 Curso: TEDU220 Preparado por: Yazluan Más Figueroa.

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1  Curso: TEDU220 Preparado por: Yazluan Más Figueroa

2  Estudiaremos el Teorema de Pitágoras para investigar los triángulos, rectángulos, sus medidas y areas. Tambien evaluaremos el aprendizaje atraves de ejercicios de práctica.

3  El estudiante para poder aprender a utilizar el teorema de pitágoras debe saber:  Sumar, Restar y Multiplicar  Sacar la raíz cuadrada  Medición de ángulos y clasificarlos  Identificar Triángulos y sus lados  Clasificar Triángulos y Rectángulos

4  ¿Quien es Pitágoras? ¿Quien es Pitágoras?  ¿Que es el Teorema de Pitágoras? ¿Que es el Teorema de Pitágoras?  ¿Que es un Triángulo Rectángulo? ¿Que es un Triángulo Rectángulo?  Hipotenusa Hipotenusa  La formula La formula  Como usar la formula Como usar la formula  Demostración de cálculo de áreas Demostración de cálculo de áreas  Demostración usando longitudes de segmento Demostración usando longitudes de segmento  Demostración geométrica mediante superposición de figuras Demostración geométrica mediante superposición de figuras  Comenzar a Prácticar Comenzar a Prácticar  Repaso Repaso  Videos Videos  Evaluación Evaluación  Bibliografía Bibliografía

5  Nace en Samos,pero siendo joven abandona su tierra natal y visita la Mesopotamia y Egipto, donde adquiere grandes conocimientos matemáticos. Según Bertrand Russell, la matemática como argumento deductivo- argumentativo empieza con Pitágoras.

6  1. Su doctrina consiste en la teoría de los números #.  2. Creyeron en la esferidad de la tierra y el movimiento alrededor de un fuego central.  3. Explicaron los elipses y las fases lunares.  4. Aplicación de la aritmética y la geometría.  5. Fundo comunidad religiosa, política y científica

7  6.La relación entre los sonidos y la longitud de la cuerda vibrante  7. El teorema de pitágoras  8. La tabla de multiplicar  9. La relación de la música y las matemáticas  10. Nace la idea de la “armonía de las esferas”, sostenían la relación que existe entre el diámetro de la orbita de los astros es proporcionar a las longitudes que existe en las cuerdas musicales.

8  Es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así: a 2 + b 2 = c 2

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10  Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos

11  es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

12  Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

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14  La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo

15  En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

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17  La expresión matemática que representa este Teorema es: hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2 c 2 = a 2 + b 2

18  Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

19  Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque a 2 + b 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = c 2

20  Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:  te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:  c2 = (3)2 + (4)2  elevando al cuadrado, eso da:  c2 = 9 +16 = 25  para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:  que c = 5.

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22  Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues), hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.  así por ejemplo, en el triángulo:  hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:  c2- b2 = a2  luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:  a2 = c2 - b2  y ya está despejada.  sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)  a2 = (15)2 - (12)2  elevamos al cuadrado y queda:  a2 = 225 - 144 = 81  finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:

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24  La primera demostración se basa en el hecho de que dos cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud deben tener la misma área.

25  También se usa el cálculo del área de una figura mediante la suma de las áreas de las partes en que se divide dicha figura.  El triángulo ABC es rectángulo.  El C = 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

26  Se construyen dos cuadrados de lado a + b y se divide esta longitud en segmentos de longitudes a y b, como se muestra en las figuras.  Puesto que los dos cuadrados tienen lados de longitud a + b, los dos tienen la misma área.

27  El área del cuadrado que se dividió en cuadrados y rectángulos es: A = a 2 + 2ab + b 2  Como las áreas son iguales, se tiene 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2. Restando 2 ab de ambos miembros de la igualdad se llega a: c 2 = a 2 + b 2  El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

28  Si en lugar de las áreas se consideran longitudes de segmentos, el teorema de Pitágoras se puede enunciar así: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo es igual que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

29  La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos semejantes entre sí, y también semejantes al triángulo original.  En el triángulo rectángulo ABC se tiene:  El C = 90°, c es la hipotenusa, a y b son los catetos, es la altura sobre la hipotenusa.

30  Para facilitar el siguiente paso, se dibujan los triángulos semejantes como aparecen en la figura anterior.

31  Aplicando la propiedad fundamental a las proporciones anteriores, se obtiene:  Sumando las dos igualdades, miembro a miembro, se tiene que:  Factorizando c en el segundo miembro, resulta:

32  1. Se traza un triángulo rectángulo ABC en el que C sea igual a 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.  2. Ahora se trazan los cuadrados cuyos lados tienen longitudes a, b y c de manera respectiva.  3. Se tratará de probar, mediante superposición, que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

33 Para lo cual se requiere:  4. Localizar el punto medio M del cuadrado de longitud b, lo que se logra trazando las diagonales de dicho cuadrado.  5. Por el punto M, se trazan rectas paralelas a los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa  6. Se recorta el cuadrado cuyo lado es a y las partes del cuadrado cuyo lado es b.  7. Se colocan las figuras recortadas sobre el cuadrado cuyo lado es c, como se indica en la figura.  8. Si se cubre exactamente el cuadrado, se cumple que: c2 = a2 + b2

34  Repasar entrando a esta página virtual:  http://virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/teorema.s wf http://virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/teorema.s wf

