Los parámetros de sensibilidad:

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1 Los parámetros de sensibilidad:
¡Los Griegos ya vienen! Los parámetros de sensibilidad: Delta =  Gamma =  Theta =  Vega =  Rho = 

2 EJEMPLO: Call Put Precio: $10,30 $6,43  0,6151 -0,3849
S = $100; X = $100;r = 0,08;  = 0,3; T = 180 d. Call Put Precio: $10,30 $6,43  0, ,3849  0, ,0181  -12, ,5701  26, ,8416  25, ,1559 Todos son $s per una unic=dad.

3 (p) = p/ S LOS GRIEGOS SON MEDIDAS DE SENSIBILIDAD.
La pregunta es como va a cambiar el valor de la opción cuando se cambie el valor de uno de los parámetros que definen su valor. delta  Delta mide la sensibilidad del valor de la opción ante un “pequeño” cambio en el precio de mercado del activo subyacente. En términos matemáticos: (c) = c/ S (p) = p/ S Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por definición: (S) = S/ S = 1. En general, la delta de cual quier posicion es el cambio de dicha posición antes un pequeño cambio en el valor del activo subyacente.

4 (c) = n(d1)  0 < (c) < 1
Resultados: El delta de una put es el delta de la call (mismo subyacente, mismo precio de ejercicio y mismo vencimiento) menos 1. (p) = (c) - 1. Usando la fórmula de Black y Scholes, se puede mostrar que: (c) = n(d1)  0 < (c) < 1 (p) = n(d1) - 1  -1 < (p) < 0 en el ejemplo inicial: (c) = 0,6151 (p) = - 0,3849

5 (c) = 0,64  (p) = - 0,36. EJEMPLO:
Un STRADDLE comprado tiene un delta de: 0,64 + (- 0,36) = 0,28. Una estrategia (STRIP)en la que compramos dos de las puts y una call tiene un delta de: 0,64 + 2(- 0,36) = - 0,08 Y está casí neutralizada. Con los dados datos, la compra de la put con una acción del subyacente nos da una estrategia con delta: 1 + (- 0,36) = 0,64, Así que la estrategia de: comprar la put, caomprar el subyacente y vender la call, siempre está delta neutral. Por fin, la compra de 100 acciones del subyacente, venta de 100 calls y compra de y 100 puts nos da una posición con:  = (-100)(0,64) + 100(-0,36) = 0.

6 (V) = 0  n(S) + n(c)(c) = 0,
Estretegias que definen un nivel fijo de delta PosicióN de DELTA NEUTRAL Acabamos de comprar una opción call porque está subvaluadada. Para proteger el valor de la opción ante posibles cambios del precio del activo subyacente, vamos a comprar acciones del mismo. Problema: ¿Cuántas acciones del activo subyacente es necesario comprar para obtener una posición neutralizada. Es decir, una posición cuyo valor no se cambia cuando se cambie el precio del subyacente? V = n(S)S + n(c)c (V) = n(S) + n(c)(c) Una posición cuyo valor no se cambie es una posición DELTA NEUTRAL ( = 0) (V) = 0  n(S) + n(c)(c) = 0, n(S) = - n(c)(c) = 0,

7 (c) = 0,50 y n(c) = 100, se desprende que:
EJEMPLO: Supongamos que delta de una call es 0,50. Acabamos de comprar 100 calls. ¿Cuantas acciones del subyacente necesitamos comprar para tener una posición delta neutral? n(s) = - n(c)(c) = 0, (c) = 0,50 y n(c) = 100, se desprende que: n(s) = - n(c)(c) = (0,50) = - 50. Esta solución significa que la call y las acciones están en posiciones opuestas. Las acciones deben haber vendidas en corto. De la ecuación: n(S) = - n(c)(c) = 0, es claro que: (c) = - n(S)/n(c). Resulta que se puede definir el delta como: la razón de cobertura. Es decir, delta indica la cantidad del subyacente que está requerida para neutralizar el riesgo de la posición.

