Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM.

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1 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM

2 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Tema 1.4 Obtención de campos eléctricos originados por distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita).Tema 1.4 Obtención de campos eléctricos originados por distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita). Objetivo: Determinar la expresión matemática del campo eléctrico en distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita).. Calcular el campo eléctrico resultante por efecto de las distribuciones discretas y continuas de carga.

3 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM CampoCampo producido por un segmento de línea. DistribuciónDistribución lineal de carga λy el campo eléctrico.

4 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Línea con carga negativa distribuida uniformemente Diferencial de carga dq

5 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM CampoCampo producido por un segmento de línea.

6 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Componentes del vector unitario Integrando el campo

7 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Integrando el componente en x Integrando el campo en A x y dividir 2/2 Sustituyendo en integrando en los límites.

8 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Sustituyendo límites y considerando el signo (-) Expresado por componentes de los ángulos y multiplicando por a/a Recordando la expresión trigonométrica.

9 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la componente en y

10 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Integrando la componente en y, por sustitución trigonométrica

11 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Expresando por componentes de los ángulos

12 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM casos particularescasos particulares A) Si el punto A se encuentra en la mediatriz, entonces la componente en x es cero B) si a es mucho menor que l, (10 veces menor) y el punto esta en la región media, entonces:

13 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo producido por una línea cargada muy larga a una distancia a [m] y con una densidad lineal de carga λ (C/m)Campo producido por una línea cargada muy larga a una distancia a [m] y con una densidad lineal de carga λ (C/m)

14 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo eléctrico producido por anillo circular cargadoCampo eléctrico producido por anillo circular cargado

15 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM El campo en el punto A del anillo de acuerdo a diferencial de carga eléctrica dq, donde Q es la carga total del anillo Los componentes en x y z se cancelan y solo existe componente en y

16 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Los componentes en x y z se cancelan y solo existe componente en y y z x

17 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Expresando el coseno en función de las componentes de a y b, Finalmente el campo en función del radio a y la distancia b

18 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Casos particulares del campo por un anillo.Casos particulares del campo por un anillo. A) En el centro el campo E=0 B) para un punto lejano del anillo.

19 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo producido por una superficie circular cargadaCampo producido por una superficie circular cargada

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21 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo producido por una superficie circular cargadaCampo producido por una superficie circular cargada Se considera que se tienen anillos de grosor dr y radio r y su contribución son diferenciales Como el diferencial de carga esta en una superficie circular entonces:

22 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo producido por una superficie circular cargadaCampo producido por una superficie circular cargada Sustituyendo dq en la expresión del campo en el punto A se tiene:

23 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo producido por una superficie circular cargadaCampo producido por una superficie circular cargada Sustituyendo los límites en la expresión del campo en el punto A se tiene:

24 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Campo producido por una superficie circular cargadaCampo producido por una superficie circular cargada El campo en el punto A es:

25 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie. A) la distancia b << r 0 en el punto A, 1/ r 0 tiende a cero Por lo que se obtiene el campo cuando esta cerca del centro de la superficie.

26 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie. B) la distancia b >> r 0, la expresión se puede considerar como una carga puntual.

27 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Desarrollando el binomio.Desarrollando el binomio.

28 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Recordando el teorema del binomio, con exponentes fraccionarios o negativos:Recordando el teorema del binomio, con exponentes fraccionarios o negativos: Sustituyendo los coeficientes r 0 y b:Sustituyendo los coeficientes r 0 y b:

29 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Como b mucho mayor que r 0, y el cociente r 0 /b tiende a cero. De acuerdo al desarrollo del binomioComo b mucho mayor que r 0, y el cociente r 0 /b tiende a cero. De acuerdo al desarrollo del binomio El campo de una superficie es:El campo de una superficie es:

30 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Como b mucho mayor que r 0, y el cociente r 0 /b tiende a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:Como b mucho mayor que r 0, y el cociente r 0 /b tiende a cero, entonces la unidad es mucho mayor que: El denominador tiende a cero y el campo de una superficie es:El denominador tiende a cero y el campo de una superficie es:

31 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie. La densidad superficial de carga es: Sustituyendo en la ecuación de campo, para el caso B

32 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM En la figura se muestra una superficie muy grande coincidente con el plano XZ, una línea muy larga que pasa por el punto C(0,2,0) [m] paralela al eje X y una carga puntual Q=30[μC] ubicada en el punto (0,2,3) [m]. Si Q experimenta la fuerza F=(300 j +500 k )[N]. Determine: a) El valor y signo de la densidad lineal de carga λ. b) El valor y signo de la densidad superficial de carga σ. c) El vector campo eléctrico total en el punto D (0,2,-1) [m] si λ=8.31x10- 4[C/m] y σ =177[mC/m2 ].

33 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Resolviendo para calcular λ.Resolviendo para calcular λ.

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38 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM La figura muestra dos alambres muy largos con carga, coplanares y paralelos al aje X. El alambre 1 posee una distribución lineal λ1 =- 0.5[ C/m] y cruza el eje Z en el punto M (0,0,3) [cm]; el alambre 2 con λ2 = 0.5 [ C/m] cruza el eje Z en el punto N(0,0,-3) [cm]. Calcule: a) El vector campo eléctrico en el punto O (0,0,0) [cm]. b) El vector campo eléctrico en el punto A (0, 1.5, 0) [cm].

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40 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM La figura muestra una carga puntual q=-2 [nC] situada en el punto (0,-3,3) [cm], una línea cargada de longitud infinita paralela al eje z y que pasa por el punto (0,5,0) [cm]. Determine: a) Si el campo eléctrico total en el punto B(0,0,3) [cm] es: E = - 18.2×10ˆ3 j [N/C] obtener la densidad de carga λ en la línea. b) Si λ=4 [nC/m) obtener el vector de campo eléctrico total en el origen O (0,0,0). c) El vector fuerza que actúa sobre la carga q debido a la línea

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45 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Próxima clase: Tema 1.5 concepto y definición dePróxima clase: Tema 1.5 concepto y definición de Flujo eléctrico. φ