Introducción a la Simulación

Presentación del tema: "Introducción a la Simulación"— Transcripción de la presentación:

1 Introducción a la Simulación

2 Temas a tratar en este capítulo
·       Introducción ·         Definición de Simulación ·         Ventajas y desventajas ·         Definición de Sistemas ·         Sistemas estáticos y dinámicos ·         Definición de modelos ·         Características deseables de un modelo de simulación ·         Concepto de experimento

3 Introducción ¿La experiencia es el mejor maestro?
¿Cómo adquirir de manera rápida y económica un conocimiento que se obtiene a través de la experiencia? ¿Qué hacer cuando el modelo resultante es muy complejo y no es posible o práctico desarrollar una metodología de solución basada en el análisis matemático?

4 Simulación Definición

5 Definición de simulación
DEFINICIÓN A: Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. Robert E. Shanon

6 Definición de simulación
DEFINICIÓN B: Técnica numérica para conducir experimentos en computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo. T.N.Naylor

7 Definición de simulación
DEFINICIÓN C: La simulación es la práctica de construir modelos que representan sistemas del mundo real o sistemas hipotéticos futuros, y experimentar con ellos con el fin de explicar el comportamiento del sistema, mejorar su rendimiento o diseñar nuevos sistemas con ciertas características predefinidas. B. Khoshnevis

8 SIMULACION DE SISTEMAS
SIMULACIÓN SIMULACION DE SISTEMAS

9 SIMULACION DE SISTEMAS
ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN Definición del sistema Análisis del sistemas Formulación del modelo Selección del lenguaje Codificación del modelo Implementación del modelo en la computadora Validacion Experimentación Implantación Monitoreo y Control

10 SIMULACION DE SISTEMAS
Factores a considerar en el desarrollo del modelo de Simulación Generación de Variables aleatorias no uniformes Lenguajes de programación Condiciones iniciales Tamaño de la muestra Diseño de experimentos

11 SIMULACION DE SISTEMAS
Finalidad: Crear un ambiente posible de obtener información sobre acciones alternativas por la vía de la experimentación. Prueba de medicinas en animales de laboratorio. En este caso, las respuestas del animal simulan las respuestas de los humanos. Manejar automóviles en pistas de pruebas. Aquí la pista de pruebas simula el ambiente que enfrentará el automóvil. Comprobar diseños de alas de aviones en túneles de viento. El tunel simula las condiciones de vuelo. Entrenar pilotos de aerolíneas en cabinas verdaderas bajo condiciones simuladas.

12 SIMULACION DE SISTEMAS
Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación Ventajas Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera rápida con el fin de analizar diferentes políticas o escenarios Generalmente es mas barato mejorar el sistema vía simulación que harlo directamente en el sistema real. Es mucho mas sencillo comprender y visualizar los métodos de nsimulación que los métodos puramente analíticos Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre, para sistemas relativamente sencillos donde suele hacerse un grán número de suposiciones o simplificaciones, mientras que con los modelos de simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con mayor detalle. En algunos casos la simulación es el único medio para lograr una solución.

13 SIMULACION DE SISTEMAS
Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación Desventajas Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse. Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar soluciones “óptimas” lo cual repercute en altos costos. Es difícil aceptar los modelos de simulación. Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas. La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso sentido de seguridad.

14 SIMULACIÓN Ejemplo de simulación por computadora
El personal de la comisión de la lotería Nacional acaba de diseñar una nueva lotería instantánea. Como se muestra en la figura siguiente, cada tarjeta de lotería contiene tres filas. En cada renglón, hay dos casillas. Una de las cuales tiene un valor oculto de $1 y la otra de $5. El jugador raspa cualquier casilla de cada renglón para descubrir el valor asociado en dólares. Si los tres números oculto son iguales, el jugador gana esa cantidad. Antes de comprometer al Estado en este juego e imprimir una gran cantidad de tarjetas, usted como director de la comisión de la lotería, desea evaluar la factibilidad económica del juego. Entre las preguntas que debe contestar esta la siguiente: ¿Cuál es la mínima cantidad que el estado puede cobrar por esta tarjeta y todavía esperar tener ganancias? Tarjeta de lotería

