Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios.

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1 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo © Julio Alejandro Sarmiento Sabogal - 2002 MATEMATICAS Financieras http://www.javeriana.edu.co/cursad/modulo.finanzas Julio A. Sarmiento S. Profesor - investigador Departamento de Administración Pontificia Universidad Javeriana

2 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo INVERSION Cualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro.

3 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo sacrificio sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Tendencia al consumo inmediato Si se quiere que alguien no consuma algo, hay que recompensarla. Ejemplo: ¿Si Usted tiene el dinero para comprar un carro hoy, guardaría ese dinero debajo del colchón para adquirirlo dentro de un año? El Concepto de inversión

4 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo recursos sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. No solamente se evalúan los recursos monetarios, también se deben tener en cuenta los demás recursos DESEABLES y ESCASOS. Un problema: La valoración de los activos. El Concepto de inversión

5 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo hoy futuro sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. El tiempo es el elemento principal de la matemática financiera: El valor del dinero como recurso tiene sentido UNICAMENTE cuando este se usa por un periodo de tiempo.El valor del dinero como recurso tiene sentido UNICAMENTE cuando este se usa por un periodo de tiempo. El Concepto de inversión

6 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo esperanza sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro En cualquier inversión, existe el riesgo de no recibir parte o toda la inversión y los beneficios esperados. El Concepto de inversión

7 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo beneficio sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro Implica que además de recibir la inversión, debe recibir algún recurso adicional. Beneficio = Recuperación de la inversión + Ingreso adicional El Concepto de inversión Intereses

8 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La tasa de Interés: La tasa de interés es la utilidad (rentabilidad) medida en términos porcentuales del rendimiento de un capital determinado Estudiando los “Beneficios”...

9 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Estudiando los “Beneficios”... ¿De cuánto deben ser estos beneficios o intereses? ¿Cuánto es lo mínimo que debo cobrar para no perder? Los beneficios deberán cubrir: 1. La pérdida del poder adquisitivo. (Inflación) 2. El riesgo de perder una parte o todo el dinero. 3. El “sacrificio” de no consumir ahora (componente real)

10 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La inflación: Medida del aumento del nivel general de precios a través de la canasta familiar. Estudiando los “Beneficios”... Análisis de los componentes de la tasa de interés. En Colombia se utiliza el IPC para cálculo la inflación. Esta medida se basa en la medición de la canasta familiar en diferentes ciudades. Esta canasta familiar esta compuesta por diferentes grupos de gasto y para cada uno de los estratos socio-económicos

11 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Grupos de gasto: Alimentos Cultura y Diversión Educación Gastos varios Transporte Salud Vestuario Vivienda Ciudades: Santafé de Bogotá Neiva Medellín Cali Pasto Cartagena Barranquilla Bucaramanga Cúcuta Manizales Montería Pereira Villavicencio Cobertura Socio-económica Alta Media Baja Estudiando los “Beneficios”... Análisis de los componentes de la tasa de interés. La inflación: Componentes de la canasta familiar en Colombia

12 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El UPAC y la UVR Estudiando los “Beneficios”... En la práctica, la utilización de este componente es mucho más popular de lo que se podría pensar. De hecho, el desaparecido UPAC y la reciente UVR nacen del problema de la gran variabilidad de la inflación, la cual no permitía hacer préstamos de largo plazo. Por lo tanto, en 1972 se creó la corrección monetaria, que debería ser igual al componente inflacionario.

13 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Estudiando los “Beneficios”... El componente real Aunque se ha generalizado la suposición de que este componente oscila entre el 3% y el 4% a nivel mundial, este depende de varios factores: Las situaciones de liquidez o iliquidez del mercado. El tamaño de la economía del país. La capacidad de ahorro La variabilidad de la inflación.

