x = (  o IR 2 ) / 2(x 2 + R 2 ) 3/2 Para encontrar el campo magnético en el centro del lazo x = 0   B x = (  o I) / 2R = 6.28  T R p ^ r IdS

17 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ampère, André Marie (1775-1836), científico francés, conocido por sus importantes aportaciones al estudio de la electrodinámica. El amperio (A), la unidad de intensidad de corriente eléctrica toma su nombre. Su teoría electrodinámica y sus interpretaciones sobre la relación entre electricidad y magnetismo se publicaron en su Colección de observaciones sobre electrodinámica (1822) y en su Teoría de los fenómenos electrodinámicos (1826). André Marie Ampére

18 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ampère inventó la aguja astática, que hizo posible el moderno galvanómetro Fue el primero en demostrar que dos conductores paralelos por los que circula una corriente en el mismo sentido, se atraen el uno al otro, mientras que si los sentidos de la corriente son opuestos, se repelen.

19 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 9.5 Ley de Ampere Supongamos que tenemos un alambre conductor que lleva una corriente I saliendo de la pantalla. Las líneas de B forman círculos concéntricos alrededor del alambre. Por simetría, la magnitud de B es la misma en todos los puntos sobre una trayectoria circular centrada en el alambre. Mediante la variación de la corriente I y de la distancia R desde el alambre, se encuentra que B es directamente proporcional a la corriente I e inversamente proporcional a la distancia R desde el alambre. La magnitud del campo magnético B  =  o I / (2  R)  B  (2  R) =  o I Se puede interpretar que 2  R es la longitud de la trayectoria circular alrededor del alambre, B la componente del campo tangencial a la trayectoria e I la corriente a través del área limitada por la trayectoria. B B

20 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ampere generalizo el resultado para trayectorias y alambres de cualquier forma. Consideremos una trayectoria arbitraria alrededor de la corriente que sale de la pantalla Para un desplazamiento infinitesimal dS a lo largo de la trayectoria, el producto dS y la componente de B a lo largo de dS es (dS B Cos  ) = B B  B dS  dS 

21 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Si se desea usar la ley de Ampere para determinar B, es necesario que la geometría de la I que fluye posea la suficiente simetría para que la integral pueda evaluarse con facilidad. B B  dS  B · dS =  o I  B Cos  dS = B dS  La suma de este producto alrededor de una trayectoria cerrada esta dada por Donde I es la corriente neta que fluye a través de la superficie encerrada por la trayectoria, el sentido en que la integral se evalúa viene dado por la regla de la mano derecha. Ley de Ampere

22 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un alambre infinito de radio R lleva una corriente I. Halle el campo magnético a una distancia r desde el centro del alambre para. a) r  R. b) r  R Ejemplo 9.5 B · dS =  o I  B r R a) r  R Las líneas del campo magnético son concéntricas y su magnitud es la misma en todos los puntos a una distancia r desde el centro del alambre. Escogemos una sección transversal de radio r que coincide con el centro del alambre como la trayectoria de la integración. Vista de la sección transversal. B dS = B (2  r) =  o I   2R2R B =  o I / 2  r para r  R

23 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un alambre infinito de radio R lleva una corriente I. Halle el campo magnético a una distancia r desde el centro del alambre para. a) r  R. b) r  R B r R b) r  R Solo una fracción de la corriente fluye a través de la trayectoria. Esta fracción esta dada por la relación del área encerrada por la trayectoria al área del alambre. I / I r =  r 2 /  R 2  I = I r r 2 / R 2 Como: B =  o I / 2  r  B =  o (I r r 2 / R 2 ) / 2  r  B =  o I r r / 2  R 2

24 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un solenoide ideal tiene N vueltas por unidad de longitud (n = N/L) y lleva una corriente I. Calcule su campo magnético. B dS B · dS =  a b  El campo fuera de un solenoide infinito es cero. La contribución de cada lazo al campo total dentro del solenoide esta dirigido a lo largo del eje, por lo que se espera que las líneas de campo sean paralelas al eje, para aprovechar esta simetría se escoge un rectángulo abcd como la trayectoria de integración.. El campo es cero a lo largo de dc, es también cero para las partes ad y bc que se encuentran por fuera del solenoide Dentro del solenoide B es  ad y bc, entonces, B  dS = 0 Ejemplo. 9.6 El campo magnético de un solenoide ab c d B · dS B · dS =  a b  B · dS + b c  c d  d a  ++ B · dS =  o I                      B · dS =  a b  B dS Si la longitud de ab es L, el numero de vueltas es nL, entonces = BL  B=  o I N / L  o I n

