FIA 2220 Planetas Extrasolares Junio 21, 2005 Análisis de Estabilidad de υ Andromedae María José Cordero.

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1 FIA 2220 Planetas Extrasolares Junio 21, 2005 Análisis de Estabilidad de υ Andromedae María José Cordero

2 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE υ ANDROMEDAE La estrella υ And (F8 V) es la primera estrella de tipo solar alrededor de la cual fue descubierto un sistema de tres planetas por Butler et al. (1999). La masa y los parámetros orbitales inferidos para estos compañeros levantan dudas acerca de la estabilidad dinámica del sistema. Varios estudios numéricos y distintos modelos se han desarrollado para encontrar si el sistema es estable en una larga escala de tiempo.

3 Parámetros extraídos de Butler et al. (1999)

4 Rivera et al. (1999) Diseñaron integraciones orbitales numéricas para testear la estabilidad de los tres planetas orbitando a υ And, y la posible existencia de cuerpos más pequeños orbitando al sistema que aún no han sido descubiertos, cuyos resultados son consistentes con los datos de Butler et al. (1999). Algunas configuraciones fueron estables por al menos 10 9 yr. Mientras que en otras configuraciones los planetas pueden ser eyectados hacia el espacio interestelar o colisionar con la estrella en una escala de tiempo de 10 5 yr. Rivera et al. (1999)

5 El objetivo es ayudar a restringir los elementos orbitales y las masas de los planetas detectados, como también de posibles objetos pequeños en el sistema. Determinar el rango de configuraciones planetarias similares a υ And que puedan ser de larga vida. Estimar que clase de sistema es inestable, a fin de proveer restricciones a modelos de formación de sistemas.

6 Rivera et al. (1999) Sistemas coplanares Motivados por nuestro propio sistema solar consideraron que inicialmente los planos orbitales están mutuamente inclinados en 1º. Los parámetros orbitales y masas (P, T, e, ω, M sin i) se tomaron de Butler et al. (1999). Se escogió i=90. El sistema se integró hasta que uno de los planetas sea eyectado, es decir, e > 1, o bien el planeta más interno colisionara con la estrella.

7 Rivera et al. (1999) Resultados de la integración usando parámetros planetarios del observatorio Lick El periastro y apoastro de las órbitas planetarias son mostradas como función del tiempo. Planeta externo Planeta intermedio Planeta interno Para estos datos, el sistema es estable para los 10 8 yr de integración, no mostrando variaciones caóticas en los elementos orbitales que típicamente preceden a encuentros planetarios cercanos y eyecciones.

8 Resultados de la integración usando parámetros planetarios del observatorio Lick Principales elementos orbitales para el planeta más interno. Rivera et al. (1999) El semieje mayor es constante en esta escala de tiempo, pero la excentricidad es cíclica, entonces el semieje menor es variable.

9 Efectos de relatividad general (RG) Las órbitas precesan como un resultado de la relatividad general, estos efectos pueden ser más importantes que las perturbaciones planetarias mutuas, especialmente para el planeta orbitando cercano a la estrella. El potencial no es esféricamente simétrico. Puesto que la achatadez de υ And no es conocida, el código no incorpora RG. No obstante, para imitar la precesión inducida por la estrella, se utilizó un momento cuadrupolar J R², de una magnitud tal que el planeta más interno (en ausencia de los otros dos) precese 1.8° por siglo. Rivera et al. (1999)

10 Luego de la integración usando parámetros planetarios del AFOE, incluyendo precesión, se obtuvo que en todas esas corridas del programa, un planeta es eyectado en una órbita hiperbólica previo a que cualquier planeta colisionara con la estrella, aunque el planeta más interno se encontraba a 2 radios estelares sobre la fotósfera de la estrella. Efectos de relatividad general (RG) Barrera centrífuga potencial gravitatorio Corrección relativista

11 Rivera et al. (1999) Efectos de los dos planetas más externos Se integró numéricamente una serie donde sólo se incluye a los dos planetas más externos. Marchall (1982) y Gladman (1993) presentan un criterio de estabilidad de Hill para un sistema con dos planetas de arbitrarias masas, excentricidades e inclinaciones: Refiniendo el criterio de estabilidad de Hill como χ > 1, donde χ es la razón entre el lado izquierdo de la ecuación y el lado derecho, despreciando los términos de orden superior.