14 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Estudiando los “Beneficios”... La tasa real en Colombia Fuente:

15 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Riesgo pais = Spread. Diferencia entre la tasa que paga un bono de la FED (USA) y un bono del gobierno colombiano (Bono Yankie) en la bolsa de Nueva York. http://www.minhacienda.gov.co Riesgo sector = Indicador sectorial. Calculado por la ANIF, para cada año según el comportamiento del mismo. Estudiando los “Beneficios”...

16 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Estudiando los “Beneficios”... Únicamente cuando la tasa de interés pagada cubre estos tres componentes, el inversionista acepta el “proyecto”. Esta tasa a la cual el “proyecto” es aceptado, se le conoce cómo: Tasa de descuento (TD) Tasa de rentabilidad mínima aceptable (TREMA) Tasa de interés de oportunidad (TIO)

17 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Ic = (1+i f ) x (1+i r ) x (1+i  ) - 1 Donde: Ic: tasa de interés i f : componente de inflación i  : Componente de riesgo i r : representa el componente real. concepto de equivalencia.1 peso de hoy es equivalente (no igual) a 1+x pesos dentro de un período de tiempo. Esto se conoce como el concepto de equivalencia. tasa de interésLa tasa de interés, sintetiza este concepto en un porcentaje que mínimo al cual se decide invertir. EN CONCLUSION Estudiando los “Beneficios”...

18 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Le han solicitado un préstamo por $1.000.000 para pagarlo en un mes. ¿Qué tasa de interés cobraría Ud. por este préstamo? La T.D. es diferente para cada uno de los inversionistas y depende de muchos factores Un ejemplo...

19 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo $1.000.000 $1.020.000 Beneficios Recuperación de la inversión Un ejemplo...

20 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo $1.000.000 $1.020.000 - Beneficios Recuperación de la inversión $ 7.974 Inflación $ 3.274 Real $ 8.752 Riesgo Un ejemplo...

21 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Un ejemplo... ¿Cuál es la rentabilidad?

22 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Los términos

23 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Interés) Las ecuaciones básicas Tasa de Interés (i) =

24 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El diagrama de flujo de caja 0n12 (1.000.000) 1.000.000

25 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Interés simple e interés compuesto La historia de un amigo... Mi teoría 1.000 0 1 1.200 2 i%=10% Diario 1.210 La de mi amigo 1.000 0 1 2 i%=10% Diario

26 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Interés simple e interés compuesto La historia de un amigo... 1.000 0 12 100 10 100 Los intereses de los 100 que NO pagó 1.000

27 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Interés simple e interés compuesto i%=10% Diario Interés simple: únicamente Interés simple: Se cobran intereses únicamente sobre la suma inicial i%=10% Diario Interés compuesto: Interés compuesto: Se cobran intereses sobre la suma inicial y sobre los intereses no pagados.

28 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Los términos (2)

29 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Interés) Las ecuaciones básicas Tasa de Interés (i) = n

30 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo LA CAPITALIZACION DE INTERESES... El caso del UPAC Tomado de Ignacio Vélez.

31 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Salario vs. Cuota en UPACs LA CAPITALIZACION DE INTERESES... El caso del UPAC

32 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Suma presente -> Suma Futura Suma Futura -> Suma Presente Suma presente -> Serie de cuotas uniformes Serie de cuotas uniformes -> Suma presente Suma Futura -> Serie de cuotas uniformes Serie de cuotas uniforme -> Suma Futura Cálculo de la tasa de interés Calculo del número de Períodos Factores de conversión

33 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Factores de conversión FactorPrincipales fórmulas de Excel Valor actual VA : Períodos iguales y pagos uniformes. VNA : Períodos iguales y pagos no uniformes. VNA.NO.PER : Períodos de diferente longitud y pagos no uniformes. Tasa constante para todos los periodos, en todas las fórmulas Valor Futuro VF : Períodos iguales y pagos uniformes. VF.PLAN : Períodos iguales, pagos no uniformes y tasas diferentes para cada periodo. Pagos PAGO : Calcula una serie de cuotas uniformes. PAGOPRIN : Calcula la parte correspondiente al abono a capital de una cuota uniforme, en un periodo dado. PAGOINT : Calcula la parte correspondiente a el pago de intereses de una cuota uniforme, en un periodo dado. Tasa TASA : Períodos iguales y pagos uniformes. TIR : Períodos iguales y pagos no uniformes.

