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INECUACIONES LINEALES. Aplicar las propiedades de las desigualdades en las resolución de ejercicios. Representar soluciones de una inecuación a través.

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Presentación del tema: "INECUACIONES LINEALES. Aplicar las propiedades de las desigualdades en las resolución de ejercicios. Representar soluciones de una inecuación a través."— Transcripción de la presentación:

1 INECUACIONES LINEALES

2 Aplicar las propiedades de las desigualdades en las resolución de ejercicios. Representar soluciones de una inecuación a través de intervalos, conjuntos y representación gráfica. Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Aprendizajes esperados:

3 Desigualdades Intervalos Inecuaciones lineales Sistemas de Inecuaciones CONTENIDOS:

4 Una desigualdad es una comparación entre "a" y "b" tal que, según los valores particulares de "a" y de "b", puede ocurrir que: a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. La simbología utilizada es: < Menor que> Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que DESIGUALDADES Definición:

5 Propiedades: 1)Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad. Ejemplos: Si sumamos c a ambos miembros de la desigualdad: a ≤ b / + c resulta: a + c ≤ b + c 5 < 8 / + 4 5 + 4 < 8 + 4 b) 9 < 12 12 > 8 / + (-5) c) 12 -5 > 8 - 5 7 > 3 a)

6 2) Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. Ejemplos: b)12 < 18 / * (3) 12x3 < 18x3 36 < 54 c)160 > 24 / :(8) 20 > 3 a) Si a, b, c son números reales tales que a 0, entonces ac < bc. 24 8 160 8 >

7 3) Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Ejemplos: a) < / * ( -2) > ∙ -2 6 5 6 5 3 7 -6 7 -12 5 > 3 7 b) 160 > 24 / : (-8) 24 -8 160 -8 < -20 < -3

8 4) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. 7 3 < 10 3 Ejemplo: 7 < 10 / ( ) 3 343 < 1.000 5)Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; sin embargo, si el grado de la potencia es par, cambia de sentido. -3 > -6 -8 < -4 Ejemplos: (-3) 3 > (-6) 3 -27 > -216 (-8) 2 > (-4) 2 64 > 16 a)b) /( ) 3 /( ) 2

9 6) Si ambos miembros de una desigualdad son positivos o negativos, y se invierten, es decir, se elevan a -1, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo: a) -5 < -2 (-5)-1 > (-2)-1 5 2 > < 6 5 3 7 > 5 6 7 3 > 3 7 6 5 /( ) -1 b)

10 Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica. Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a “a”, ni “b”. ] a,b [ = { x Є IR / a < x < b } ab -∞+∞+∞ Gráficamente: Observación: ] a,b [ = (a,b) INTERVALOS 1) Intervalo abierto

11 Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” y “b”. [ a,b ] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b } a b -∞+∞+∞ Gráficamente: 2) Intervalo cerrado

12 Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” pero no a “b”. Gráficamente: a) [ a,b [ = { x Є IR / a ≤ x < b } ba -∞+∞+∞ Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, no incluyendo a “a”, pero sí a “b”. Gráficamente: b) ] a,b ] = { x Є IR / a < x ≤ b } ba -∞+∞ 3) Intervalo semi-abierto o semi-cerrado

13 Incluye a todos los reales mayores o iguales que “a” a) [ a,+∞ [ = { x Є IR / x ≥ a } a -∞+∞+∞ Incluye a todos los reales mayores que “a” b) ] a,+∞ [ = { x Є IR / x > a } a -∞+∞+∞ 4) Intervalos indeterminados

14 Incluye a todos los reales menores o iguales que “b” c) ]-∞, b ] = { x Є IR / x ≤ b } b -∞+∞+∞ d) ]-∞, b [ = { x Є IR / x < b } Incluye a todos los reales menores que “b” b -∞+∞+∞

15 e) ]-∞, +∞ [ = IR +∞+∞ -∞ IR

16 Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad. Ejemplos Resueltos a) 7 √ 5-x La expresión representa un número real si: 5 - x > 0 / + (x) 5 > x x es un número real menor que 5, 5 -∞+∞+∞ o bien, x Є ] -∞, 5 [ Gráficamente: INECUACIÓN LINEAL

17 x 2 6x -2 5 ≥ 1 - / * (10) b) 6x -2 5 ≥ x 2 - 10 ∙10 10 ∙ 2(6x – 2) ≥ 5x - 10 12x – 4 ≥ 5x - 10 (Desarrollando) 12x – 5x ≥ 4 - 10 7 x ≥ -6 7x ≥ -6 / Simplificamos

18 ,+∞ o bien, x Є 7 -6 -∞+∞+∞ 7 -6 Gráficamente: Se cumple para todo x mayor o igual que 7 -6,

19 c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4 7x – 8 ≥ 7x - 12 – 8 ≥ - 12 En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier x en los reales. +∞+∞ -∞ IR Gráficamente:

20 d) 6x + 11 2 < 3x / ∙ 2 6x + 11 < 6x 11 < 0 En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA. Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación. El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

21 Cada inecuación del sistema se resuelve por separado, obteniéndose como solución un subconjunto de la recta real. La solución del sistema es la intersección de estos subconjuntos. Ejemplo: a) 2x + 3 ≤ 5 -x - 2 ≥ -4 Resolviendo cada inecuación en forma independiente: 2x + 3 ≤ 5 2x ≤ 5 - 3 x ≤ 1 -x - 2 ≥ -4 x + 2 ≤ 4 x ≤ 2 o bien, x Є ] -∞, 1 ] o bien, x Є ] -∞, 2] /(-1 ) Sistemas de Inecuaciones

22 La solución del sistema será la intersección de los subconjuntos: S 1 = ] -∞, 1 ] yS 2 = ] -∞, 2] -∞ 2 +∞+∞ 1 S = S 1 S 2 S = ] -∞, 1 ] o bien, x ≤ 1


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