15 Aplicando la teoría de probabilidades
SIMULACIÓN Ejemplo de simulación por computadora Solución Aplicando la teoría de probabilidades Prob(ganar $1) = P(casilla 1 = $1)* P(casilla 2 = $1)* P(casilla 3 = $1)= ½*½*½=1/8 Prob(ganar $5) = P(casilla 1 = $5)* P(casilla 2 = $5)* P(casilla 3 = $5)= ½*½*½=1/8 Ganancia esperada = 1(1/8) + 5(1/8) =3/4=0.75 Cada tarjeta debería valer al menos $ 0.75

16 Aplicando la simulación
Ejemplo de simulación por computadora Solución Aplicando la simulación Simulación Física: Imprimiendo unas 100 tarjetas de lotería Simulación por Analogía: Utilizando una moneda Simulación por computadora: Utilizando un programa de computadora y generando números aleatorios para seleccionar las casillas que serán raspadas 1.0 U(0,1) r 0.5 cara cruz

17 SIMULACIÓN Ejemplo de simulación por computadora
“Video Milenio”, es una tienda que compra videos de estreno a $25 la copia, los renta a $3 el día y después de un mes los vende a otra tienda en $5 la copia. Basandose en datos anteriores, la tienda ha estimado las siguientes probabilidades de demanda diaria para cada película. Como gerente de “video milenio”, usted desea decidir cuantas copias de cada nueva película pedir 0,1,2,3,4 No. de copias Probabilidad 1 2 3 4 0.15 0.25 0.45 0.10 0.05

18 ingresos de acuerdo a la Demanda
SIMULACIÓN Ejemplo de simulación por computadora Aplicando la teoría de probabilidades Solución No. de copias ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos esperados por día Ganancia total esperada por mes 1 2 3 4 6 9 12 2.55 4.35 4.8 4.95 56.5 90.5 84 68.5 P(x) 0.15 0.25 0.45 0.10 0.05 Ganancia total esperada= (ingresos esperados durante un mes) + (precio de venta de las N copias) – (costo de compra de las N copias)

19 Aplicando la simulación por computadora
Ejemplo de simulación por computadora Solución Aplicando la simulación por computadora 1.0 U(0,1) r 0.5 1 2 3 4 Demanda

20 Generación de números aleatorios
Simulación Generación de números aleatorios

21 Uniformemente distribuidos Estadísticamente independientes
SIMULACIÓN Generación de Números Aleatorios rectangulares Características: Uniformemente distribuidos Estadísticamente independientes Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2 Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12 Periodo largo (cantidad de elemento q se generan)

22 Generador Congruencial
La idea es hallar un generador que sea fácil de implementar en la computadora, que sea rápido y que no ocupe mucho espacio memoria, estos requerimientos pueden ser satisfechos con una función matemática sencilla que genere una sucesión de números que satisfagan las condiciones que definen una conjunto de números aleatorios. Pseudo aleatorios: numeros q se generan, recien al momento de la validacion son aleatorios

23 Generador Congruencial
Definición: se dice que los enteros a es congruente con b módulo m si a es el resto de la división entera de b entre m. La notación utilizada es: a b mod m Ejemplo: 3 es congruente con 17 módulo 7 i.e. , en efecto la división entera de 17 entre 7 da como cociente 2 y como resto 3. El generador congruencial está caracterizado por los parámetros enteros positivos a, c y m, donde a y c son generalmente menores que m. M: valores diferentes q se tendrán a lo sumo.