34 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Tasas equivalentes Se puede observar cómo las tasas de interés se estipulan para un periodo de tiempo como por ejemplo meses, trimestres semestres o años, adicionalmente se determina el momento en el que se pagan los intereses dentro del periodo, es decir, los intereses se pueden pagar de forma anticipada o vencida. Siguiendo la idea del concepto de equivalencia, se puede determinar relaciones entre las tasas para: Convertir tasas anticipadas a tasas vencidas. Convertir tasas de un tipo de periodo a otro, por ejemplo de meses a semestres. Comparar tasas anticipadas con tasas vencidas Comparar tasas de diferentes períodos.

35 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Interés anticipado e interés vencido Los intereses se pueden pagar al comienzo o al final del periodo, aunque internacionalmente no es muy comun que se paguen de la primera forma, en Colombia, se usan continuamente los dos formatos. El interés anticipado se ocasiona cuando los intereses se pagan al comienzo del periodo. El interés vencido se ocasiona con el pago de intereses al final del periodo. VA I I

36 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo A alguna empresa le acaban de pagar una factura por $400.000 con un cheque postfechado a un mes, como la empresa necesita urgentemente el dinero, decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene el cambio de cheques postfechados. El prestamista, gustosamente cambia el cheque y le entrega a Agricol $380.000, pues cobró los intereses (5%) por adelantado. Interés anticipado e interés vencido Un ejemplo...

37 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo $380.000 0 $400.000 1 Interés anticipado e interés vencido El diagrama de flujo de caja del prestamista....

38 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo i% = =5.26% Interés anticipado e interés vencido Calculando la tasa de interés.... Observe que el cobro anticipado de intereses ocasiona un aumento de 0.26% en la tasa. En conclusión una tasa de 5% anticipado es equivalente a un 5.26% vencido.

39 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo En este caso iv = 5.26% Interés anticipado e interés vencido

40 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: La diferencia entre las tasas efectivas y nominales, surge cuando se pacta una tasa de interés para un periodo de tiempo determinado (Ej. Años) pero los intereses se liquidan en lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de interés nominal se ocasiona cuando los periodos de pago de intereses son fracciones del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de interés efectivas son el reconocimiento a la capitalización de intereses que ocasiona una tasa de interés nominal. Ud. quiere invertir $500.000, por lo cual llama a un asesor de su entidad financiera, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones:

41 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: Ud. quiere invertir $500.000, por lo cual llama a un asesor de su entidad financiera, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones: Un ejemplo... Invertir los $500.000 en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido OPCION 1: OPCION 2:Invertir los $500.000 en un CDT a un año con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido.

42 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: 500.000 * 24,63% 4 OPCION 1: Invertir los $500.000 en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido 21 34 30.786 500.000 i = 24.63% anual (Tasa de interés vencida) 500.000

43 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 2: Invertir los $500.000 en un CDT a un año con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido. 2....1 12 500.000 500.000 * 24% 12 2....1 12 10.058 500.000 500.000 * 24,14% 12

44 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo 30.786,00 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 1: DESARROLLO 32.681,0634.693,27 30.786 21 34 500.000 36.829,38 134.989,28

45 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Cálculo de la tasa de interés.... i=27% OPCION 1: DESARROLLO INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 2:

46 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Indica el periodo al cual fue pactada la tasa de interés Advierte que los periodos de pago de intereses son menores que el período en el que se pactó la tasa de interés Se refiere a los períodos de pago de intereses Muestra si la forma de pago es anticipada o vencida NOMINALANUAL TRIMESTREVENCIDO OPCION 1: DESARROLLO INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: 24.63%

