Dos cilindros coaxiales de longitud L, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero que tiene un radio a = 2cm y es un conductor cargado con densidad.

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1 Dos cilindros coaxiales de longitud L, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero que tiene un radio a = 2cm y es un conductor cargado con densidad de 9·10-9C/m. El hueco de radio interior b = 5cm y radio exterior c = 8cm, está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de -4·10-6/π C/m3. Determinar la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: a) r < a. a < r < b. c) b < r < c. d) r > c. e) Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largo de la dirección radial.

2 DATOS radio a = 2cm = 0,02m ƛ = 9· 10 −9 C/m radio b = 5cm = 0,05m
radio c = 8cm ρ = -4· 10 −6 /π C/m3 c b a

3 PARA: r < 0,02m PROCEDIMIENTO: a r + Cuando un cuerpo es conductor el campo eléctrico en el interior de la carga es cero, porque la carga se ubica en la periferia, es decir se distribuye alrededor del cilindro. a = 0,02m ƛ = 9· 10 −9 C/m q = 0 a E = 0 8, −12 .2𝜋𝑟Ɩ FORMULAS APLICADAS: a E = 𝑞 ∈ .𝐴 a o E = 0 a q = ƛ. Ɩ a

4 q = 9· 10 −9 C/m. Ɩ E = 9· 10 −9 C/m. Ɩ 8,85. 10 −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ
PARA: 0,02 < r < 0,05 PROCEDIMIENTO: a r b q = 9· 10 −9 C/m. Ɩ b Reemplazando la carga b en la formula del campo eléctrico: a = 0,02m ƛ = 9· 10 −9 C/m E = 9· 10 −9 C/m. Ɩ 8, −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ b FORMULAS APLICADAS: E = 𝑞 ∈ .𝐴 b o E = 161,85 𝑟 N.m/C b q = ƛ. Ɩ b

5 q = ρ. v + q V = V - V E = 𝑞 ∈ .𝐴 q = ρ. v + q
PARA: 0,05 < r < 0,08 PROCEDIMIENTO: q = ρ. v + q b r c c b Donde: V = V - V r b V = [𝜋 r 2 Ɩ- 𝜋 (0,05m) 2 Ɩ] b = 0,05m C = 0,08m ρ = −4· 10 −6 C/ 𝑚 3 𝜋 q = 9· 10 −9 C/m. Ɩ q = −4· 10 −6 C/ 𝑚 3 𝜋 [𝜋 r 2 Ɩ- 𝜋 (0,05m) 2 Ɩ]+q c b b FORMULAS APLICADAS: q = −4· 10 −6 C/ 𝑚 3 𝜋 𝜋Ɩ[ r 2 - (0,05) 2 𝑚 2 ]+ q E = 𝑞 ∈ .𝐴 c b c o q = −4· 10 −6 C/ 𝑚 3 Ɩ[ r 2 - 0,0025 𝑚 2 ]+ q c b q = ρ. v + q c b

6 Resolviendo el producto:
q = −4· 10 −6 C/ 𝑚 3 Ɩ[ r 2 - 0,0025 𝑚 2 ]+ q c b q = −4· 10 −6 Ɩ. r 2 C/ 𝑚 3 +4· 10 −6 Ɩ C/ 𝑚 3 0,0025 𝑚 2 + q c b Reemplazando la carga b : q = −4· 10 −6 Ɩ. r 2 C/ 𝑚 −8 Ɩ C/ 𝑚 + 9· 10 −9 Ɩ C/m c q = −4· 10 −6 Ɩ. r 2 C/ 𝑚 · 10 −9 Ɩ C/m c

7 Reemplazando la carga c en la formula del campo eléctrico:
E = −4· 10 −6 Ɩ. r 2 C/ 𝑚 · 10 −9 Ɩ C/m 8, −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ c E = −4· 10 −6 Ɩ. r 2 C/ 𝑚 , −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ + 19· 10 −9 Ɩ C/m 8, −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ c E = ,4 r N/C.m ,69 𝑟 N.m/C c

8 q = q E = 𝑞 ∈ .𝐴 q = −4· 10 −6 Ɩ (0,08) 2 𝑚 2 C/ 𝑚 3 + 19· 10 −9 Ɩ C/m
PARA: r >0,08m b c C = 0,08m q = −4· 10 −6 Ɩ. r 2 C/ 𝑚 · 10 −9 Ɩ C/m r c E = 𝑞 ∈ .𝐴 q = q FORMULAS APLICADAS: d o d C (0,08m) PROCEDIMIENTO: q = −4· 10 −6 Ɩ (0,08) 2 𝑚 2 C/ 𝑚 · 10 −9 Ɩ C/m d q = −25,6· 10 −9 Ɩ C/ 𝑚 + 19· 10 −9 Ɩ C/m d q = −6,6· 10 −9 Ɩ C/ 𝑚 d

9 E = - 118,69 𝑟 N.m/C E = −6,6· 10 −9 Ɩ C/m 8,85. 10 −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ
Reemplazando la carga d en la formula del campo eléctrico: E = −6,6· 10 −9 Ɩ C/m 8, −12 𝐶 2 𝑁 𝑚 2 2𝜋𝑟Ɩ d E = ,69 𝑟 N.m/C d

10 E = -71934,4 r N/C.m + 341,69 𝑟 N.m/C E = - 118,69 𝑟 N.m/C
Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15cm del mismo, a lo largo de la dirección radial. FORMULAS APLICADAS: V = 𝐴 𝐵 𝐸. 𝑑𝑟 AB DATOS: E = 161,85 𝑟 N.m/C E = 0 a b E = ,4 r N/C.m ,69 𝑟 N.m/C c E = ,69 𝑟 N.m/C d

11 V = 92,02 voltios V = 0 𝑎 𝐸 𝑑𝑟+ 𝑎 𝑏 𝐸 𝑑𝑟+ 𝑏 𝑐 𝐸 𝑑𝑟+ 𝑐 𝑜,15 𝐸 𝑑𝑟
PROCEDIMIENTO: V = 0 𝑎 𝐸 𝑑𝑟+ 𝑎 𝑏 𝐸 𝑑𝑟+ 𝑏 𝑐 𝐸 𝑑𝑟+ 𝑐 𝑜,15 𝐸 𝑑𝑟 a b c d AB = 0 0,02 0𝑑𝑟+ 0,02 0, ,85 𝑟 𝑑𝑟 + 0,05 0,08 (−71934,4 r ,69 𝑟 )𝑑𝑟+ 0,08 𝑜,15 − 118,69 𝑟 𝑑𝑟 V = 92,02 voltios