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Manuel Iván Cardozo. 234732.. Considérese una espira circular de radio R que conduce una corriente I. Calcúlese el campo magnético en un punto axial P.

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1 Manuel Iván Cardozo

2 Considérese una espira circular de radio R que conduce una corriente I. Calcúlese el campo magnético en un punto axial P a una distancia x del centro de la espira. Solución: Para la solución de este problema podemos observar la imagen 1.1 en donde observamos el eje de referencia puesto en la espira y el punto P que se encuentra sobre el eje X a una distancia d.

3 En la imagen se muestran los siguientes puntos: ds: Es el diferencial de longitud. r: Es la distancia que hay desde un punto de la espira hasta el punto P. r: Es el vector unitario de la distancia desde la espira hasta el punto P. R: Radio de la espira. I: Corriente eléctrica que circula por la espira. dBx y dBy: Componentes del campo magnético producido en el punto P.

4 Imagen 1.1

5 Para la solución de este problema utilizamos la ley de Biot – Savart, la cual nos indica: Debido a que cada elemento de longitud ds es perpendicular l vector r unitario en la dirección del elemento, por lo tanto ds x r es igual a ds.

6 Para saber a cuanto equivale nuestro r 2 utilizamos la formula de triangulo rectángulo y obtenemos: La dirección dB es perpendicular al plano formado por el r unitario y ds. El vector dB se puede descomponer en dos vectores como se muestra en la figura: dBx y dBy. Cuando las componentes dBy se suman sobre todos los elementos alrededor de la espira su resultante da cero.

7 Por simetría la corriente en cualquier elemento sobre un lado de la espira coloca una componente perpendicular de dB que cancela la componente perpendicular calculada por la corriente a través de un elemento diametralmente opuesto a el. Por lo anterior el campo resultante en el punto P debe estar únicamente en el eje x y se obtiene integrando la componente dBx, esto quiere decir: dBx= dBCos θ

8 Y así se integra la componente en x: La integral se debe realizar sobre toda la espira, además se sacan los términos constantes y se tiene en cuenta que θ = R/((X 2 + R 2 ) 1/2 obtenemos: Y aprovechando el hecho que la integral cerrada de ds es igual a 2πR:

9 Para encontrar el campo magnético en el centro de la espira lo único que debemos hacer es volver x = 0, por tanto nos quedaría: Así encontramos el campo magnético a una distancia P en un eje perpendicular a la espira y en el centro de la espira.


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