@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 GEOMETRÍA PLANA TEMA 8 * 3º ESO.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 GEOMETRÍA PLANA TEMA 8 * 3º ESO

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 PARALELOGRAMOS TEMA 8.9 * 3º ESO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 CUADRILÁTEROS Los CUADRILÁTEROS son los polígonos de cuatro lados. Se clasifican en: TRAPEZOIDE No tiene ningún lado paralelo. Ejemplo: La cometa. TRAPECIO Tiene dos lados paralelos llamados bases. Trapecio: Tiene lados y ángulos distintos. Trapecio isósceles : Tiene dos lados iguales. Trapecio rectángulo : Tiene dos ángulos rectos. PARALELOGRAMOS Tienen los lados paralelos dos a dos. Cuadrado: Tiene los lados iguales y los ángulos rectos. Rectángulo: Tiene los ángulos rectos. Rombo : Tiene los lados iguales. Romboide : Tiene los lados y ángulos opuestos iguales.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 PARALELOGRAMOS Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos dos a dos. Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales. Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales. Las diagonales se cortan en su punto medio. Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 CUADRADO Perímetro: Suma de sus lados P = l+l+l+l = 4.l Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. Por Pitágoras: d=d’ = √( l 2 + l 2 ) = √2.l 2 = l.√2 Las diagonales se cortan en su punto medio y son perpendiculares entre sí Área: Superficie que rodean sus lados. A = l.l = l 2 l l l l dd’ P = 4.l d = l.√2 A = l 2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 b h RECTÁNGULO Perímetro: Suma de sus lados P = b+h+b+h = 2.b+2.h Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. Por Pitágoras: d=d’ = √( b 2 + h 2 ) Las diagonales se cortan en su punto medio. Área: Superficie que rodean sus lados. A = b.h P = 2.b+2.h d = √( b 2 + h 2 )A = b.h b h d’ d

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 ROMBOIDE Perímetro: La suma de sus lados P = b+l+b+l =2.b+2.l Diagonales distintas: d <> d’. Área = Superficie que rodean sus lados. Si trazamos su altura, y el triángulo rectángulo formado lo trasladamos, vemos que se ha convertido en un rectángulo. Su área por tanto valdrá: A = b.h b l l h b l l h b l l h b b b d’ d

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 ROMBO Perímetro: Suma de sus lados. P = l+l+l+l = 4.l Diagonales: Rectas que unen vértices opuestos. Las dos diagonales son distintas y perpendiculares. En el triángulo rectángulo resaltado, por Pitágoras: l = √ [ (D/2) 2 + (d/2) 2 ] Área: Superficie que rodean sus lados. Vemos que los triángulos exteriores son iguales a los interiores. A = D.d / 2 ll l l D d

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejemplo_1 La diagonal de un cuadrado mide 3 cm más que el lado. Hallar su perímetro y su área. P = 4.l  Necesitamos el lado. A = l 2  Necesitamos el lado. Por Pitágoras: d = l.√2 l + 3 = l.√2  3 = l.√2 – l 3 = l.(√2 – 1) l = 3 / 0,4142 = 7,24 P = 4.l = 4.7,24 = 28,96 cm A = l 2 = 7,24.7,24 = 52,42 cm2. Ejemplo_2 Hallar el área de un cuadrado en función de su diagonal. d = l.√2  l = d / √2 A = l 2 A = l 2 = (d / √2 ) 2 = = d 2 / √2 2 = d 2 / 2

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 b h Ejemplo_3 En un rectángulo un lado es 5 cm mayor que el otro y la diagonal mide 10 cm. Hallar la base y la altura del rectángulo. Pongamos h = b+5 Por Pitágoras: d = √( b 2 + (b+5) 2 ) 10 2 = b 2 + b 2 + 10.b + 25 2.b 2 + 10.b + 25 – 100 = 0 2.b 2 + 10.b – 75 = 0 Resolviendo la ecuación: -10 + √(100+600) b = ---------------------- = 4,11 cm 4 h = b + 5 = 9,11 cm P = 2.b+2.h A = b.h b h d’ d

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Ejemplo_4 En un rectángulo el perímetro mide 9 cm y el área vale 4,5 cm2. Hallar la diagonal. P = 2.b + 2.h  9 = 2.b + 2.h (1) A = b.h (2) De la primera ecuación: h = (9 – 2.b)/2 = 4,5 – b Sustituyendo en la segunda: 4,5 = b.(4,5 – b)  4,5 = 4,5.b – b 2 b 2 - 4,5.b + 4,5 0 Resolviendo la ecuación: 4,5 +/- √(20,25 - 18) b = ----------------------------- = = (4,5 +/- 1,5) / 2 = 3 y 1,5 cm 2 Y la altura será: h=4,5 – b  h = 1,5 y 3 cm respectivamente. b h b h d’ d

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 Ejemplo_5 En un rectángulo la suma de base, altura y diagonal mide 10 cm y se sabe que la altura mide la mitad de la diagonal. Hallarlo. b + h + d = 10 (1) h = d / 2 (2) Aparentemente tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas. No se podría resolver. Pero … Sabemos que d 2 = b 2 + h 2 en un rectángulo Resolviendo: d = 2.h de la ecuación (2) En la (1): b + h + 2.h = 10  b = 10 – 3.h Luego:d 2 = b 2 + h 2  (2.h) 2 = (10 – 3.h) 2 + h 2 Operando: 4.h 2 = 100 – 60.h + 9.h 2 + h 2 60 +/- 34,64 6.h 2 - 60.h + 100 = 0Resolviendo: h = ------------------ = 8 y 2 12

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13 Ejemplo_6 En un romboide la altura mide 2 cm menos que la base, y sabemos además que el área vale 12 cm2. Hallar la altura, la base y el lado oblicuo. b l l h b Resolución: h = b – 2 (1) A = b.h  8 = b.h (2) Sustituyendo el valor de h de la (1) en la (2): 8 = b.(b – 2 )  8 = b 2 – 2.b  b 2 – 2.b – 8 = 0 2 +/- 6 Resolviendo la ecuación: b = ----------- = 4 y - 2  b = 4 cm 2 Luego h = b – 2 = 4 – 2 = 2 cm y l = indeterminado

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO14 Ejemplo 7 En un rombo la diagonal mayor es 4 cm mayor que la diagonal menor, y el lado del rombo mide 10 cm. Hallar el área del rombo. En el triángulo rectángulo resaltado, por Pitágoras: l = √ [ (D/2) 2 + (d/2) 2 ] 10 = √ [ ((d+4)/2) 2 + (d/2) 2 ] 100 = (d 2 + 8d + 16) / 4 + d 2 / 4 400 = d 2 + 8d + 16 + d 2 2.d 2 + 8d – 384 = 0 Ecuación de 2º grado. Resolviendo la ecuación: d = 12 Luego D = 12+4 = 16 y A = D.d / 2 = 96 cm2 ll l l D d