47 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo En resumen.. Tres tipos de tasas: NominalNominal: Es una tasa pactada para un período, pero los rendimientos (intereses) se pagan en períodos menores al pactado en la tasa. 24.63%N.A.T.V. EfectivaEfectiva: Es una tasa a la cual se llega capitalizando los intereses pagados antes de que se culmine el período pactado para la tasa nominal. 27% E.A. PeriódicaPeriódica: Es la tasa pactada para un periodo. Con ella se calculan los flujos de caja. 6.1% Trimestral vencido. INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO:

48 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo En excel INT.EFECTIVO En excel TASA.NOMINAL INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: En resumen..

49 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Efectiva Nominal vencida Periódica NUNCA divida una tasa Efectiva NUNCA Multiplique una tasa de interés nominal SIEMPRE que multiplique una tasa, el resultado será una tasa nominal SIEMPRE que divida una tasa nominal el resultado será una tasa periódica NUNCA divida una tasa periódica. Si requiere hacerlo, suponga que esta es una efectiva. En resumen... INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: Vencida Anticipada Tasa.nominal Int.efectivo

50 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: La utilidad de los efectivos... TV MV SV AA TA Efectiva Períodica La tasa efectiva es un “puente” que permite cambiar tasas de un período a otro

51 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo OPRIMA AQUI Para aplicar los temas vistos

52 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Criterios decisorios

53 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Clases de costos... Costos Muertos:Costos Muertos: Son todos los costos pasados, su principal característica es que son irrecuperables. Costos de oportunidad: Costos de oportunidad: Es el costo de la mejor alternativa que se desecha, por invertir en la que se está evaluando. Costos de Capital: Costos de Capital: Es el valor que cobra un tercero por los recursos que se van a invertir en la opción evaluada

54 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Clases de costos... Costos Muertos Un ejemplo: Homero Cerquillo vende enciclopedias de la editora Amazona y recibe una comisión por cada enciclopedia que vende. La comisión es de $6.000 por enciclopedia. Cerquillo ha estado tratando de vender a Olaf Tartán y ha gastado $5,000 en atenciones a Tartán, sin que hasta el momento se haya realizado la venta. Tartán, quien no tiene contacto con ningún otro de los clientes de Cerquillo, le dice que le comprará la enciclopedia su él le compra un reloj por $2.500. ¿Debe Homero aceptar la propuesta?

55 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Los $5.000 son costo muerto, porque ya es imposible recuperarlos. TODAS las erogaciones hechas en el pasado son costos muertos, ya no se pueden recuperar Costos Muertos

56 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo LA TASA DE DESCUENTO

57 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Tipos de Alternativas: DependientesDependientes: Se puede invertir en todos o en ninguno si y solo si se aceptan los dos. IndependientesIndependientes: La decisión que se tome en cualquiera de ellos no afecta al otro. Mutuamente ExcluyentesMutuamente Excluyentes: Cuando se acepta alguno, automáticamente se rechaza el otro. Criterios decisorios

58 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Decisiones: DependientesDependientes: Aceptar o rechazar IndependientesIndependientes: Aceptar o rechazar. Mutuamente ExcluyentesMutuamente Excluyentes: Aceptar o rechazar. Ordenar Criterios decisorios

59 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Existen múltiples formas de evaluar alternativas, entre ellas: VPN (NPV): Valor presente Neto TIR (IRR): Tasa Interna de retorno TIR MODIFICADA (MIRR): TIR Modificada TIR PONDERADA: TIR Ponderada CAE (o CAUE): Costo anual equivalente PR: Período de repago Pero no todos estos métodos son adecuados para la evaluación. Criterios decisorios

60 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El VPN calcula la diferencia entre el valor actual de los ingresos y los costos. El resultado es un valor en pesos (o cualquier moneda que se esté trabajando) El VPN Supuestos: - La reinversión de los fondos liberados a lo largo de la vida del proyecto, se hace a la tasa de descuento. - Tiene en cuenta la cantidad invertida.