8 (c) = 2c/ S2 (p) = 2p/ S2 (S) = 2S/ S2 = 0.
GAMMA  Gamma mide el cambio de la delta antes un pequeño cambio del precio del subyacente. En términos matemáticos gamma es la segunada derivada del valor de la opción. (c) = 2c/ S2 (p) = 2p/ S2 Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por que por la definición: (S) = 2S/ S2 = 0. En general, Gamma de cual quier posicion es el cambio del delta de dicha posición ante un pequeño cambio del precio de mercado del subyacente. En el ejemplo inicial: (c ) = (p) = 0,0181

9 Resultado: Los gammas de una call y una put son iguales. Ejemplo: Con una (c) = 0,70  (p) = - 0,30 y gamma de 0,2345, una estrategia de Venta de la call y compra de la put tiene una  = - 0,70 + (- 0,30) = -1,00,  = - 0, ,2345 = 0. La estrategia de: comprar el subyacente comprar la put vender la call  = 1 - 0,70 + (- 0,30) = 0  = , ,2345 = 0. Esta estrategia es delta y gamma neutral.

10 (call) = (put) = 26,8416 VEGA 
Vega mide la sensibilidad del valor de la opción antes un pequeño cambio de la volatilidad del precio del activo subyacente. En el ejemplo inicial (call) = (put) = 26,8416

11 THETA  Theta mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño del tiempo que reste hasta el vencimiento de la opción. En el ejemplo inicial (call) = -12,2607 (put) = -4,5701

12 (call) = 25,2515 (put) = -22,1559 RHO 
Rho mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño de la tasa de interés. En el ejemplo inicial (call) = 25,2515 (put) = -22,1559

13 RESUMEN DE LOS GRIEGOS Posición Delta Gamma Vega Theta Rho S comprado S vendido C comprada C vendida P comprada P vendida

14 La sensibilidad de carteras
1. Una cartera es una combinación de activos y opciones. Todas las medidas de sensibilidad son derivadas. Teórema: La derivada de una combinación de funciones es la combinación de las derivadas. Por ende, la sensibilidad de una cartera es la suma de las medidas de sensibilidad de las posiciones incluidas en la cartera.

15 EJEMPLO: Supongamos que el precio actual de una libra de cobre es S = $,7525. Más, esxisten tres opciones con los siguientes parámetros: Delta($) Gamma($) Call 1 0,63 0,22 Call 2 0,45 0,34 Call 3 0,82 0,18 S 1,0 0,0 Es importante recordar que estos valores son por libra y que una opción cubre libras. Consederemos la siguiente cartera: {Largo: 3 calls #1; 2 calls #3; Corto: 10 calls #2.} = 3(0,63) + 2(0,82) – 10(0,45) = (- 0,97)(25.000) = - $24.250 = 3(0,22) + 2(0,34) – 10(0,18) = (- 0,46)(25.000) = - $11.500 Si el precio del cobre/libra se baja por un $/lbr, el valor de dicha posición va a subir por $ y el nuevo Delta será - $ Se puede neutralizar el delta: compra libras de cobre.

16 ADMINISTRACIÓN DE RIESGO
Administración de riesgo es el conjunto de actividades en los mercados de los derivados dirigidas a consegir un nivel aceptado de riesgo. El objetivo puede ser eliminar el riesgo completamente o, disminuir el riesgo

17 ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGO 1. PUTS PROTECTORAS
Para proteger el valor de una cartera 2. CALLS PROTECTORAS Para poner límite por el precio de compra COLLAR Para definir precio máximo y precio mínimo con autofinanciación

18 Para eliminar el riesgo totalmente
ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGO 4. SWAPS DE BASE Para eliminar el riesgo totalmente 5. DELTA-GAMA-VEGA-RHO NEUTRAL CARTERAS Para proteger el valor de la cartera