25 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un alambre conductor de 50 cm de largo se enrolla en forma de solenoide en gran numero de vueltas y tiene un campo magnético de 40  T en su centro producido por una corriente de 1 A. ¿cuántas vueltas de alambre tiene el solenoide? Ejemplo 9.7 El campo magnético de un solenoide en el centro es  o I n   B =  o I (N/L)  N = BL /  o I = 15.92 vueltas

26 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 9.8 Campo magnético a lo largo del eje de un solenoide La magnitud del campo para una espira a lo largo del eje x es: B = (  o IR 2 ) / 2(x 2 + R 2 ) 3/2 Por tanto, el campo neto esta dado por la superposición de los campos de todas las espiras. El numero de vueltas en la unidad de longitud dx del solenoide es n = (N/l) dx. Un elemento cualquiera de campo es: dB = (  o IR 2 ) / 2(x 2 + R 2 ) 3/2 n  dB = (  o IR 2 )/2(x 2 + R 2 ) 3/2 (N/l)dx                     B l R P

27 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA dx P                     B l R  x dB = (  o IR 2 )/2(x 2 + R 2 ) 3/2 (N/l)dx x = R Tan  dx = R (Sec  2 )  d    sustituyendo estas expresiones  B = (  o IN/2l) Cos  d    22 B = (  o I N / 2 l) (Sen  2 – Sen  2 ) Si P es un punto en un extremo de un largo solenoide, entonces,  2 = 90° y  1 = 0°  B = (  o I N / 2 l) (1 + 0) Si P es el punto medio de un largo solenoide, entonces,  2 = 90° y  2 = 0°  B = (  o I N / 2 l) (1+ 1)

28 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ¿Un solenoide tiene 1000 vueltas, una longitud de 80 cm y un radio de 8 cm. Si por el circula una corriente de 2 A, calcule el campo magnético en un punto axial localizado en el centro del solenoide y en un extremo del solenoide? Ejemplo 9.9.                     B l R El campo magnético a lo largo de un solenoide es B = (  o I N / 2 l) (Sen  2 – Sen  2 ) en el extremo de un largo solenoide,  2 = 90° y  1 = 0°  B=(  o I (N/l) / 2)(1 + 0) =  o I n / 2 B = 1.57 mT

29 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA                     B l R El campo magnético a lo largo de un solenoide es B = (  o I N / 2 l) (Sen  2 – Sen  2 ) en el centro de un largo solenoide,  2 = 90° y  1 = -90°  B = (  o I (N/l) / 2)(1 + 1) =  o I n B = 3.14 mT

30 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 9.10 Campo magnético de una bobina toroidal B · dS = 0      r Dentro del toroide, B es paralelo a dS y tiene la misma magnitud en todos los puntos a lo largo de la trayectoria circular. La corriente encerrada es NI, entonces se tiene, B · dS =  0 2r2r  B dS =  o I N B(2  r) =  o I N  B =  o I N / (2  r) Una bobina toroidal en forma de dona esta enrollada compactamente en N vueltas y lleva una corriente I. Se supone que la sección transversal es rectangular. Encuentre la intensidad del campo magnético dentro del toroide. En un toroide, de sección transversal circular o rectangular, las líneas de campo son circulares de radio r, de modo que se escoge la trayectoria de integración una circunferencia de radio r. Si la trayectoria esta fuera del toroide no encerrara una corriente neta y de la ley de Ampere se tiene:

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32 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Consideremos un elemento de área dA sobre una superficie arbitraria. 9.6 Flujo magnético B dA  Si el campo magnético en ese elemento es B, entonces el flujo magnético a través del elemento es B    dA donde dA es un vector perpendicular a la superficie cuya magnitud es igual al área dA. Por tanto, al igual que para cualquier campo vectorial, el flujo magnético  que atraviesa la superficie es:  = B   dA 

33 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA   A A B En este caso el flujo magnético es: Consideremos un plano de área A colocado de diferentes maneras y un campo magnético B que forma un ángulo  con el vector A.  = B A  =  B A n = B n A = B A Cos   El flujo magnético  puede ser positivo, negativo o cero. La unidad de flujo en sistema M.K.S. es el Weber. Ahora puede verse la razón por la cual al vector B también se le denomina vector densidad del flujo magnético y como su dimensión es Weber / m 2 igual a la tesla T.