61 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El VPN Utilidad = Ingresos - Egresos $100 $150 Los ingresos por lo general están en el futuro VPN = VA (Ingresos) – VA (costos y gastos) ¿Con cuál tasa se traen ¿Con cuál tasa se traen a Valor actual? a Valor actual? U=150 – 100 = 50

62 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Una explicación gráfica $100 $150 El VPN Recuperación de la inversión $100 $100 Utilidad $50

63 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Una explicación gráfica 150 Inversión $100 Utilidad $50 Costo del dinero $10 Remanente VPN $40 El VPN

64 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El VPN La agregación de valor... Al traer los ingresos futuros a Valor Actual, se está evaluando implícitamente la AGREGACION DE VALOR DE LA INVERSION Se le están “restando” a las utilidades del proyecto, la utilidadque produciría la mejor opción del mercado (costo de oportunidad) con un nivel de riesgo similar

65 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El VPN generando valor Es decir, esta inversión supera a la MEJOR OPCION del mercado en $36.36, por lo tanto, está generando valor para la compañía La agregación de valor... 150 Inversión $100 Utilidad $50 Costo del dinero $10 Remanente $40 Costo del dinero Remanente = VPN

66 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El VPN Donde: t = Período I = Ingresos r = Tasa E = Egresos n = Ultimo período VPN = Valor Presente Neto

67 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Regla de la decisión del VPN Si VPN > 0 acepte Si VPN < 0 rechace Si VPN = 0 indiferente El VPN

68 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo El VPN UNA EXPLICACION GRAFICA

69 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La TIR calcula la rentabilidad del Proyecto. El resultado es un % Supuestos: - La reinversión de los fondos a la misma TIR -No tiene en cuenta las cantidades invertidas. -No tiene en cuenta la diferencia entre las vidas de los proyectos. La TIR TIR = VA (Ingresos) – VA (costos y gastos) = 0

70 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La TIR Donde: t = Período I = Ingresos r = Tasa (TD) Valor desconocido E = Egresos n = Ultimo período

71 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La TIR Es decir, la TIR es aquella tasa que hace que el VPN sea igual a cero.

72 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Una explicación gráfica Inversión Costo del dinero La TIR

73 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La TIR. Una explicación gráfica TIR

74 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo La TIR Regla de la decisión de la TIR Si TIR > TD acepte Si TIR < TD rechace Si TIR = TD indiferente

75 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Diferencias entre el VPN y la TIR Es propia del inversionista El inversionista “sesga” el resultado El VPN cambia dependiendo de cada inversionista Es propia de la inversión noEl inversionista no“sesga” el resultado noLa TIR no cambia dependiendo de cada inversionista

76 Matemática financiera Costo del dinero Concepto de inversión Interés simple y compuestoInterés simple y compuesto Factores de conversión Criterios decisorios Tasas equivalentes VPN TIR Ejercicios: Construcción de flujos Componentes de la tasa de interésComponentes de la tasa de interés Anticipas y vencidas Nominales y efectivas Consideraciones sobre los metodosConsideraciones sobre los metodos Riesgo Ejercicios: Factores de conversión: Ejemplos iniciales.Factores de conversión: Ejemplos iniciales. Laberinto: Ejercicios de autocorrección de los temas Factores de conversión, tablas de amortización y tasas equivalentes.Laberinto: Ejercicios de autocorrección de los temas Factores de conversión, tablas de amortización y tasas equivalentes. vpn: Ejercicios de autocorrección del tema criterios decisorios.vpn: Ejercicios de autocorrección del tema criterios decisorios. metdec: Ejemplo del uso de los diferentes métodos de decisión.metdec: Ejemplo del uso de los diferentes métodos de decisión. Taller: Ejercicios sobre los diferentes métodos de decisión.Taller: Ejercicios sobre los diferentes métodos de decisión. Solución www.javeriana.edu.co/cursad/modulo_finanzas