BioFisicoQuímicaMacroMolecular 2008 BioFisicoQuimicaMacroMolecular 2008/

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1 BioFisicoQuímicaMacroMolecular 2008 http://einstein.ciencias.uchile.cl/ BioFisicoQuimicaMacroMolecular 2008/

2 Principios generales de termodinámica “Principles of Physical Biochemistry”. Kensal E. Van Holde, W. Curtis Johnson y P. Shing Ho. Prentice Hall, New Yersey, 1998 http://einstein.ciencias.uchile.cl/ BioFisicoQuimicaMacroMolecular 2008/Clases/Clase1

3 Sistema: La parte del universo que vamos a considerar. Alredores: Lo que está fuera del sistema. Sistema aislado no hay intercambio de materia ni energía entre el sistema y sus alrededores. Sistema cerrado no hay intercambio de materia entre el sistema y sus alrededores. Estado: Es la condición del sistema definido por su volumen, presión, temperatura, composición. Equilibrio: Condición en que el estado del sistema no cambia en el tiempo. Variables de estado: son aquellas que dependen solamente del estado del sistema sin importar su historia previa. Por ejemplo Volumen V Presión P Temperatura, T

4 Estado: Es la condición del sistema definido por su volumen, presión, temperatura, composición. Equilibrio: Condición en que el estado del sistema no cambia en el tiempo. Variables de estado: son aquellas que dependen solamente del estado del sistema sin importar su historia previa. Por ejemplo Volumen V Presión P Temperatura, T Ecuaciones de estado: relacionan las variables de estado para los estados de equilibrio.  Por ejemplo para un mol de gas ideal: PV = RT Procesos: son cambios del estado del sistema Proceso reversible: es aquel en que el sistema evoluciona desde el estado inicial al estado final a través de una sucesión infinita de estados de equilibrio. Proceso irreversible: es aquel en que el sistema evoluciona desde el estado inicial al estado final a través otros caminos.

5 Calor q: es una forma de energía que entra al sistema desde los alrededores debido a diferencias de temperatura. Se mide en joule J. http://www.rae.es/

6 Calor q: es una forma de energía que entra al sistema desde los alrededores debido a diferencias de temperatura. Se mide en joule J. La energía interna es una variable de estado pero calor y trabajo no lo son: en un proceso q y w dependen del camino recorrido entre el estado inicial y el estado final. (Para recordarlo calor y trabajo se abrevian con letras minúsculas q y w) Trabajo w: es una forma de energía que sale del sistema en formas diferentes de calor. Se mide en joule J. Energía interna E: es una variable de estado y está definida por la primera ley de la termodinámica: el principio de conservación de la energía.

7 Trabajo de cambio de volumen. ViVi VfVf La fuerza f (newton N) ejercida por los alrededores sobre cada cara del sistema es el producto de la presión P (pascal, Pa) por el área de la cara. El punto de aplicación de la fuerza se ha movido en un cantidad x metros. Si la presión es constante entonces: x f f

8 ¿Cuánto es el coseno del ángulo? ¿Cuánto es el coseno del ángulo? Es -1 VfVf x f Aquí parece haber un problema: f y x son cantidades vectoriales. El producto punto entre estos dos vectores es: Por lo tanto el trabajo que calculamos es negativo... Este es el trabajo hecho por los alrededores sobre el sistema: son los alrededores los que aplican la presión sobre el sistema. El trabajo hecho por el sistema es positivo. El sistema hizo trabajo sobre los alrededores. El trabajo w es positivo, por lo tanto salió energía del sistema ¿qué habrá pasado con E y q?

9 ViVi VfVf PiPi PfPf Baño termostato. T = Cte P V ¿Cómo calculamos el trabajo?PiPi ViVi PfPf VfVf ¿Qué P usar en la ecuación? Para un trabajo infinitesimal  V  0

10 ViVi VfVf PiPi PfPf Baño termostato. T = Cte P V PiPi ViVi PfPf VfVf Para calcular w se necesita conocer el camino entre el estado inicial y el estado final Camino1: se cambia en forma instantánea desde P i a P f

11 ViVi VfVf PiPi PfPf Baño termostato. T = Cte P V PiPi ViVi PfPf VfVf Para calcular w se necesita conocer el camino entre el estado inicial y el estado final Camino2: se cambia en dos pasos.

