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Módulo N°4 Introducción a la Geometría Plan de Nivelación.

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Presentación del tema: "Módulo N°4 Introducción a la Geometría Plan de Nivelación."— Transcripción de la presentación:

1 Módulo N°4 Introducción a la Geometría Plan de Nivelación

2 Para resolver ejercicios de geometría tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos básicos, los que facilitarán la comprensión y resolución de dichos ejercicios. En esta guía de nivelación, definiremos conceptos como punto, recta, semirrecta, rayos, ángulo, etc., y los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. También encontrarás aquellas fórmulas para cálculos de áreas y perímetros de polígonos, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, como cilindros, cubos, conos, etc. Cabe recordar que ésta es una “nivelación” y que queda mucho por aprender y reforzar. Esto es sólo una invitación para continuar estudiando junto a tu profesor. Introducción

3 I. Geometría Plana - Generalidades Punto, recta, semirectas y rayos Trazo y segmento Contenidos II. Polígonos Definición y Clasificación Área y Perímetro Rectas paralelas y perpendiculares Ángulos, relaciones angulares y clasificación Ángulos entre paralelas

4 III. Circunferencia y Círculo IV. Cuerpos Geométricos Definición Radio y diámetro Área y perímetro Caras, aristas y vértices Áreas y Volúmenes

5 Aprendizajes esperados Definir conceptos como: recta, ángulo, cuerpo geométrico, etc. Definir conceptos como: recta, ángulo, cuerpo geométrico, etc. Aplicar fórmulas de áreas y perímetros, tanto de polígonos como de algunos cuerpos geométricos, en ejercicios propuestos. Aplicar fórmulas de áreas y perímetros, tanto de polígonos como de algunos cuerpos geométricos, en ejercicios propuestos. Descubrir formas didácticas para calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos como prismas y cilindros. Descubrir formas didácticas para calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos como prismas y cilindros.

6 I. Geometría Plana - Generalidades Módulo N°4, página 6 Ángulo: Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común, llamado vértice. Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( …) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo. Su lectura es en sentido antihorario.

7 Relaciones angulares: Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ángulos Suplementarios: Módulo N°4, página 7 100° y 80° 46° y 134° 20° y 160° Ejemplos :

8 Ángulos Opuestos por el vértice: Son iguales. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90°. Módulo N°4, página 7 48° y 42° 60° y 30° 20° y 70° Ejemplos :

9 Ángulos entre paralelas Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida). Si L 1 // L 2 y L 3 una transversal, entonces se forman ocho ángulos, que corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten. Módulo N°4, página 9

10 II. Polígonos Áreas y Perímetros En la siguiente tabla se resumen las fórmulas para calcular las áreas y perímetros de los polígonos más comunes: triángulo, cuadrado y rectángulo (más adelante estudiaremos otros polígonos, como rombos, trapecios, pentágonos, hexágonos, etc.) Módulo N°4, página 10

11 FIGURAÁREAPERÍMETRO P = a+b+c A = a 2 P = 4a P = 2a + 2b A= Módulo N°4, página 11 Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19.

12 III. Circunferencia y Círculo Circunferencia: Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado “centro”. Definición Círculo: Es la porción del plano limitado por una circunferencia. Módulo N°4, página 13

13 Diámetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Radio y diámetro Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella. Módulo N°4, página 13 A B C OC: Radio(r) AB: Diámetro (d)

14 Área y Perímetro: Área ⊗ = r 2 Perímetro ⊗ = 2r Ejemplo: Si el diámetro de una circunferencia mide 10,6 cm, entonces, ¿cuál es su área y perímetro? Perímetro ⊗ = 2∙(5,3) Solución: Si el diámetro de la circunferencia mide 10,6 cm, entonces el radio mide 5,3 cm. Luego: Área ⊗ = ∙(5,3) 2 Área ⊗ = ∙(28,09) cm 2 Perímetro ⊗ = 10,6 cm Módulo N°4, página 13

15 IV. Cuerpos Geométricos El área o superficie de un prisma se obtiene sumando las áreas de su(s) base(s) y las áreas de sus caras laterales. Ejemplo: El área del prisma de base cuadrada de la figura, es: Áreas y volúmenes de algunos cuerpos geométricos Módulo N°4, página 15

16 El área o superficie del prisma se obtiene sumando las áreas de sus 2 bases cuadradras de lado 8 cm, más sus 4 caras laterales (rectángulos). A = 2·(8 2 ) + 4·(8 · 20) A = 2·(64) + 4·(160) A = A = 768 cm 2

17 El lado de la base cuadrada de la pirámide mide 3 cm. Sus caras laterales son triángulos de altura 5 cm. ¿Cuál será su área total? Ejercicio propuesto: Módulo N°4, página 15

18 El área o superficie de la pirámide se obtiene sumando el área de su base (cuadrada), con sus 4 caras laterales. A = (3 2 ) + 4·(3 · 5) 2 A = A = 39 cm 2

19 Los cilindros están formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectángulo de ancho igual al perímetro de la circunferencia basal (2r). ¿Cómo se calcula el área de un cilindro? Luego, el área de un cilindro se expresa como: A = 2·(r 2 ) + 2r·h Módulo N°4, página 16

20 ¿Cuál es el área del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm? Ejercicio propuesto: A = 2·(r 2 ) + 2rh A = 2·(·10 2 ) + 2·10·15 A = 2·(·100) + 2·150 A = 200 + 300 A = 500 Módulo N°4, página 16

21 ¿Cuál es el volumen del cilindro anterior? Para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el área de la base circular (r 2 ), por su altura (h). V cilindro = r 2 ·h V cilindro = 100·15 V cilindro = 1500 cm 3 Módulo N°4, páginas 16 y 17

22 Ejercicios propuestos: Módulo N°4, página ¿Cuál es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas están en razón 2 : 3 : 6, si la arista mayor mide 12 cm? Solución: Si el alto, ancho y largo de la caja están en razón 2:3:6, entonces: alto = 2k,ancho = 3k ylargo = 6k

23 Luego, alto = 4,ancho = 6 ylargo = 12 Por lo tanto, el volumen de la caja es: V= 12·6·4 V= 288 cm 3 2k 3k 6k Como la arista mayor (largo) mide 12 cm, entonces: 6k = 12 k = 2.  Módulo N°4, página 18

24 2. Si las bases triangulares del prisma de la figura tienen área igual a 12 cm 2 y su altura h, mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen? Solución: V= 12 · 15 cm 3 V= 180 cm 3 Módulo N°4, página 18

25 Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, desde la página 19. (Solucionario en página 25)


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