19 1. PUTS PROTECTORAS AL VENCIMIENTO ESTRATEGIA F.C.I. S < X S > X
COMPRAR S - S0 S COMPRAR PUT - p - (S – X) TOTAL -(S0+p) X G/P X-S0- p S-S0- p G/P Supongamos que S0 = X X S - p

20 1. PUTS PROTECTORAS G/P S X S0 p X - S0 - p S - S0 - p $280 $288 $23
- $31 S - 311 $300 $32 - $20 S - 320 $330 $53 - $11 S - 341 G/P $280 $ $330 -10 -20 -30 S

21 ¿CÓMO ADMINIDTRAR EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO?
El gerente de un portafolio de acciones que vale: V = $ teme que el mercado baje unos 25% - 40% en los próximos seis meses. Su portafolio tiene alta correlación con el mercado, y si bajará el mercado disminuaría el valor de dicho portafolio acerca de 40%. Vender el portafolio para recomprarlo luego que baje el mercado no es alternativa factible. El problema es cómo usar los derivados eficientemente, de manera rápida y barrata para hacer cobertura contra la bajada esperada en el valor del portafolio.

22 1. COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE UN ÍNDICE BURSÁTIL.
¿CÓMO ADMINIDTRAR EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO? DOS ALTERNATIVAS: 1. COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE UN ÍNDICE BURSÁTIL. 2. COMPRA DE PUTS PROTECTORAS. SUPUESTO: EXISTEN FUTUROS Y OPCIONES SOBRE EL ÍNDICE IPSA

23 Características principales
de los contratos: Índice: IPSA - 40 Unidad: $ Un tick: $0,01 ($1.000/contrato) Entrega: Marzo, Junio, Septiembre, Diciembre Último día: El penúltimo día hábil del mes de entrega Horas: 8:30AM – 3:30PM Santiago horas Settlement: En efectivo

24 COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE EL IPSA - 40
Fecha Spot Futuros V =$2,6Mil M F(junio) = IPSA = 125 Vender Futuros** V =$1,56Mil M F(junio) = IPSA = 75 Comprar Futuros V = $1,56Mil M + ( )($ )(200) = $1,56Mil M Mil M = $2,62Mil M **N = $ /(130)($ ) = 200

25 PUTS PROTECTORAS Supuestos: IPSA = 125
p(125, X = 125, 6 meses) = 13 puntos Multiplicador = L = $ N = $ /(125)($ )= 208 Costo = (208)(13)($ ) = $270,4M V0 = 20,8M(IPSA) AL VENCIMIENTO Estrategia F.C.I. IPSA < 125 IPSA > 125 Portafolio $2,6MM = N(125)L 20,8M(I) Comprar 208 PUTs -$270,4M p = 13pts N(125-I)L TOTAL -$2,8704M N(125)L G/P -$270,4M $(I-125)208M –$270,4M

26 PUTS PROTECTORAS G/P AL VENCIMIENTO 125 138 S -270,4 M
G/P = $20,8M(I- 125) - $270,4M S -270,4 M IPSA-40 < IPSA-40 > 125 V = $2,6MilM - $270,4M V = $20,8M(I)- $270,4M V = $

27 COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE EL IPSA - 40
Fecha Spot Futuros V =$2,6Mil M F(junio) = IPSA = 125 Vender 200 Fs. V =$2,8Mil M F(junio) = IPSA = 135 Comprar 200 Fs V = $2,8Mil M + ( )($ )(200) = $2,8Mil M – $220 M = $ Con los puts protectoras, el valor total en este caso es: 20,8M(141) – 270,4M = $

28 2. CALLS PROTECTORAS AL VENCIMIENTO ESTRATEGIA FCI S < X S > X
COMPRAR S - S0 S VENDER CALL + c -(S – X) TOTAL -(S0- c) X G/P S-S0+c X- S0+c G/P Supongamos que S0 = X S c X S

29 PUTS Y CALLS PROTECTORAS:
COLLARS EL PROBLEMA CON PUTS Y CALLS PROTECTORAS: LAS PRIMAS. Para abrir estas estrategias, se debe pagar las primas de las opciones. Dichas primas son irrecuperables.

