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Publicada porMaría Nieves Quiroga Montero Modificado hace 9 años
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UPC Funciones reales Tema: de varias variables
UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS UPC Funciones reales de varias variables Tema:
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Gráficas de algunas superficies
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Funciones reales de dos variables
Sea D contenido en R2. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)
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Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}
DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D} Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real
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Curvas de nivel
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DERIVADA PARCIAL RESPECTO X
Z Y X
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Interpretación geométrica de derivada parcial
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Ejemplo: Si Entonces:
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Otras notaciones z = f(x,y)
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Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)
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Ejemplo: hallar fx y fy si
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Derivadas parciales de segundo orden
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Derivadas parciales de segundo orden
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Ejemplo hallar Si
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Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .
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DERIVADAS DIRECCIONALES
z y x
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Interpretación geométrica de derivada direccional
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Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: si el límite existe.
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Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:
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Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).
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GRADIENTE z y x
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Ñ del s en término direccional Derivada
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Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
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Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .
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