12 Se consideran esta vez distintos ángulos, tal que 1/(sin i), tome los siguientes valores: 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2; es decir i= 30°...90° Para las condiciones iniciales de nuestras dos corridas, se obtiene un rango de χ = 0.7363... 1.1135 Todos los sistemas con χ > 1.01 son estables para el intervalo de la integración, mientras que a menor χ el sistema se autodestruirá. Rivera et al. (1999) Efectos de los dos planetas más externos

13 Tiempo de inestabilidad de varios sistemas cercanamente planares, basados en los datos del Lick, AFOE Los datos del Lick están representados por cuadrados, los de AFOE por pentágonos, y el conjunto con la combinación de ambos por hexágonos. Los simbolos vacíos representan al sistema de dos cuerpos, mientras que los llenos al sistema de tres cuerpos. Rivera et al. (1999) El tiempo de inestabilidad en que la excentricidad de un planeta excede a la unidad o el periastro del planeta más interno cae debajo de la fotosfera estelar

14 Rivera et al. (1999) Tiempo de inestabilidad de varios sistemas cercanamente planares, basados en los datos del Lick, AFOE Notar que el sistema de dos planetas es mucho más estable que el análogo de tres cuerpos. Aunque el planeta más interno parece estar inicialmente aislado dinámicamente del par de planetas más externos, este puede acoplarse al planeta intermedio, previo al encuentro entre el par de planetas más externo

15 Órbitas inclinadas mutuamente Ciertamente, υ And no es similar a nuestro sistema solar. Las grandes excentricidades de sus planetas más externos, pueden ser consecuencia de sus scatterings gravitacionales mutuos. Dichos scatterings pueden producir grandes inclinaciones. La simulación para una inclinación de 60° entre los dos planetas más externos entrega un tiempo de estabilidad de 10 6 yr. Rivera et al. (1999)

16 Puesto que los datos de velocidad radial no indican en que dirección los planetas orbitan a la estrella, también se efectuaron simulaciones donde el planeta intermedio posee una órbita retrógrada. Si los planetas son coplanares, y no hay órbitas retrógradas, los dos planetas externos se excitan uno al otro, entonces ellos proceden a transferir algo de sus excentricidades al planeta más interno. En un sistema prógrado, cuando dos planetas intercambian momentum angular, la excentricidad se incrementa, mientras este decrece. En uno retrogrado los vectores momentum angular apuntan en direcciones opuestas, entonces las excentricidades pueden aumentar o disminuir sincronizadamente. La simulación entregó una escala de tiempo de estabilidad de 10 5 -10 6 yr. Órbitas Retrógradas Rivera et al. (1999)

17 Estabilidad De Partículas de Prueba La precisión de las mediciones de velocidades radiales de Butler et al. (1999) permiten detectar planetas de masa Joviana en el sistema de υ And, pero no planetas más pequeños como tipo Neptuno o Tierra. Para probar si podrían estar presentes objetos de este tipo en el sistema se integraron 309 partículas entre las órbitas planetarias y exteriores a ellas. Se utilizaron los parámetros para el sistema de tres planetas del Lick, considerando las masas mínimas y un inclinación mutua entre los planetas de 1°, para tener así un sistema relativamente estable Rivera et al. (1999)

18 Estabilidad De Partículas de Prueba Las particulas de prueba fueron ubicadas en órbitas circulares, distantes del planeta más interno en múltiplos de 0.02 AU e interior a 8 AU. Tambien fueron ubicadas en intervalos de 0.1 AU desde 8 a 10 AU. La partícula es removida de la simulación si esta cae por debajo de la fotosfera estelar, si su distancia a la estrella excede 20 AU, o entra a la esfera de Hill de un planeta. Las partículas llegaron a sobrevivir 5 10 6 yr. Rivera et al. (1999)

19 Estabilidad De Partículas de Prueba En sistemas relativamente estables, partículas de pruebas pueden sobrevivir por largos tiempos entre el planeta más interno y el intermedio, como también varias AU exteriores a el planeta más externo, pero no se encontraron órbitas estables entre el planeta intermedio y el más externo. Rivera et al. (1999)

20 Observaciones Las distintas simulaciones presentadas sugieren que el sistema es muy caótico, debido a dos razones. Una de ellas es que pequeños cambios en las condiciones iniciales producen dramáticos efectos sobre la estabilidad del sistema, y la segunda razón es que las veces que el sistema parece estar quieto, de imprevisto las excentricidades pueden aumentar sus valores. La proximidad del sistema υ And a la inestabilidad dinámica se apoya en los modelos de formación de grandes excentricidades planetarias, producto de scatterings y eyecciones de los planetas

21 Observaciones Rivera et al. (1999) Se observó una alineación entre las longitudes de los periastros de los planetas más externos, lo que parece ser una consecuencia de una resonancia secular entre los cuerpos. El sistema correspondiente a AFOE es inestable en una escala de tiempo inferior a un ~ 10 6 yr, mientras que el sistema correspondiente a Lick es estable ~ 10 7 yr (en ambos sin i = 1). Aún en estos sistemas la excentricidad orbital del planeta más interno puede ser excitada a altos valores por efectos de tipo marea disipativos.