30 financiarla con la venta de una put.
COLLARS Compra de una call para garantizar un precio máximo de la compra del activo subyacente y financiarla con la venta de una put. Compra de una put protectora para garantizar un precio mínimo de la venta del activo subyacente financiarla con la venta de una call

31 financiarla con la venta de una put.
COLLARS Compra de una call para garantizar un precio máximo de la compra del activo subyacente y financiarla con la venta de una put. EJEMPLO Un importador Chileno importa equipos técnicos de EEUU y los vende a sus clientes chilenos. El importador paga por los equipos un precio fijo en dólares US. Sin embargo, sus clientes le pagan un precio fijo en pesos chilenos. El importador sufre el riesgo del tipo de cambio entre el $USD y el $CLP.

32 COLLARS Datos: El precio en $USD: $10M El precio en $CLP: $6.360M
Con el tipo de cambio de $CLP530/$USD la ganacia del importador es: G = $CLP6.360M/$CLP532/$USD - $10M USD = $2M USD El Riesgo: Se despreciará el $CLP

33 COLLARS Si se despreciera el peso a CLP540/$USD, por ejemplo, se disminuaría la ganancia del importador a: G = $CLP6.360M/$CLP540$USD - $10MUSD = $1,777,778USD. Si se despreciera el peso de CLP$530/$USD a CLP636/$USD, la ganacia del importador se disminuaría a cero: G = $CLP6.360M/$CLP636US - $10MUS = CERO Alternativamente: Si se apreciera el peso a CLP400/$USD, por ejemplo, se incrementaría la ganancia del importador a $5,9M USD: G = CLP6.360M/$CLP400/$USD - $10MUSD = $5,9M USD.

34 ¿CÓMO ADMINISTRAR EL RIESGO DEL TIPO DE CAMBIO?
ALTERNATIVAS: No hacer ninguna cobertura, es decir, aceptar el riesgo. Hacer cobertura con un SWAP o, equivalentemente, con una seríe de FORWARDS. Hacer cobertura con compra de CALLS protectoras. Hacer cobertura con COLLAR: comprar CALLS, financiándolas con venta de PUTS.

35 Características principales
de los contratos: Moneda: $USD Unidad: CLP2.000 Un tick: CLP5/$USD (CLP USD/contrato) Entrega: Marzo, Junio, Septiembre, Diciembre Último día: El penúltimo día hábil del mes de entrega Horas: 8:30AM – 3:30PM Santiago horas Settlement: Depósito de la moneda en tal banco

36 Compra de CALLS, financiándolas con venta de PUTS.
EL COLLAR Hacer cobertura con COLLAR: Compra de CALLS, financiándolas con venta de PUTS. Supongamos: c(S = 530;X = 530;T = 3meses) = p(S = 530;X = 550;T = 3meses)

37 CAMBIO 400 540 636 INGRESO PAGO COLLAR G/P
AL VENCIMIENTO ESTRATEGIA FCI S< <S<550 S>550 COMPRAR CALLS X = 530 - S - 530 S - 530 VENDER 6.000 PUTS X = 550 + -(550-S) -(550 – S) TOTAL S S – 1.080 S - 550 G/P S – S – 1.080 S – 550 CAMBIO 400 540 636 INGRESO $6.360M CLP $15,9M USD $11,(7)M USD $10M USD PAGO $10M USD COLLAR - $4,5M USD $0 $1M G/P $1,4M $1,78M $2,566M

