Aplicaciones de la derivada a la economía

Presentación del tema: "Aplicaciones de la derivada a la economía"— Transcripción de la presentación:

1 Aplicaciones de la derivada a la economía
M. Sc. Jorge E. Hernández H UCLA – DAC

2 Aplicaciones de las Derivadas
Aquí mostramos el contenido de esta presentación. La misma lo guiará en el aprendizaje de dicho contenido. 1. Monotonía de una función 2. Puntos críticos de una función 3. Máximos y mínimos relativos 4. Concavidad de una función 5. Puntos de inflexión 6. Pasos para el bosquejo de una curva.

3 1. Monotonía de una función.

4 1. Monotonía de una función.
El término monotonía, cuando se refiere a una función, es usado para catalogar el ordenamiento de los valores de la función con respecto al orden natural de los valores de sus argumentos. Es decir, vemos el orden de f (x) comparado con el orden del argumento x.

5 Monotonía de una función.
Esta clasificación tiene como base la relación de orden ≥ o ≤ . Función creciente: Decimos que una función es creciente en un intervalo (a,b) si para cada par de elementos en (a,b), se tiene que

6 Monotonía de una función.
Por ejemplo, la función es una función creciente. En efecto, sean Entonces, y En consecuencia, Veamos el gráfico.

7 Monotonía de una función.
Función decreciente: Decimos que una función es decreciente en un intervalo (a,b) si para cada par de elementos en (a,b), se tiene que

8 Monotonía de una función.
Por ejemplo, la función es una función creciente. En efecto, sean Entonces, y En consecuencia, Veamos el gráfico.

9 Monotonía de una función.
Intervalo de crecimiento: El intervalo de la recta real donde la función es monótona creciente se denomina intervalo de crecimiento. Una función puede poseer uno o varios intervalos de crecimiento. En la gáfica, el intervalo (a,b) es un intervalo de crecimiento

10 Monotonía de una función.
Intervalo de decrecimiento: El intervalo de la recta real donde la función es monótona decreciente se denomina intervalo de decrecimiento. Una función puede poseer uno o varios intervalos de decrecimiento. En la gáfica, el intervalo (a,b) es un intervalo de crecimiento

11 Monotonía de una función.
Aplicación de la derivada #1. Teorema: Dada una función f diferencible, entonces el conjunto solución de la desigualdad está formado por los intervalos de crecimiento de la función. Teorema: Dada una función f diferenciable, el conjunto solución de la desigualdad Está formado por los intervalos de decrecimiento de la función.

12 Monotonía de una función.
Ejemplo: Encontrar los intervalos de monotoniá de la función Solución: Primero, encontramos la derivada de la función Para encontrar los intervalos de crecimiento resolvemos Resolviendo esta desigualdad: es decir, el conjunto solución es y es precisamente el intervalo de crecimiento de la función.

13 Monotonía de una función.
En consecuencia, el intervalo que que complementa para la totalidad de R, es el intervalo Que es precisamete el intervalo de decrecimiento. Ω El siguiente gráfico muestra estos intervalos:

14 2. Puntos críticos de una función.

15 2. Puntos críticos de una función.
Punto crítico: Un punto de la gráfica de una función se denomina punto crítico si en este punto la derivada de la función es cero o no existe.

16 2. Puntos críticos de una función.
Algunos tipos de puntos críticos: 1. Función con punto crítico donde la derivada es cero.

17 2. Puntos críticos de una función.
Algunos tipos de puntos críticos: 2. Función con punto crítico donde la derivada no existe. por discontinuidad.

18 2. Puntos críticos de una función.
Algunos tipos de puntos críticos: 2. Función con punto crítico donde la derivada no existe. por no existencia de los límites laterales de la derivada Ω

19 3. Maximos y minimos Relativos.

20 3. Maximos y minimos Relativos.
Máximo relativo: Es cualquier punto de la gráfica de la función, cuyo valor en la ordenada es mayor que cualquier otro punto de la misma , en un entorno de él. Mínimo relativo: Es cualquier punto de la gráfica de la función, cuyo valor en la ordenada es menor que cualquier otro punto de la misma en un entorno de él.

21 3. Máximos y mínimos relativos.
Aplicación de la derivada #2. Teorema: Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto que contiene a x = c entonces, Si la derivada es positiva para cualquier valor de x menor que c y negativa para cualquier valor mayor que c entonces f es tiene un máximo relativo en x = c. Si la derivada es negativa para cualquier valor de x menor que c y positiva para cualquier valor mayor que c entonces f es tiene un mínimo relativo en x = c.

22 3. Máximos y mínimos relativos.
Ejemplo de aplicación: Dada la función Encontrar los extremos relativos. Solución: Como f es un polinomio entonces conocemos que su derivada existe en todo su dominio. Su derivada es

23 3. Máximos y mínimos relativos.
Resolvamos la ecuación para encontrar los puntos críticos.

24 3. Máximos y mínimos relativos.
Entonces los puntos críticos son Nos toca decidir cual de ellos es un máximo o cual es un mínimo. Usamos entonces el teorema anterior. Evaluamos la derivada con algún valor de x a la izaquierda de 3, a su derecha, a la izquierda de 1 y a su derecha, estudiando su signo. Y vemos que: Ω

25 4. Concavidad de una función

26 4. Concavidad de una función.
El término concavidad se refiere a la curvatura que presenta el trazado de la gráfica de la función que se está estudiando. Esta curvatura puede mostrarse hacia arriba o hacia abajo. Por eso hablamos de funciones Cóncavas hacia arriba o Concavas hacia abajo. Ejemplo gráfico.