12 ViVi VfVf PiPi PfPf Baño termostato. T = Cte Para calcular w se necesita conocer el camino entre el estado inicial y el estado final Camino3: sucesión infinita de estado de equilibrio, a T constante. PiPi ViVi PfPf PV = RT VfVf

13 ViVi VfVf PiPi PfPf Baño termostato. T = Cte Para calcular w se necesita conocer el camino entre el estado inicial y el estado final Camino3: sucesión infinita de estado de equilibrio, a T constante. PiPi ViVi PfPf PV = RT VfVf

14 Entalpía, H, es una función de estado, igual a la suma de su energía interna más el producto de su volumen por la presión exterior. Se mide en joule. Supongamos que el único trabajo que puede hacer el sistema es trabajo de expansión, entonces: Si el proceso ocurre a volumen constante (  V = 0): El cambio de Energía Interna es igual al calor absorbido a volumen constante q V

15 Si w = PdV Si el proceso es a presión constante El cambio de Entalpía es igual al calor absorbido a Presión constante q p Entalpía, H, es una función de estado, igual a la suma de su energía interna más el producto de su volumen por la presión exterior. Se mide en joule.

16 ¿Qué es la Energía Interna? Energía cinética: Traslación de las moléculas, Rotación de las moléculas, vibraciones de las moléculas. Energía potencial: deformaciones de la geometría de los enlaces, interacciones electrostáticas, atracciones y repulsiones de los átomos. Para los gases ideales la energía interna es solamente la energía cinética de sus partículas. Para los gases ideales la energía interna depende solamente de la temperatura.

17 c Energía cinética de un gas ideal. Tenemos 1 mol de gas ideal en una caja cúbica de arista l. La partículas se mueven con una velocidad c m/s. La energía cinética de cada partícula es 1/2mc 2. La velocidad expresada en sus componentes ortogonales es : Como las partículas se mueven con la misma probabilidad es todas direcciones entonces basta analizar el movimiento a lo largo un solo eje. l El mol gas está compuesto por N partículas iguales de masa m kilogramos. u w v

18 c Energía cinética de un gas ideal. La partícula viaja hacia la pared de la izquierda, rebota y vuelve a chocar contra la misma pared después de haber recorrido 2 l metros. Se demora entre choque y choque 2 l /v segundos. v -v-v l Cuando la partícula choca contra la pared de la derecha rebota sin pérdida de energía cinética. El momento de una partícula, en el eje x es mv (kg m s -1 ). Antes del choque la velocidad es v ms -1 y después del choque es –v ms -1.. Sufre un cambio de momento igual a 2mv. El período entre choque y choque es de 2 l /v s.La frecuencia es v/2 l s -1 El producto del cambio de momento por la frecuencia de los choques es 2mv 2 /2 l (kg m s -2 = newton, N). Es la fuerza ejercida contra la pared. ¿Unidades?

19 Energía cinética y presión. La presión ejercida por un mol de gas es c v -v-v l La fuerza ejercida por cada partícula contra la pared es mv 2 / l. (N).. La presión, P, ejercida contra la pared es la fuerza dividida por el área: mv 2 / l 3. (Pa). El producto PV para un gas ideal es

20 Energía cinética y presión. c v -v-v l La energía cinética E K de un mol de gas es La para un gas ideal la Energía interna es la energía cinética de sus partículas. Para un mol gas ideal la Energía interna depende sólo de su temperatura.

21 Hemos supuesto que todas las partículas pertenecen a una población homogénea por lo tanto tienen la misma energía cinética en promedio. ¿Qué forma tiene la distribución de la energía?. Para responder a esta pregunta recurriremos a la estadística. La estadística es muy confiable para describir grandes poblaciones. Juegos de monedas: Si tiramos una moneda al aire caerá cara o sello, es impredecible. Si tiramos 10 monedas es poco probable que caigan cinco caras y cinco sellos. Si tiramos 10 6 monedas podemos predecir con seguridad que la probabilidad de cara será 0.5 y la del sello 0.5. Juegos de dados: Si tiro un dado cúbico puedo sacar 6 números diferentes. Si tiro dos dados puedo sacar 6*6 = 36 combinaciones diferentes. Juegos de dados: ¿Cuántas caras tiene un dado? http://www.dicecollector.com/diceinfo_how_many_shapes.html