38 4. SWAP DE BASES En cual quier momento, k, la BASEk = Ck – Fk,T
es una variable aleatoria y por lo tanto, la base representa riesgo. Este riesgo existe en coberturas largas tal como cortas con futuros. A veces, el cubridor quiere eliminar este riesgo totalmente. Lo puede hacer a través de un swap de base Definición: Swap de base es un acuerdo entre dos partes en que una parte paga ( a la otra parte) la base actual: Bk = Ck – Fk,T y recibe ( de la otra parte) la base inicial: B0 = C0 – F0,T . Cobertura corta: El cubridor paga Bk y recibe B0 Cobertura larga: El cubridor paga B0 y recibe Bk

39 contraparte cubridor COBERTURA CORTA CON SWAP DE BASE
FECLPA SPOT FUTURO O S0 Abrir posición: corta F0,T 1 S1 F1,T Vender el comodity S1 2) larga F1,T B0 = S0 - F0,T B1 = S1 – F1,T El CUBRIDOR recibe: F0,T + B1 EL SWAP DE BASE: B1 contraparte cubridor B0

40 RESULTADO: El cubridor corto recibe: (futuros + spot) F0,T + B1 + (swap de base) - ( B B0) = F0,T + B0 = F0,T + S0 - F0,T = S0 CONCLUCION: EN TOTAL, EL CUBRIDOR RECIBE S0 Empezamos con riesgo de precio SPOT. A través de la COBERTURA CORTA CON FUTUROS, cambiamos el riesgo con RIESGO DE BASE. En fin, con SWAP DE BASE, eliminamos todo el riesgo. El ingreso de la venta del comodity mas el swap es S0 SIN RIESGO.

41 cubridor contraparte COBERTURA LARGA CON SWAP DE BASE
FECLPA SPOT FUTURO O S0 Abrir posición: larga F0,T 1 S1 F1,T Comprar el comodity S1 1) corta F1,T B0 = S0 - F0,T B1 = S1 – F1,T El CUBRIDOR paga: F0,T + B1 EL SWAP DE BASE: B0 cubridor contraparte B1

42 RESULTADO: El cubridor largo paga: (futuros + spot) F0,T + B1 + (swap de base) B B1 = F0,T + B0 = F0,T + S0 - F0,T = S0 CONCLUCION: EN TOTAL EL CUBRIDOR PAGA S0 Empezamos con riesgo de precio SPOT. A través de la COBERTURA CON FUTUROS, cambiamos el riesgo con RIESGO DE BASE. En fin, con SWAP DE BASE, eliminamos todo el riesgo. El pago (ingreso) es S0 SIN RIESGO.

43 DE LA SALA DE NEGOCIOS DE DERIVADOS DE BP
EJEMPLO: DE LA SALA DE NEGOCIOS DE DERIVADOS DE BP Definiciones de dos índices: L3D = Índice de los tres últimos días = Promedio ponderado de los precios del futuro en NYMEX durante los últimos tres días de cotización del mismo. IF= El índice “Inside FERC.” = Promedio ponderado de los precios spot de Gas Natural. 12 de abril 11:45AM: La sala de derivados de BP Primera llamada: BP acuerda a comprar 8,4 million gallones de GN de BM en agosto a IF. Segunada llamada: (Simultáneamente,) BP hace cobertura a través de una posición larga de 200 futuros de GN en NYMEX para entrega en agosto. {(200)(42.000) = } Tercera llamada: (Simultáneamente,) BP acuerda vender 8,4 million gallones de GN a SST. SST comprará el GN de BP al precio actual (NYMEX) del futuro para agosto, menos un descuento – X, todavía desconocido.

44 FECLPA SPOT FUTUROS 12 de abril Entrar acuerdos Comprar 200 futuros de GN en NYMEX para agosto F4,12; aug = $5.87 12 de agosto (i) Comprar GN Vender 200 futuros de BM a: de GN en NYMEX C1 = IF para agosto Faug; aug = L3D (ii) Vender GN a SST a: C2 = F4, 12; aug – X Se desprende que en el 12 de agosto, el flujo de caja de BP será: (F4,12; aug – X) – IF + L3D - F4,12; aug = L3D – X – IF. Fijése que este flujo de caja lleva un riesgo que radica en el SPREAD de los índices: L3D – IF.