24 Métodos congruenciales mas populares Congruencial Multiplicativo
SIMULACIÓN Generación de Números Aleatorios rectangulares Métodos congruenciales mas populares Congruencial Multiplicativo Xn+1=aXn mod m Congruencial Mixto ri+1=(c + a*ri) mod m Xo=ro= semilla (ro >0) a= el multiplicador (a >0) c= constante aditiva (c >0) M= módulo (m > Xo; m > a; m> c)

25 Reglas para la selección de las constantes
c debe ser un entero impar no divisible ni por 3 ni por 5 a usualmente debe ser cualquier constante. Donde a mod 8 = 5 m debe ser el número entero mas grande que la computadora acepte

26 ri+1=(c+a*rn) mod m ri+1=(7+ 5rn) mod 8
SIMULACIÓN Generación de Números Aleatorios rectangulares Ejemplo: Generar números aleatorios utilizando el generador congruencial mixto si a=5, c=7, X0=4, m=8 y encontrar el periodo del generador ri+1=(c+a*rn) mod m ri+1=(7+ 5rn) mod 8 ri+1/(n-1) n ri (7 + 5Xn) mod 8 ri+1 Números uniformes 1 2 3 4 5 6 7 27 mod 8 22 mod 8 37 mod 8 32 mod 8 7 mod 8 42 mod 8 17 mod 8 12 mod 8 3/7 6/7 5/7 0/7 7/7 2/7 1/7 4/7 Periodo =8

27 ri+1=(a*rn + c) mod m ri+1=(13*ri + 11) mod 15
SIMULACIÓN Generación de Números Aleatorios rectangulares Ejemplo: Generar números aleatorios utilizando el generador congruencial mixto si c=11,a=13,, ro=6, m=15 y encontrar el periodo del generador ri+1=(a*rn + c) mod m ri+1=(13*ri + 11) mod 15 n ri (13ri+11) mod15 ri+1 Números uniformes 1 2 3 4 5 ... 6 14 13 89 mod 15 193 mod 15 180 mod 15 14/14 13/14 0/14

28 Generador Minimal Standard de Park-Miller:
 Este es un excelente generador y está definido por los siguientes parámetros: a=75= c = m = 231-1= Donde: Zn+1 = (c+aZn )mod m Propiedades: ·        Se dice que es un generador multiplicativo debido a que c=0. Los generadores con c≠0 son llamados generadores mixtos ·        Este generador tiene un periodo

29 Generador Minimal Standard de Park-Miller:
Debido a que las computadora actuales trabajan con palabras (word) de 32 bits y m -1 es prácticamente el entero más grande que puede generar, el producto puede dar lugar a fenómenos de overflow i.e. números que la computadora no puede representar, para evitar esos problemas se recurre a un artificio matemático que consiste en calcular Zi+1 con la siguiente relación: Donde: y mod= residuo div= cociente entero Los parámetros q y r satisfacen la relación m= aq+ r con r < q. La mejor elección para estos últimos es q = y r = 2836.

30 Ejemplo Numérico: se va generar 5 valores con el generador de Park-Miller considerando como semilla Zo = 15660 76820 9757 20819 2521 118348 15511 38277 4690 76973

31 Pruebas estadísticas para los números pseudoaleatorios
Simulación Pruebas estadísticas para los números pseudoaleatorios

32 Pruebas estadísticas de números pseudoaleatorios
Cualquier variable aleatoria no – uniforme (normal, exponencial, poisson,etc) es obtenida a partir de números uniformes(0;1), por lo que el principal énfasis en pruebas estadísticas deberá ser con respecto al generador de números pseudoaleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la variable aleatoria no uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios.