27 4. Concavidad de una función.
Al igual que la monotonía, decimos que el intervalo donde la función es concava hacia arriba es un intervalo de concavidad hacia arriba. Similarmente, el intervalo donde la función es concava hacia abajo es un intervalo de concavidad hacia abajo. En la gráfica el intervalo Es un intervalo de conc. hacia abajo.

28 4. Concavidad de una función.
Aplicación de la derivada #4. Teorema: Dada una función f diferencible dos cveces, entonces el conjunto solución de la desigualdad está formado por los intervalos de concavidad hacia arriba de la función. Teorema: Dada una función f diferenciable dos veces, el conjunto solución de la desigualdad Está formado por los intervalos de concavidad hacia abajo de la función.

29 4. Concavidad de una función.
Ejemplo: Encontrar los intervalos de concavidad de la función Solución: Primero, encontramos la derivada de la función Seguidamente, buscamos su segunda derivada Debemos resolver la desigualdad para encontrar los intervalos de concavidad hacia arriba. En consecuencia, es una desigualdad válida para cualquier valor de x. Por lo tanto el conjunto solución es R.

30 4. Concavidad de una función.
Concluimos que la función es concava hacia arriba en toda la recta real. Véase la gráfica. Ω

31 5. Puntos de inflexión.

32 5. Puntos de Inflexión. Se denomina punto de inflexión de la gráfica de una función al punto en donde ocurre un cambio de concavidad. Esto puede ocurrir, cuando a la izquierda del punto hay concavidad hacia arriba y a su derecha concavidad hacia abajo, o viceversa. Véase el gráfico.

33 6. Pasos para graficar

34 6. Pasos para graficar Dada una función f nos interesa encontrar su gráfica. De esta gráfica nos interesan todos los aspectos estudiados anteriormente. Aquí proponemos una secuencia de pasos, ordenados de forma tal que podemos encontrar la gráfica de cualquier función sin gran dificultad. Buscar el dominio de la función Buscar los puntos de discontinuidad Encontrar asíntotas horizontales Encontrar asíntotas verticales Encontrar puntos críticos Encontrar Intervalos de monotonía Encontrar puntos de inflexión Encontrar Intervalos de concavidad

35 6. Pasos para graficar Ejercicio: Dada la función
Encuentre su gráfica. Solución: Sigamos los pasos dados anteriormente. Búsqueda del dominio. Esta función es un polinomio Por lo tanto su dominio es todo el conjunto de números reales. 2. Búsqueda de puntos de discontinuidad Esta función es continua en todos sus puntos ya que es un polinomio, por lo tanto no tiene discontinuidades

36 6. Pasos para graficar. 3. Asíntotas horizontales. Para encontrar estas asíntotas buscamos los límites de la función al infinito y al menos infinito. En consecuencia, no hay asíntotas horizontales. 4. Asíntotas verticales. Como la función no posee puntos de discontinuidad entonces no posee asíntotas verticales.

37 6. Pasos para graficar. 5. Puntos críticos. Estos puntos los encontramos resolviendo la ecuación Veamos entonces. Resolvemos entonces: Sustituyendo estos valores en la función, obtenemos :

38 6. Pasos para graficar. Para Y para
Así los puntos críticos son 6. Busqueda de intervalos de monotonía. Para encontrar dichos intervalos escogemos resolver una de estas desigualdades.

39 6. Pasos para graficar. En este caso resolveremos la primera de las desigualdades y encontraremos el o los intervalos de crecimiento. Usando el método de Sturm En consecuencia, los intervalos de crecimiento son Y el intervalo de decrecimiento es

40 6. Pasos para graficar. 7. Buscar puntos de inflexión. Para esto resolvemos la ecuación En otras palabras, necesitamos derivar por segunda vez Así, tenemos Sustituyendo este valor en la función dada

41 6. Pasos para graficar. En consecuencia el punto de inflexión es 8. Intervalos de concavidad. Para encontrar dichos intervalos, resolvemos una de las siguientes desigualdades Nosotros escogeremos la primera de ellas. Así, tenemos Lo que significa que el intervalo de concavidad hacia arriba es

42 6. Pasos para graficar. Y en consecuencia el intervalo de concavidad hacia abajo es _________ == __________ Con todos los datos encontrados, llenaremos una tabla resumen y graficaremos en un plano cartesiano.

43 6. Pasos para graficar. TABLA RESUMEN Dominio de la función R
Discontinuidades No tiene Asíntotas Horizontales Asíntotas Verticales Puntos Críticos (0,0) y (1/2, -1/4) Intervalos de monotonía C: (-∞,0),(1/2,∞) D: (0,1/2) Puntos de inflexión (1/4,-1/8) Intervalos de concavidad Abj: (-∞,1/4) Arr: (1/4,∞)

44 Identificación de los datos en el plano.
6. Pasos para graficar. Identificación de los datos en el plano.

45 6. Pasos para graficar. Gráfica de la función

46 Gracias por su atención.
Fin de la presentación Gracias por su atención.