22 Juegos de dados: Si tiro dos dados puedo sacar 6*6 = combinaciones diferentes. Si A es la suma de los dos dados, la probabilidad de sacar cada valor de A es: 2 1+1 1/36 1 3 1+2, 2+1 2/36 2 4 1+3, 2+2, 3+1 3/36 3 5 1+4, 2+3, 3+2, 4+1 4/36 4 6 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 5/36 5 7 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 6/36 6 9 3+6, 4+5, 5+4, 6+3 4/36 4 8 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2 5/36 5 10 4+6, 5+5, 6+4 3/36 3 11 5+6, 6+5 2/36 2 12 6+6 1/36 1 Sumas 36/36 36 A Maneras de sacar A Probabilidad de A Números de maneras de sacar A La probabilidad de obtener un arreglo dado se puede definir como el número de maneras como se puede obtener ese arreglo dividido por el número total de maneras posibles de arreglar el sistema. La probabilidad estadística W de un arreglo dado es el número de maneras como se puede obtener ese arreglo. (El desorden de Feymann)

23 Estudiemos un sistema que contiene 6 moléculas. Las moléculas pueden tener distintos estados de energía:          etc, tales que:    J    (J)    (J)    (J)    (J)... etc La suma de todas las energías debe ser 10 . ¿Número de maneras de obtener esta distribución: n 5 = 1, n 1 = 5 ? 54321 54321 J El número de moléculas en cada estado es n 1, n 2, n 3, etc.

24 Estudiemos un sistema que contiene 6 moléculas. Las moléculas pueden tener distintos estados de energía:          etc, tales que:    J    (J)    (J)    (J)    (J)... etc La suma de todas las energías debe ser 10 . 54321 54321 J ¿Número de maneras de obtener esta distribución n 5 =1, n 1 =5? 654321 = 6! Pero las permutaciones dentro del estado 1 no generan nuevas distribuciones. Hay 5! permutaciones en el nivel 1 por lo tanto el número de arreglos distinguibles es: 654321 El número de moléculas en cada estado es n 1, n 2, n 3, etc.

25 543210543210 J 543210543210 543210543210 543210543210 543210543210 543210543210 J Estos son los 6 arreglos distinguibles para 1 cinco más 5 unos. Otras manera de ver las 6 maneras de obtener un 5 más cinco unos: 5+1+1+1+1+1=10 1+5+1+1+1+1=10 1+1+5+1+1+1=10 1+1+1+5+1+1=10 1+1+1+1+5+1=10 1+1+1+1+1+5=10

26 543210543210 D 543210543210 A 543210543210 B 543210543210 C 543210543210 E

27 W A = 6, P A = 6/126 W B = 30, P B = 30/126 W C = 15, P C = 15/126 W D = 60, P D = 60/126 W E = 15, P E = 15/126 Sumas 126 1.000 ¿Cuál es la probabilidad del arreglo A? El arreglo D es el más probable

28 CONTINUACIÓN

29 Estudiemos un sistema que contiene 6 moléculas. Las moléculas pueden tener distintos estados de energía:          etc, tales que:    J    (J)    (J)    (J)    (J)... etc La suma de todas las energías debe ser 10 . 54321 54321 J ¿Número de maneras de obtener esta distribución n 5 =1, n 1 =5? 654321 = 6! Pero las permutaciones dentro del estado 1 no generan nuevas distribuciones. Hay 5! permutaciones en el nivel 1 por lo tanto el número de arreglos distinguibles es: 654321 El número de moléculas en cada estado es n 1, n 2, n 3, etc.

30 543210543210 J 543210543210 543210543210 543210543210 543210543210 543210543210 J Estos son los 6 arreglos distinguibles para 1 cinco más 5 unos. Otra manera de ver las 6 maneras de obtener un cinco más cinco unos: 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 1 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 1 + 1 + 5 + 1 + 1 + 1 = 10 1 + 1 + 1 + 5 + 1 + 1 = 10 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 1 = 10 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 10

31 543210543210 D 543210543210 B 543210543210 C 543210543210 E Fórmula general para N partículas con n 1 partículas en el nivel 1, n 2 en el nivel 2, n 3 en el 3 etc… 543210543210 A

32 La probabilidad estadística de un arreglo de N partículas con n 1 partículas en el nivel 1, n 2 en el nivel 2, n 3 en el nivel 3 etc… En un sistema con muchas partículas el estado de equilibrio será el más probable alrededor del cual fluctuará. ¿Cuál es el arreglo más probable de todos los arreglos que tienen el mismo número de partículas y la misma energía? El arreglo más probable es el que tiene la máxima probabilidad estadística, W, con las restricciones:

33 Estamos buscando el máximo de W. Además tenemos que tomar en cuenta las restricciones. Usamos el método de los multiplicadores de Lagrange para buscar el máximo, considerando las restricciones de más arriba. Para buscar un valor extremo de una función f, con las restricciones que otras funciones, g 1, g 2,... sean = 0 se usa los Multiplicadores de Lagrange 1, 2,.... Se crea una función auxiliar ( el lagrangiano) y se le busca un valor extremo sin ninguna restricción. La función auxiliar es ésta: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier http://einstein.ciencias.uchile.cl/ BioFisicoQuimicaMacroMolecular 2008/Lecturas/Lagrange

34 g(x,y) = c f(x,y) = diferentes valores Búsqueda de máximo o mínimo de una función f(x,y), con la restricción que g(x,y) sea igual a una constante. y x

35 g(x,y) f(x,y) Escalar, multiplicador de Lagrange g(x,y) = c f(x,y) = diferentes valores x y Búsqueda de máximo o mínimo de una función f(x,y), con la restricción que g(x,y) sea igual a una constante.

36 g(x,y) = c Escalar, multiplicador de Lagrange f(x,y) = diferentes valores x y Búsqueda de máximo o mínimo de una función f(x,y), con la restricción que g(x,y) sea igual a una constante.

37 Ejemplo: Buscar el valor máximo de la función f(x,y) con la restricción que g(x,y) = c La función auxiliar es: El máximo o mínimo lo encontramos para el gradiente igual a cero: El gradiente calculado en el valor de que hace cero el gradiente: Que es la condición del máximo o mínimo restringido que buscamos: Y la derivada parcial con respecto a : Lo que nos comprueba que se cumple que g(x,y) = c :

38 Estamos buscando el máximo de la función Con dos restricciones: La función auxiliar es:

39 Para que el gradiente evalúe a cero se requiere que sea cero la derivada parcial para cada una de los niveles de energía. Veamos la derivada parcial de F(n j, ,  ) con respecto al n i La función auxiliar es: Buscamos: Los términos que no son ceros son:

40 La aproximación de Stirling para x! http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/factorial.pdf xx!lnx!Stirling 110.000-0.081 220.6930.652 361.7921.764 4243.1783.157 51204.7874.771 67206.5796.565 750408.5258.513 84032010.60510.594 936288012.80212.793 10362880015.10415.096

41 La aproximación de Stirling para x! Para x muy grande

42 Esto se cumple para cada uno de los j niveles de energía Distribución de Boltzmann Relación del número de partículas en dos niveles de energía, 1 y 2 Distribución de Boltzmann

43 Razón del número de partículas en dos niveles diferentes de energía A B La distribución de Boltzmann nos dice que en el equilibrio: Nuestros conocimientos previos nos dicen que: Jmol -1 J La k es la Constante Boltzmann ( R/ N ) 1.3807 10 -23 JK -1

44 Multiplicidad de estados que tienen la misma energía. Supongamos que en un conjunto de estados A, B, C, D, E, etc. hay dos estados, A y B que tienen energías muy cercanas  A y  B. Los números de moléculas en estado A, n A y en el estado B, n B son: Si agrupamos los dos estados en uno solo caracterizado por una energía promedio  AB, el número de moléculas en este estado será: Se dice que un nivel de energía presenta degeneración cuando comprende diferentes estados con energías iguales. Si para el nivel de energía j existen g j estados diferentes el número de moléculas en ese nivel de energía, n j, es: El coeficiente g j se denomina degeneración.

45 Eliminando la constante  Sabemos que la suma de todos los n j deber ser igual a N el número total de moléculas en el sistema. La fracción de moléculas en el estado j es n j /N: El denominador es la suma de la ocupación de todos los niveles de energía y se llama Función de Partición, Z:

46 Distribución y temperatura Si la temperatura es muy baja, tiende a cero, entonces todos las funciones exponenciales tendrán valores muy pequeños. Cuanto mayor sea  j, más chica será la función exponencial correspondiente. Cuando T  0 sólo queda el término de energía menor en la sumatoria del denominador: A temperatura de cero grados sólo está poblado el nivel de energía menor. Al subir la temperatura los niveles de energía no cambian pero se pueblan niveles más altos de energía por lo que aumenta la energía del sistema.

47 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 546 K

48 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 410 K

49 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 273 K

50 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 191 K

51 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 137 K

52 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 82 K

53 Energía promedio. Definición de promedio El denominador es la Función de Partición Z, que común para todo los j. La energía promedio. 27 K

54 FIN