45 ¿ Cómo puede BP eliminar el riesgo de diCLPo SPREAD?
BP decide eliminar el riesgo del SPREAD L3D – IF a través de un swap. Claro que el swap debe ser flotante-por-flotante. La cuarta llamada: (simultáneamente) BP entra en un swap con una contraparte en lo que BP acuerda a pagar L3D – $0,05/gallon y recibir IF Se puede describir dicho swap así:

46 EL SWAP DEL SPREAD L3D - IF
En suma: el flujo de caja total para BP es: Mercado spot: F4, 12; AUG - X - IF Mercado futuro: L3D - F4, 12; AUG Swap: IF - (L3D – $0, 05) = $0, X. BP decidió que quisiera tener un ingreso de 2 centavos($0,02)por gallon de este negocio. Para lograr un flujo de 2 centavos por gallon, resolvamos: $0,02 = $0, X. La solución de esta ecuación es: X = $0,03 . Recuérdese que X es el descuento que demanda SST para comprar el GN de BP. Entonces, el acuerdo es que BP vende el GN a SST por el precio NYMEX actual $5,87 menos el descuento de 5 centavos: $5,84. BP CONTRAPARTE

47 CONCLUCION: El precio NYMEX actual para agosto es $5,87. BP vendrá el GN a SST por $5,87 – 0,03 = $5,84. BP entro en unos acuerdos que hizo por teléfono asegurando una ganancia sin riesgo de $0,03/gallon. En total la ganacia sin riesgo en el 12 de agosto será: ($0,03/gallon)( gallones) = $

48 CONTRAPARTE SWAP SPOT COBERTURA ANALISIS DEL EJEMPLO BM BP SST NYMEX
L3D - .05 IF IF F4,12;AUG - X SPOT BM BP SST GN GN LARGO F4,12;AUG CORTO L3D COBERTURA NYMEX

49 Los parámetros de sensibilidad:
DELTA-GAMA-VEGA-KAPA RISK-NEUTRAL ESTRATEGIAS Los parámetros de sensibilidad: Delta =  Gamma =  Theta =  Vega =  Rho = 

50 ESTRATEGIAS BASADAS EN GRIEGOS
Estrategias basadas en griegos son estrategias en las que el inversionista trata de conseguir un nivel de sensibilidad. Es decir, la estrategia está construida con el objetivo de que tenga una dada exposición al riesgo. La abrumadora mayoría de este tipo de estrategias tratan de que la estrategia no tenga ninguna exposición al riesgo. En las siguientes pájinas analizamos ejemplos de posiciones: delta neutral delta-gamma neutral Delta-gamma-vega-rho neutral En dicho ejemplo el activo subyacente es el índice S&P100 y las opciones sobre el mismo son europeas.

51 EJEMPLO: S = $300 X = $300 T = 365 días  = 0,18 ( desviación estándar annual de 18%) r = 0,08 ( Tasa anual de interés sin riesgo 8%) d = 0,03 ( tasa anual de dividendos es 3%) C = $28,25  = 0,6245  = 0,0067  = 0,0109  = 0,0159

52 ESTRATEGIA DE DELTA NEUTRAL
Supongamos que la opción arriba está vendida: W0 = - 1  posición corta en la call. Para neutralizar la exposición de riesgo vamos a abrir una posición larga en el activo subyacente: WS = 0,6245  Comprar 0,6245 del subyacente. Analicemos: Primer caso A: El precio del subyacente: $300 a $301. Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio Call - $28,25 - $28,88 - $0,63 (0,6245)S $187,35 $187,97 $0,62 Error: - $0,01 Primer caso B: El precio del subyacente: $300 a $299. Call - $28,25 - $27,62 + $0,63 (0,6245)S $187,35 $186,73 - $0,62 Error: + $0,01 Se desprende que cuando WS = Delta, la cartera: corta call y larga subyacente esta neutralizada.

