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Teorema de Tales SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PERÍMETROS, ÁREAS y VOLÚMENES.

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Presentación del tema: "Teorema de Tales SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PERÍMETROS, ÁREAS y VOLÚMENES."— Transcripción de la presentación:

1 Teorema de Tales SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PERÍMETROS, ÁREAS y VOLÚMENES

2 Por el Teorema de Tales, los segmentos resultantes de cortar a dos rectas por varias rectas paralelas, son proporcionales. De igual manera los triángulos que se originan son semejantes, pues sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales. Los triángulos ROJO, AZUL y CRIS son semejantes.

3 Por el Teorema de Tales: a b c a+b a+b+c --- = --- = --- = ----- = --------- d e f d+e d+e+f También, indirectamente: a a+b a+b+c --- = ------ = --------- g h i Y también: d d+e d+e+f --- = ------ = --------- g h i a b c d e f g h i

4 A A’ A” B B’ B” C = C’ = C” Las anteriores relaciones entre los lados de los diferentes triángulos no sería posible si los ángulos de lados paralelos no fueran iguales: A = A’ = A” B = B’ = B”

5 Teorema de Tales A A’ A” B = 90º B’ = 90º B”=90º C = C’ = C” Las anteriores relaciones entre los lados de los diferentes triángulos si éstos son RECTÁNGULOS reciben el nombre de RAZONES TRIGONOMÉTRICAS, siendo estas razones el fundamento de la TRIGONOMETRÍA (4º ESO).

6 Problema_1 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. 1 m Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m H 8,4 s S H

7 Problema_2 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura. 1 m Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 s 1 10 - S --- = ------  ------ = -------- H S 4.S S 1 = 40 – 4.S  4.S = 39  S = 9,75 m Luego H = 4.S = 4.9,75 = 39 m s S H

8 Problema_3 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que la sombra de la varilla, en ese instante, mide 35,4 m menos que la altura del edificio; y que la sombra del edificio mide 1,57 m. 1 m Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 s 1 H – 35,4 --- = ------  ------ = ------------ H S H 1,57 1,57 = H 2 – 35,4.H  H 2 – 35,4.H – 1,57 = 0 Resolviendo la ecuación: H = 35,44 m s S H

9 PROPIEDADES Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES *Razón de los PERÍMETROS = Razón de semejanza. *Razón de las ÁREAS = CUADRADO de la razón de semejanza. *Razón de los VOLÚMENES = CUBO de la razón de semejanza. Escalas. ESCALA es la razón de semejanza entre el original y su representación. ESCALA 1: 200 Escala gráfica es una recta graduada según la escala numérica correspondiente.

10 Ejemplo: Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto. Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m respectivamente). ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?. Perímetro antiguo: P = 3+3+4+4 = 14 m Perímetro nuevo: P’ = 6+6+8+8 = 28 m Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2

11 … Ejemplo: Área base antigua: A = 3.4 = 12 m 2 Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m 2 Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r 2 = 2 2 = 4 Volumen prisma antiguo: V = 3.4.5 = 60 m 3 Volumen prisma nuevo: V’ = 6.8.10 = 480 m 3 Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r 3 = 2 3 = 8 En general podemos decir que si en un cuerpo las dimensiones aumentan (o disminuyen) r veces, las superficies aumentan (o disminuyen) r 2 veces, y los volúmenes aumentan (o disminuyen) r 3 veces.

12 4 cm 4 cm 3 cm 3 cm 5 cm Como se aprecia en la figura superior, al multiplicarse por 2 la base y la altura, al área ha quedado multiplicada por 4. De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 A=12 A=48


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