Métodos Matemáticos de Especialidad (Mecánica-Máquinas) Presentación del trabajo Grupo 19 Nuria Cruz Fonfría03415 Antonio Puebla Morales03313 Alba Martínez.

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1 Métodos Matemáticos de Especialidad (Mecánica-Máquinas) Presentación del trabajo Grupo 19 Nuria Cruz Fonfría03415 Antonio Puebla Morales03313 Alba Martínez López-Reina03228 Rodrigo Pedrazas Freeman03289

2 OBJETIVOS Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 ANÁLISIS CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE SISTEMAS MULTICUERPO 3-D DINÁMICA VEHICULAR

3 Planteamiento del problema Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 1.Expresar matemáticamente el sistema 2. Resolver el problema cinemático 3. Resolver el problema dinámico

4 Lectura del enunciado y comprensión de los ficheros Repaso de apuntes de clase y aplicación al ejercicio Aportación de ideas Posible resolución y prueba ¿El resultado es correcto? Sí No ¿En qué nos hemos equivocado? Ver errores en la command window Analizar errores Seguir con el ejercicio siguiente Si fuera necesario Análisis de resultados ¿Cómo resolverlo?

5 MODELIZACIÓN Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 Para realizar la explicación matemática de este sistema utilizaremos las siguientes coordenadas: - Coord. Independientes - Coord. Dependientes * Coord. Mixtas: hay que añadir, además, ángulos y distancias * Coord. Naturales: para describirlas usamos dos o más puntos

6 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19MODELIZACIÓN Al ser mayor el número de coordenadas dependientes que el número de coordenadas independientes aparecen las ecuaciones de restricción, donde se relacionan ambas. Para indicar la posición de los puntos y los vectores que intervienen utilizamos las matrices P y U respectivamente. Puntos de la suspensión delantera izquierda Puntos de la suspensión delantera derecha Izquierda Derecha

7 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 A continuación utilizamos este esquema de la suspensión MacPherson para visualizar los puntos y vectores necesarios para modelizarlaMODELIZACIÓN

8 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19MODELIZACIÓN Modelización como sólido rígido: modelización del triángulo inferior formado por los puntos 1, 2 y 3 1 y 2 son fijos, y pertenecen al chasis. Las posiciones no cambian y las distancias son constantes; por tanto, las ecuaciones de restricción se reducen. Ecuaciones de restricción expresadas en la matriz CONSTR

9 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19MODELIZACIÓN SOPORTE DE LA RUEDA: para sólidos complicados realizamos la modelización de la siguiente forma: 1. Creamos base en R 3 : los tres vectores linealmente independientes escogidos son, u 1, u 3-5 y u 3-6 2. Fijar puntos a la base, en nuestro caso el punto 4 3. Definimos las ecuaciones de restricción:

10 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19MODELIZACIÓN BARRA DE LA DIRECCIÓN: U 4 paralelo al segmento 11-4 U 4 paralelo al segmento 12-4 Distancia de 11 a 4 constante La distancia S1 es variable y la matriz CONSTR la va actualizando NOTA: para la parte derecha de la suspensión las ecuaciones son análogas pero con la coordenada ‘y’ cambiada de signo.

11 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19MODELIZACIÓN SUSPENSIÓN DE CINCO BARRAS. Se modelizará de forma similar a la suspensión delantera. Haremos la parte simétrica a ésta cambiando la coordenada ‘y’ de signo. CHASIS El chasis de construyó haciendo modelización por barras.

12 ANÁLISIS CINEMÁTICO Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 1.Determinamos la posición inicial a partir de las matrices P, U, DIST, ANGLES. En la última columna de éstas se indica su posición dentro del vector q (vector de coordenadas naturales). 2.Programamos el vector q a partir de P, U, DIST, ANGLES. 3.Nº incógnitas total – nº ecs restricción = gdl mecanismo. Usamos Newton-Raphson para resolver el sistema para cada valor de los gdl. Consiste en, una vez fijado el mecanismo para un cierto valor de los gdl, calcular la nueva posición que ocupa cuando los gdl se van actualizando con un cierto incremento.

13 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 ANÁLISIS DINÁMICO El problema dinámico trata de analizar el movimiento del sistema a partir de las fuerzas que actúan sobre el mecanismo. Para hacer el estudio dinámico planteamos un problema de valor inicial, en el que tenemos una ecuación diferencial y condiciones iniciales. Para resolver el problema de valor inicial usaremos las ODEs de Matlab. Para que funcionen, necesitamos: Ecuación diferencial de forma explícita: y’ = f(x,y) Condiciones iniciales Intervalo en el que se representan las soluciones.

14 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 ANÁLISIS DINÁMICO CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE FORMA EXPLÍCITA Calculamos la matriz R. Ésta es una base del conjunto ker (Ø q ). Cualquier vector de velocidad puede ponerse como combinación lineal de las columnas de R. La ecuación diferencial que buscamos es compuesta por z’’, que son las aceleraciones de las coordenadas independientes, y vel (free) que son las velocidades de las coordenadas dependientes.

15 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 ANÁLISIS DINÁMICO La forma en la que hemos definido la ecuación diferencial explícita conlleva que ‘y’ sea de la forma: y = [z’ T, q], siendo z’ las velocidades de las coordenadas independientes y q el vector de coordenadas dependientes. Calculamos las velocidades de las coordenadas independientes a partir de las velocidades de las dependientes. z’’ lo calcularemos atendiendo a la ecuación vista en teoría

16 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 ANÁLISIS DINÁMICO Finalmente hemos calculado las fuerzas que intervienen en el mecanismo que hacen que este sea un problema dinámico propiamente dicho. Peso Fuerza aerodinámica resistencia al avance M: matriz de masas Qin: fuerzas de inercia Qs: fuerzas elásticasQd: fuerzas disipativas (amortiguador)

17 Métodos Matemáticos de Especialidad. Grupo19 CONCLUSIÓN FINAL Tras la resolución de los puntos anteriores puede observarse el mecanismo completo en la siguiente secuencia de imágenes