33 Función de densidad uniforme
Prueba de promedios Función de densidad uniforme En esta expresión x es una variable aleatoria definida entre 0 y 1 f(x) f(x) 1 a b 1 Con area = 1

34 Prueba de promedios Valor Esperado Varianza Media
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria uniformemente distribuida estan dadas por las siguientes expresiones Valor Esperado Media Varianza

35 Prueba de hipotesis de promedios
Prueba de promedios Prueba de hipotesis de promedios Si |Zo| < Z/2 No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5

36 Prueba de hipotesis de promedios
Prueba de promedios Prueba de hipotesis de promedios Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y Xc2, No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5

37 Prueba de hipotesis de promedios
Prueba de promedios Prueba de hipotesis de promedios Cuando  es desconocida Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y Xc2, No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5

38 Prueba de hipotesis de varianza
Prueba de la varianza Prueba de hipotesis de varianza Ho 1- S2c1 1/12 S2c2 21-/2,n-1 2/2,n-1 Si la variancia de los números se encuentra entre S2c1 y S2c2 no se puede rechazar HO

39 Prueba de la forma si No se puede rechazar que los números pseudoaleatorios son uniformes M= número de intervalos K= Números de parámetros de la distribución

40 Prueba de Smirnov -Kolmogorov
Algoritmo: Generar n números aleatorios Ordenar en forma ascendente Calcular f = i/n Restar término a término los números del paso 2 con el valor f del paso 3 y seleccionar la máxima diferencia D=|r-f| e) Buscar en tablas el estadístico dn,% Compara el valor Dmax con dn, Si Dmax < dn, no se puede rechazar que los números pseudoaleatorios sean uniformes

41 Prueba de Smirnov -Kolmogorov
Ejemplo: Posición i Aleatorio r f |r-f| 1 0.0144 0.20 0.1856 2 0.1484 0.40 0.2516 3 0.3325 0.60 0.2675 4 0.715 0.80 0.085 5 0.9312 0.0688 Dmax d5,5%= 0.563 Como Dmax < d5,5% no se puede rechazar que los números pseudoaleatorios son uniformes

42 Prueba del Poker 1 Pachuca 1 quintilla 1 full 1 poker 1 tercia 2 pares 1 par

43 Prueba del Poker Algoritmo: Generar n números aleatorios
Calcular la frecuencia esperada Ei,donde Ei= nPi Observar cada número aleatorio e indicar si es un par, dos pares,..,etc y construir una tabla de frecuencias observadas Oi Calcular e) Buscar en la tabla 2 f) Si C <= 2 no se puede rechazar que los números son independientes

44 Prueba del Poker Ejemplo Probabilidad de poker * n Juagadas Ei Oi
1 par 2 pares 1 tercia 1 full 1 poker 1 quintilla pachuca 5.04 1.08 0.72 0.09 0.045 0.001 3.0240 4 3 Aleatorio jugada Pachuca 1 par 2 pares 25%,6=12.59 No se puede rechazar que los números pseudoaleatorios son independientes

45 Prueba “Runs Up and Down”
Esta prueba consiste en las siguientes etapas: Se genera una sucesión de símbolos a partir de la sucesión ·      utilizando la regla Por cada sucesión de signos iguales se entiende por una corrida Se cuenta el número R de corridas o “runs” en la sucesión . Una corrida se define como sucesión de símbolos del mismo tipo + o -. El resultado teórico pertinente en esta prueba es que el número de corridas R sigue una distribución normal de media y varianza o lo que es equivalente, la variable aleatoria sigue una distribución estándar (normal de media cero y varianza uno). En estas relaciones N representa el tamaño de la sucesión.

46 Prueba “Runs Up and Down”
·      Para un nivel de confianza C%, la prueba no rechaza que los valores de la sucesión sean independientes si se verifica: donde se obtiene de las tablas de la distribución estándar que corresponde al parámetro con Si la anterior desigualdad no se verifica, no se acepta que son independientes.

47 Prueba “Runs Up and Down”
Ejemplo Numérico: determine con un nivel de confianza de 95% si los valores de la tabla son independientes La sucesión de símbolos – y + correspondiente a los N = 30, sería entonces: Numero de corridas = 18

48 Prueba “Runs Up and Down”
donde se observa corridas. Según la teoría la media de corridas sería y la varianza , lo que da Para un nivel de confianza de 95%, se tiene =0.975, que según la tabla de la distribución estándar da Como se verifica , entonces no se rechaza la independencia de los valores de la sucesión.