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36 Puedes considerar los dos catetos como la base y la altura del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para encontrar la longitud del otro cateto, usa el Teoremade Pitágoras. A) b=12 b=12 B) b=6 b=6 C) b=10 b=10 D) b=13 b=13 13 pies 5 pies Próxima Pregunta

37 b=12 Ejercicio resuelto:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye.  25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado.  b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados.  b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

38  Tu contestación no es la correcta. La contestación correcta es la letra: A) b=12 Ejercicio resuelto:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye.  25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado.  b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados.  b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Proxima Pregunta

39  Tu contestación no es la correcta. La contestación correcta es la letra: A) b=12 Ejercicio resuelto:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye.  25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado.  b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados.  b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

40  Tu contestación no es la correcta. La contestación correcta es la letra: A) b=12 Ejercicio resuelto:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye.  25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado.  b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados.  b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

41 100 m 70 m c La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud. A) c=120 c=120 B) c=125 c=125 C) c=122 c=122 D) c=140 c=140 Próxima Pregunta

42 Te equivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.  Solucion:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos.  4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado.  14,900 = c^2 Suma.  122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

43 Te equivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.  Solucion:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos.  4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado.  14,900 = c^2 Suma.  122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

44 Te equivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.  Solucion:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos.  4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado.  14,900 = c^2 Suma.  122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

45  Escojistes la contestacion correcta! La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.  Solucion:  a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras.  70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos.  4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado.  14,900 = c^2 Suma.  122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado. Próxima Pregunta

46 A) a=10 a=10 B) a=9 a=9 C) a=15 a=15 D) Ninguna de las anteriores Ninguna de las anteriores Próxima Pregunta

47  La contestacion correcta es la letra B) a=9 Ejercicio Resuelto: Próxima Pregunta

48  La contestación correcta es la letra: B) a=9 Ejercicio Resuelto: Próxima Pregunta

49  La contestación correcta es la letra: B) a=9 Ejercicio Resuelto: Próxima Pregunta

50  La contestación correcta es la letra: B) a=9 Ejercicio Resuelto: Próxima Pregunta

51 4 3 c A)c=6c=6 B)c=10c=10 C)c=5c=5 D)c=8c=8 Próxima Pregunta

52  La respuesta correcta es la letra: C) c=5 EJERCICIO RESUELTO: Próxima Pregunta

53  La respuesta correcta es la letra: C) c=5 EJERCICIO RESUELTO: Próxima Pregunta

54  La respuesta correcta es la letra: C) c=5 EJERCICIO RESUELTO: Próxima Pregunta

55  La respuesta correcta es la letra: C) c=5 EJERCICIO RESUELTO: Próxima Pregunta

56  Entrar al próximo link en donde podras repasar nuevamente lo antes estudiado y podras hacer un test de prueba.  http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_ eg2/index.html http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_ eg2/index.html

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61 A) Cateto Cateto B) Altura Altura C) Segmento Segmento D) Hipotenusa Hipotenusa Próxima Pregunta

62  La letra correcta es la letra: D) Hipotenusa Próxima Pregunta

63  La letra correcta es la letra: D) Hipotenusa Próxima Pregunta

64  A)C)  B)D) Próxima Pregunta

65  La letra A era la contestación correcta!. En el siguiente diagrama veras los nombres de los diferentes tipos de triángulos Próxima Pregunta

66  La letra A era la contestación correcta!. En el siguiente diagrama veras los nombres de los diferentes tipos de triángulos Próxima Pregunta

67  A)  B)  C)  D)

68 Próxima Pregunta

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70 c=? b=3 a=4 a)c=10c=10 b)c=5c=5 c)c=7c=7 d)c=15c=15

71 Perfecto! La letra correcta es la letra:  b)c=5 Ejercicio Resuelto: b=3 a=4 c=5 Próxima Pregunta

72 b=3 a=4 c=5 Perfecto! La letra correcta es la letra:  b)c=5 Ejercicio Resuelto:

73 A)b=12 B)b=4 C)b=8 D)b=6 c=10m a=8m b=?

74 La respuesta correcta es la letra D

75 La respuesta correcta es la letra D. Verifica en que te equivocaste con el siguiente ejercicio resuelto

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78  http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorem a-pitagoras.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorem a-pitagoras.html  http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/te orema.htm http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/te orema.htm  http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/teorem a_pitagoras.pdf http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/teorem a_pitagoras.pdf  http://www.geoka.net/triangulos/teoerma_pitagoras.html http://www.geoka.net/triangulos/teoerma_pitagoras.html  http://www.phy6.org/stargaze/Mpyth.htm http://www.phy6.org/stargaze/Mpyth.htm  http://www.conevyt.org.mx/cursos/para_asesor/tics/softw areedu/pitagoras.htm http://www.conevyt.org.mx/cursos/para_asesor/tics/softw areedu/pitagoras.htm

79  http://virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/teorema.s wf http://virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/teorema.s wf  http://www.slideshare.net/perezs/modulo-teorema-de- pitagorasmodificado-presentation http://www.slideshare.net/perezs/modulo-teorema-de- pitagorasmodificado-presentation  http://www.vitutor.com/geo/eso/asActividades.html http://www.vitutor.com/geo/eso/asActividades.html  http://www.slideshare.net/oderflaoguh/teorema-de- pitagoras-ejemplos http://www.slideshare.net/oderflaoguh/teorema-de- pitagoras-ejemplos