53 Segundo caso: El precio del subyacente: $300 a $310.
Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio Call - $28,25 - $34,81 - $6,56 (0,6245)S $187,35 $197,59 $6,24 Error: - $0,32 El problema es que delta se cambia cuando se cambie el precio del subyacente. S = $300 $301 $310  = 0, , ,6879. Conclusión: Para neutralizar el impacto de grandes cambios en el subyacente es necesario usar una posición delta-gamma neutral. Sin embargo, para hacerlo es necesario tener otras opciones. Supongamos que existe otra opción sobre el mismo subyacente con los siguientes parámetros:

54 Call inicial(#0) Call (#1)
S = $300 S = $300 X = $300 X = $305 T = 365 días T = 90 días  = 0,18  = 0,18 r = 0,08 r = 0,08 d = 0, d = 0,03 c = $28,45 c = $10,02  = 0,6245  = 0,4952  = 0,0067  = 0,0148  = 0,0109  = 0,0059  = 0,  = 0,0034

55 POSICION DELTA-GAMMA NEUTRAL
WS +W0(0,6245) + W1(0,4952) = 0   = 0 W0(0,0067) + W1(0,0148) = 0   = 0 Para crear cartera delta-gamma neutral las dos condiciones deben cumplirse simultáneamente, mantentiendo la posición corta en la call inicial: Solución: W0 = -1 W1 = - (0,0067)(-1)/0,0148 = 0,453 WS = - (0,6245)(-1) – (0,453)(0,49520 = 0,4 Corto la call inicial : W0 = Largo 0,453 de call #1 W1 = 0,453 Largo 0,4 del subyacente WS = 0,400

56 LA CARTERA DELTA-GAMMA NEUTRAL
Primer caso: El precio del subyacente: $300 a $301. Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio (-1,0)#0 - $28,25 - $28,88 - $0,63 (0,453)#1 $4, $4,77 $0,23 (0,4)S $ $120,4 $0,40 Error: Cero Segundo caso: El precio del subyacente: $300 a $310. Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio (-1,0)#0 - $28,25 - $34,81 - $6,56 (0,453)#1 $4, $7,11 $2,57 (0,4)S $ $ $4,00 Error: + $0,01 La cartera está neutralizada contra cambios pqueños tal como cambios grandes en el precio del activo subyacente.

57 Sin Embargo, al examinar la exposición entera, se ve que: Cartera Delta Gamma Vega Rho -1,00(#0) -0,6245 -0,0067 -0,0109 -0,0159 0,453(#2) 0,2245 0,0067 0,0027 0.0015 0,400S 0,4000 Riesgo Cero -0,0082 -0,0144 Es claro que la cartera todavía esté expuesta al riesgo de dos factores: la volatilidad la tasa de interés.

58 MATRIX DE EXPOSICION PARA LA CARTERA
La siguiente tabla muestra la distribución del error asociado con la cartera delta – nuetral para tres niveles de volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente: MATRIX DE EXPOSICION PARA LA CARTERA DELTA NEUTRAL Subyacente !2% 18% 24% $270 $2,73 - $3,26 - $9,45 $275 $4,05 - $2,24 - $8,61 $280 $5,08 - $1,42 - $7,92 $285 $5,82 - $0,79 - $7,38 $290 $6,29 - $0,35 - $6,97 $295 $6,47 - $0,08 - $6,70 $300 $6,40 0,00 - $6,56 $305 $6,09 $310 $5,57 - $0,32 - $6,67 $315 $4,84 - $0,71 - $6,89 $320 $3,94 - $1,24 - $7,24 $325 $2,89 - $1,90 - $7,69 $330 $1,72 - $2,67 - $8,82

