@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 2 MATEMÁTICA FINANCIERA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 2 MATEMÁTICA FINANCIERA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 TEMA 2.1bis * 1º BCS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 PROPIEDADES 1.-Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si P <> Q  log P <> log Q a a Ejemplos Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 Sea 2 < 3  log 2 < log 3  0,301030 < 0,477121 Sea 2 < 4  log 2 < log 4  - 1 < - 2 Falso, pues a < 1 1/2 ½ Si P <> Q, sólo podemos afirmar que log P <> log Q a a

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 2.-El logaritmo de la base es 1 log a = 1  a 1 = a a Ejemplos Log 2 = 1, pues 2 1 = 2 2 Log 5 = 1, pues 5 1 = 5 5 3.-El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base log 1 = 0  a 0 = 1, pues todo número elevado a 0 es la unidad. a Ejemplo Log 1 = 0, pues 10 0 = 1 ln 1 = 0, pues e 0 = 1

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 4.-El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. log a x 1 + log a x 2 = log a (x 1 x 2 ) Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log 6 log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 b)log 48 Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = = 4. 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,477121 = 1,681241

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 5.-El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. log a x 1 - log a x 2 = log a (x 1 / x 2 ) Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log 0,5 log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 b)log 250 Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 c)log 2/3 Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0,301030 - 0,477121 = - 0,176091

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 6.-El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. p log a x = p.log a x Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log 1024 log 1024 = log 2 10 = 10. log 2 = 10. 0,301030 = 3,010301 b)log 81 Log 81 = log 3 4 = 4. 0,477121 = 1,908484 c)log 0,125 Log 0,125 = log 125 / 1000 = log 5 3 – log 1000 = = 3. log 5 – 3 = 3. log 10/2 – 3 = 3.(log 10 – log 2) – 3 = = 3.(1 – 0,301030) – 3 = 3 – 0,903090 – 3 = - 0,903090

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Ejemplos Halla el valor de x en la expresión: 3 2000. 2 3000 x = ---------------------- 5 2657 Tomamos logaritmos decimales: log x = log ( 3 2000. 2 3000 / 5 2657 )= = log 3 2000 + log 2 3000 - log 5 2657 = = 2000.log 3 + 3000. log 2 - 2657.log 5 = = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = = 0,179208 Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 7.-El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando, partido por el índice de la raíz. n log a √ x = (log a x) / n Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log √2 log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 3 b)log √ 9 3 log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 3 2 ) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = = 0,318080 5 c)log √ 0,008 5 log √ 0,008 = (log 0,008) / 5 = (log 8 / 1000) / 5 = (log 8 – log 1000) / 5 = = (log 2 3 – 3 ) / 5 = (3. 0,301030 – 3) / 5 = - 0,419382

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 8.-El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base antigua, a, en la nueva base b. Sea y = log a x  a y = x Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de ambas, en la misma base, también son iguales: log b a y = log b x y. log b a = log b x Y despejando el valor de y tenemos: log b x log b x y = -----------  log a x = ---------- log b a log b a Nota: Lo más frecuente es que la nueva base b sea 10 ó e, es decir utilizar logaritmos decimales o neperianos para realizar el cambio de base.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 EJEMPLO DE CAMBIO DE BASE ¿Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ? Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos comparar sus logaritmos. Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos, tampoco podemos calcular sus valores. Es obligado el cambio de base. log 7 10 = x  7 x = 10  log 7 x = log 10 log 5 7 = y  5 y = 7  log 5 y = log 7  x. log 7 = log 10  x = log 10 / log 7 = 1,183294  y. log 5 = log 7  y = log 7 / log 5 = 1,209061 Como y > x  log 5 7 > log 7 10

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 OTRO EJEMPLO PRÁCTICO DE CAMBIO DE BASE En las Tablas de derivadas aparece que la derivada de y = ln x es y’ = 1 / x ¿Cuál es la derivada de y = log 7 x? Como no viene en las tablas, es obligatorio el cambio de base. y = log 7 x  7 y = x  ln 7 y = ln x  y.ln 7 = ln x  y = ln x / ln 7  y = (1 / ln 7). ln x Que ya se puede derivar, al ser (1 / ln 7) un número real. y ’ = (1 / ln 7). (1 / x) En el Tema 10 si un logaritmo o expresión logarítmica no es un neperiano hay que aplicar un cambio de base para poder derivar la expresión.