22 Stepinsky et al. (2000) Analizaron datos publicados [Butler et al. (1999)] y no publicados del observatorio Lick. Sus resultados confirman el descubrimiento de tres periodos en los datos, bastante similares, pero con algunas diferencias con los de Butler et al. (1999). Su enfoque consiste en restringir la geometria órbital para obtener estabilidad. Encontraron que en el mejor ajuste al modelo de los datos del Lick, el sistema sería dinámicamente estable un tiempo superior al tiempo de vida de la estrella (~ 2 · 10 9 yr ). El sistema debería tener una inclinación con respecto al plano del cielo mayor que 13°. La inclinación mínima para el mejor ajuste es de 19°. Estos valores indican qu la masa máxima del planeta más externo no puede ser mayor que 20 masas de Jupiter. Su análisis de estabilidad, restringe las inclinaciones relativas de los planos orbitales de los compañeros.

23 Stepinsky et al. (2000) Resultados de una integración numérica para este sistema de cuatro cuerpos, incluyendo todas las fuerzas gravitacionales entre ellos, para el mejor ajuste al modelo del Lick y AFOE data. Aunque las órbitas estimadas están bien separadas, las masas mínimas de los compañeros, y las excentricidades orbitales de los dos compañeros más externos son suficientemente grandes para que se produzca una perturbación significativa de las órbitas debido a las fuerzas gravitacionales mutuas. Evolución órbital de los tres compañeros. B(verde), C(magenta), D(azul). Asumiendo que están coplanares y edge-on.

24 Stepinsky et al. (2000) El semieje mayor tiene pequeñas pertubaciones (debido a la separación de los periodos orbitales), sin embargo una notoria señal de la evolución del sistema, es que las excentricidades de todos los compañeros son perturbadas significativamente en una corta escala de tiempo. El compañero intermedio exhibe la perturbación más dramática, su excentricidad varía desde un máximo (~ 0.35 e el Lick, ~ 0.28 en el AFOE data) a un mínimo cercano a cero. El compañero más externo oscila con el mismo periodo, pero posee una amplitud mucho menor. Los periodos de las variaciones son del orden de 7 ·10 3 yr y 3,5 · 10 3 yr, para Lick y AFOE, respectivamente. Las variaciones de las excentricidades se deben a la interacción secular entre los compañeros externos.

25 Stepinsky et al. (2000) El compañero más interno sufre una dramática variación de su excentricidad (aunque en una gran escala de tiempo). Lo cual se considera no real, debido a la proximidad de este a la estella, estará sujeto a un efecto de GR: precesión, que dominaría la evolución de este, suprimiendo la amplitud de las perturbaciones de la excentricidad. Evolución órbital de los tres compañeros. B(verde), C(magenta), D(azul). Asumiendo que están coplanares y edge-on.

26 Stepinsky et al. (2000) Evolución órbital de los tres compañeros. B(verde), C(magenta), D(azul). Asumiendo que están coplanares y edge-on. Las interacciones gravitacionales mutuas de los dos planetas más externos (que están fuertemente acoplados) es sensible a la inclinación orbital desconocida y a la orientación relativa entre ellos. Por lo tanto son muchos los parámetros que se necesitan conocer para determinar la estabilidad dinámica del sistema.

27 Stepinsky et al. (2000) Evolución órbital del sistema de tres cuerpos, υ And con los compañeros C y D. El gran término de estabilidad del sistema está determinado por las interacciones gravitacionanes entre los planetas más externos El lado izquierdo muestra la evolución del sistema para pequeñas inclinaciones relativas entre ambos planetas (7.5°). Vemos que esta es bastante regular, los parámetros orbitales (a, e, i) varían periodicamente a amplitud constante. Las masas de C y D son las mínimas, sus órbitas están inclinadas con respecto al plano del cielo 30°. La inclinación órbital relativa es de 7.5° y 41.4° en cada uno de los casos.

28 Stepinsky et al. (2000) Evolución órbital del sistema de tres cuerpos, υ And con los compañeros C y D. A mayor inclinación relativa (41.4°) la evolución es caótica, “lado derecho”. La amplitud y frecuencia de las variaciones orbitales son erráticas.

29 Stepinsky et al. (2000) Evolución órbital del sistema de tres cuerpos, υ And con los compañeros C y D. Para el caso de órbitas coplanares el modelo es inestable para sin i < 0.23 y sin i < 0.33, para Lick y AFOE data. Donde i es la inclinación órbital con respecto al plano del cielo. Asi el compañero más masivo D, podría tener una masa de 20 masas de Júpiter. El rango de las inclinaciones relativas permitidas entre C y D decrecen con la disminución de sin i, por lo tanto la estabilidad es sensible a las masas. Los resultados obtenidos son cualitativamente consistentes con el estudio realizado por Rivera et al. (1999), ambos trabajos sugieren que pequeñas diferencias en los parámetros del modelo de los tres compañeros, producen significativas diferencias en la estabilidad dinámica del sistema.

30 Referencias Butler et al., 1999, ApJ, 526, 916. Rivera et al.,1999, ApJ, 530, 454. Stepinsky et al., 2000, ApJ, 545, 1044.