34 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 9.11 B  En la figura una bobina cuadrada de 15 cm de lado esta pivoteada en torno al eje y La magnitud del campo magnético es de 0.7 T y esta a lo largo del eje x. Si el ángulo  cambia de 60° a 30° ¿cuál es el cambio del flujo?  = B A cos    = B A (Cos  f  – Cos  i ) = 5.76 mWeber  = B A cos  f  – B A cos  f

35 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La magnitud del campo varia inversamente con la distancia r. Colocamos una espira rectangular de largo a y ancho b que se localiza a una distancia c del alambre que conduce la corriente. Se desea encontrar el flujo magnético total a través de la espira. La magnitud del campo magnético que conduce una corriente I a una distancia r es B =  o I / (2  r  Es decir, el campo varia sobre la espira. Puesto que B es paralelo a dA el flujo se puede expresar como Ejemplo 9.12 I1I1 Supongamos que tenemos un conductor que lleva una corriente I y que genera un campo magnético B c a b dr  = B   dA   = B  dA =  o I / (2  r  dA     o I / (2  adr/r  c a+c   o I a / (2  dr/r  c a+c   o I a / (2  Ln/r c a+c  =  o I a / (2  ) Ln((a+c)/c)

36 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La fuente del campo gravitacional es la masa, la fuente y sumidero del campo eléctrico es la carga positiva y la carga negativa respectivamente, mientras que la fuente del campo magnético es la carga en movimiento o el imán. Las líneas representativas del campo gravitacional tienen un final, mientras que las líneas de campo eléctrico se caracterizan por ser abiertas, lo cual implica que tienen una fuente o comienzo y un final o sumidero. Sin embargo, en el caso de las líneas del campo magnético la experiencia demuestra que son cerradas no tienen fuentes ni sumideros. Las líneas del campo magnético o inducción magnética que caracterizan al vector campo magnético o inducción magnética tienen carácter “solenoidal” pues se cierran sobre si misma y de este resultado se concluye la no existencia de cargas magnéticas aisladas en la naturaleza y constituye una de las leyes básicas del electromagnetismo. 9.7 Naturaleza solenoidal del vector campo magnético o inducción magnética

37 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Supongamos una región del espacio en la que existe un campo magnético B del cual representamos algunas líneas de campo y consideremos dentro de esa región una superficie hipotética cerrada que es atravesada por las líneas de inducción magnética. B Se observa que el numero de líneas que entran en la superficie es el mismo que sale, por tanto, podemos afirmar que a través de la superficie cerrada arbitraria no existirá un flujo neto del campo magnético. Una de las leyes básicas del electromagnetismo lo constituye el hecho de la inexistencia en la naturaleza de las cargas magnéticas aisladas y lo cual se puede representar según:  = B   dA = 0 

38 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 9 8 Auto evaluación

39 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un conductor en forma de un cuadrado de longitud 2l de 50 cm conduce una corriente I de 2 A. Calcule la magnitud del campo magnético en el centro del cuadrado. Ejercicio 9.1 2l R) B = (  2/2)(  o I /(  l) = 2.26  T

40 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un conductor de forma circular tiene un radio de 50 cm y conduce una corriente I de 2 A en el sentido horario. Calcule la magnitud y la dirección del campo magnético en el centro del circulo. Ejercicio 9.2 R) B =  o I /(2r) = 400 nT

41 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 9.3 r El segmento de alambre de la figura conduce una corriente de 2 A y el radio del arco circular es de 5 cm. Determine la magnitud l campo magnético en el origen. R) B =  o I /(8r) = 6.28  T

42 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un lazo conductor circular de una vuelta y de 80 cm de radio lleva una corriente de 2 A.. Si el campo magnético es de 10  T en un punto axial. ¿cuál es la distancia al centro del anillo?. Ejercicio 9.4 R) x = 0.405 m

43 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En un punto axial a 50 cm del centro de un anillo. Un lazo conductor circular de una vuelta y de 80 cm de radio lleva una corriente de 2 A ¿cuál será la magnitud del campo magnético en ese punto?. Ejercicio 9.5 R) B x = 0.87  T

44 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un alambre infinito de radio de 2 cm lleva una corriente.de 2 A Halle el campo magnético a una distancia de 1 cm y 3 cm del centro del alambre. Ejercicio 9.6 R) B(0.03) = 20.0  T y B(0.01) = 0.8  T