59 MATRIX DE EXPOSICION PARA LA CARTERA
La siguiente tabla muestra la distribución del error asociado con la cartera delta-gamma nuetral para tres niveles de volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente: MATRIX DE EXPOSICION PARA LA CARTERA DELTA NEUTRAL Subyacente !2% 18% 24% $270 $5,54 - $0,45 - $6,64 $275 $6,04 - $0,25 - $6,62 $280 $6,38 - $0,12 $285 $6,57 - $0,04 - $6,63 $290 $6,62 - $0,01 $295 $6,55 0,00 $300 $6,40 - $6,56 $305 $6,17 - $6,48 $310 $5,89 $0,01 - $6,34 $315 $5,56 - $6,17 $320 $5,19 - $5,99 $325 $4,80 - $5,78 $330 $4,38 - $5,56

60 La tasa de interés es el cuarto parámetro
La tasa de interés es el cuarto parámetro. En el siguiente caso analizamos el error cuando se cambie la tasade interés: Tercer caso: El precio del subyacente: $300 a $ y simultáneamente, la tasa de interés sin riesgo se alza por 1%, de 8% a 9%. Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio (-1,0)#0 - $28,25 - $33,05 - $4,80 (0,453)#1 $4, $6,91 $2,37 (0,4)S $ $ $4,00 Error: - $1,57

61 Para eliminar la entera exposición al riesgo, vamos a usar el activo subyacente, S = $300 y la siguientes opciones: CALL X T(días) Volatilidad 18% 18% 18% 18% r 8% 8% 8% 8% Dividendos 3% 3% 3% 3 PRECIO $28,25 $10,02 $15,29 $18,59 Las medidas de exposición al riesgo son: CALL S Delta = : 0, , , ,5931 1,0 Gamma= : 0, , , ,0100 0,0 Vega = : 0, , , ,0080 0,0 Rho =  : 0, , , ,0079 0,0

62 LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL
Para eliminar la entera exposición al riesgo buscamos las ponderaciones de inversión en el subyacente y las dadas opciones de manera que asegure que todos los parámetros de sensibilidad son: SIMULTANEAMENTE CERO: Delta =  = cero Gamma =  = cero Theta =  = cero Vega =  = cero Rho =  = cero

63 Delta =  = 0 WS+W0(0,6245)+W1(0,4952)+W2(0,6398)+W3(0,5931) = 0 Gamma =  = 0 W0(0,0067)+W1(0,0148)+W2(0,0138)+W3(0,0100) = 0 Vega =  = 0 W0(0,0109)+W1(0,0059)+W2(0,0055)+W3(0,0080) = 0 Rho =  = 0 W0(0,0159)+W1(0,0034)+W2(0,0044)+W3(0,0079) = 0 Se debe resolver las 4 ecuaciones simultáneamente.

64 Para llegar a la solución, fijamos W0 = - 1,0 y resolvaemos las ecuaciones. El resultado es:
Posición W0 = -1,0000  Corta call #0 WS = 0,2120  larga 0,2120 del subyacente W1 = 0,8380  Larga 0,8389 call #1 W2 = -1,9000  Corta 1,9000 call #2 W3 = 2,0420  Larga 2,0420 call #3 En realidad, cada una de las opciones cubre 100 acciones del subyacente. Los resultados arriba se pueden reescribir: Corta 100 calls Larga acciones del subyacente Larga 84 calls #1 Corta 190 calls # 2 Larga 204 calls #3

65 LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL
Cuarto caso: El precio del subyacente: $300 a $310 y simultáneamente, la tasa de interés sin riesgo se alza por 1%, de 8% a 9% y simultáneamente, la volatilidad annual se cambia de 18% a 24% Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio 1,0(#0) - $28,25 - $42,81 - $14,56 (0,212)S $63,60 $65,72 $2,12 (0,838)#1 $8, $16,42 $8,02 (-1,9)#2 - $29,05 - $48,97 - $19,92 (2,042)#3 $37,97 $62,20 - $24,25 Error: - $0,09