45 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ¿Que corriente se requiere en los devanados de un largo solenoide que contiene 1500 vueltas distribuidas uniformemente a lo largo de una longitud de 50 cm para producir en el centro del solenoide un campo magnético de 1.5  T de magnitud? Ejercicio 9.7 R) I = 397.9  A

46 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ¿cuál es el flujo magnético que atraviesa un solenoide largo de 1000 espiras en contacto, 50 cm de longitud, un área de 10 cm 2 y que lleva una corriente de 2 A.? (considere el campo magnético en el interior del solenoide constante) Ejercicio 9.8  R)  Weber

47 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ¿Un solenoide tiene 1000 vueltas, una longitud de 80 cm y un radio de 8 cm. Si por el circula una corriente de 2 A, calcule el campo magnético en un punto axial localizado a 20 cm de un extremo? Ejercicio 9.9                     B l R B = 3.02 mT

48 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 9.9 Solucionarlo

49 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Todos los elementos IdS generan un elemento de campo dB dirigido hacia dentro de la pantalla en el centro del cuadrado. Por tanto, sólo tenemos que determinar la magnitud del campo en el centro del cuadrado. S 9.1 2l dB = (  o /4  (IdS r) / r 2 ^  IdS r = IdS Sen  ^ dB = (  o /4  (IdS Sen  ) / r 2 r = l  2 ; Cos  = Sen  =  2 / 2 dB = (  o /4  (IdS  2/2) / 2l 2 dB = (  2/16)(  o I /(  l 2 )) dS B = (  2/16)(  o I /(  l2)) dS   l B = (  2/16)(  o I /(  l 2 ))S  l B = (  2/16)(  o I /(  l) *8 B = (  2/2)(  o I /(  l) = 2.26  T rr ^  IdS

50 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Todos los elementos IdS generan un elemento de campo dB dirigido hacia dentro de la pantalla en el centro del circulo. Por tanto, sólo tenemos que determinar la magnitud del campo en el centro del circulo. S 9.2 dB = (  o /4  (IdS r) / r 2 ^  IdS r = IdS ^ dB = (  o /4  (IdS) / r 2 B = (  o I /(4  r^2))S  2r2r B = (  o I /(4  r 2 )) 2  r rr ^ IdS B = (  o I /(4  r 2 )) dS   2r2r B =  o I /(2r) = 400 nT

51 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Todos los elementos IdS del arco circular generan un elemento de campo dB dirigido hacia fuera de la pantalla en el origen. Por tanto, sólo tenemos que determinar la magnitud del campo en el origen. S 9.3 r dB = (  o /4  (IdS r) / r 2 ^  IdS r = IdS Sen  ^  IdS r = 0 ^ ^ r IdS ^ rr   IdS r = IdS ^ IdS ^ r  IdS r = 0 ^ dB = (  o /4  (IdS) / r 2 B = (  o I /(4  r 2 )) dS    r  B = (  o I /(4  r 2 ))S  re  B = (  o I /(4  r 2 )) r  B =  o I /(8r) = 6.28  T

52 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 9.4 B x = (  o IR 2 ) / 2(x 2 + R 2 ) 3/2  (x 2 + R 2 ) 3/2 = (  o IR 2 ) / 2B x (x 2 + R 2 ) = (  o IR 2 / 2B x ) 2/3  x =  ((  o IR 2 / 2B x ) 2/3 - R 2 )  x = 0.405 m R r dB ^ r IdS x dB x  

53 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 9.5 B x = (  o IR 2 ) / 2(x 2 + R 2 ) 3/2 = 0.87  T R r dB ^ r IdS x dB x  

54 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 9.6 B B r r  R  B(0.03) =  o I / 2  r B(0.03) = 20.0  T r  R  B(0.01) =  o I r r / 2  R 2 B(0.01) =  0.8  T

55 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 9.7  o I n  B =  o I N / L  I = BL /  o N = 397.9  A

56 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 9.8 El campo magnético en el solenoide es B =  o n I =  o (N/l) I = 5.03 mT El flujo magnético es:  Weber

57 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 9.9                     B l R   El campo magnético a lo largo de un solenoide es B = (  o IN/2l) (Sen  2 – Sen  1 ) r i = (x 1 2 + R 2 ) ½ = 60.53 cm  Sen   = 60 /60.53 = 0.99 r 2 = (x 2 2 + R 2 ) ½ = 21.54 cm  Sen   = 20 /21.54 = 0.93 B = 3.02 mT