SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

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1 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA
UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

2 OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD
Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr clasificar los distintos métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales, y controles durantes los procesos.

3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
4.1 Describir el método IMPES, como una de las principales procedimientos en solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita. 4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones. 4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita. 4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita

4 4.1 Métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.
4.1.1 Método IMPES: implícito en presión, Explicito en saturación. Este método implica una solución implícita en presión y explicita en saturación. Consiste en reducir las ecuaciones: (Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] + n+1 = + (qo)i ÷ ø ö ç è æ j n i o B S D V t 1 Ec. 4.1 PcW,O = Po – PW = PcW,O (SW) Ec. 4.2 Estas ecuaciones se expresan como una única ecuación con la presión como única incógnita y sin términos de tipo ΔtS. Esto se logra eliminando ΔtSo, ΔtSw ΔtSg. De la ecuación anterior.

5 CONSIDERACIONES 1. - Existen varias formulaciones para resolver los problemas multifásicos. - En general se toman como incógnitas primarias: Po, Sw, Sg (para 3 fases) o Po, Sw para casos petróleo-agua. - Un método de solución bastante extendido es el método IMPES (IMplit Pressure, Explicit Saturation): Se resuelve primero implícitamente la presión y luego explícitamente la saturación. 2. Vamos a suponer, para simplificar, pero sin perder lo esencial de la no linealidad del problema, que los fluidos y la roca son incompresibles, es decir, f, Bo, Bw constantes (para problema de dos fases: petróleo-agua).

6 3. En este caso, las ecuaciones para problemas 1D, que eran, en términos genéricos:
(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i] - (Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1] = + (qo)i n ( ) [ ] o i S B t V - D j 1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 (Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] + = + (qo)i n ( ) [ ] o i S B t V - D j 1 (y similarmente para el agua), quedan ahora: n n+1 n+1 n n+1 n+1 (Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1 ] + = + (qw)i n ( ) [ ] w i S B t V - D j 1

7 4. Multiplicando por Bo la ec
4. Multiplicando por Bo la ec. del petróleo y por Bw la del agua y sumando, queda: n+1 n+1 n n+1 Bo{ (Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2 n [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ]} + n+1 n+1 n+1 n n+1 n+1 Bw{ (Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1 ]} + n (Boqo + Bwqw)i = 0 n+1 n+1 n Sustituyendo (Pw)i  (Po)i - (Pcow)i y haciendo Bo = Bw = 1, por ser fluidos incompresibles, la ecuación queda: n+1 n+1 n n+1 n+1 (Tx)i+1/2 (Mox+Mwx)i+1/2 n [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tx)i-1/2 (Mox+Mwx)i-1/2 [(Po)i - (Po)i ] - n n n n n n (Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pcow)i - (Pcow)i+1 ] + (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pcow)i-1 - (Pcow)i ] + n (qo + qw)i = 0

8 é ù æ j ö æ j ö V S S ê ç ÷ - ç ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë û é
Conseguir la solución a estas ecuaciones es obtener valores de Po, Pw, So, Sw, tales que: n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 (Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1] + (qo)i - - é n + 1 n ù æ j ö æ j ö V S S ê ç ÷ - ç = 0 i o o ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë o o û i i n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 (Twx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - (Twx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1] + (qw)i - é + æ ö n 1 ù j S æ n j V S ö - ê ç w ÷ - ç w ÷ ú i = 0 ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë w û i w i Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.

9 se sustituyen los valores en la ec. más arriba, donde aparecen So y Sw
5. Esta ecuación es lineal y, combinada con las correspondientes a todos los bloques, es un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse por los métodos usuales directos o iterativos. 6. Resuelto el sistema presiones en cada nodo se sustituyen los valores en la ec. más arriba, donde aparecen So y Sw n+1 n+1 se despejan explícitamente las saturac. el problema queda resuelto 7. Puede haber problemas de estabilidad que restringen el tamaño del paso de tiempo (time-step), sobre todo si los cambios en saturación son grandes. Ventaja del IMPES: menor costo computacional por time-step. Desventaja del IMPES: limitaciones respecto a la estabilidad

10 S , ) B / Rs ( 1 8. Los valores de:
utilizados en los métodos implícito en presión – explicito en saturación, son pendientes de cuerdas trazadas entre los valores evaluados a los niveles de tiempos n y n+1. dado que los valores dependen de las presiones y las saturaciones a nivel n+1, las cuales son desconocidas, es necesario estimarlos al comienzo de cada intervalo de tiempo y luego evaluarlos después de cada iteración durante la solución. g w O S , ) B / Rs ( Ñ 1

11 Formulación totalmente explícita:
1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así: (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] - - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] + + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] - - (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] + = + (qo)i,j ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ - D n j i o B S t V , 1 Y similares para el agua y para el gas, en 2 dimensiones

12 2. Vamos a analizar sólo sistemas bifásicos (agua-petróleo), siempre por encima de la presión de burbujeo. 3. Ya hemos visto cómo calcular los valores en la frontera de los bloques (para K, Kro, m, Bo) 4. En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en el tiempo n. Por tanto queda: n a) n n n n n (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j] + n n n n n n + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1] + n ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ - D + n j i o B S t V , 1 (qo)i,j + =

13 ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ - D B S t V n n n n n n (Twx)i+1/2,j
[(Pw)i+1,j - (Pw)i,j] - (Twx)i-1/2,j [(Pw)i,j - (Pw)i-1,j] + b) n n n n n n + (Twy)i,j+1/2 [(Pw)i,j+1 - (Pw)i,j] - (Twy)i,j-1/2 [(Pw)i,j - (Pw)i,j-1] + ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ - D + n j i w B S t V , 1 n (qw)i,j + = Todo en el lado izquierdo de la igualdad es conocido

14 4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones. Método de solución no lineal (Newton en una variable). Sea f(x) una función no lineal. Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0 Por Taylor se tiene que: 0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo) Cortando la serie después del segundo término y despejando, queda: x1 x0 - f(x0)/f´(x0) xi+1 xi - f(xi)/f´(xi) lo cual, en forma iterativa, queda como:

15 ( ) ( ) æ ¶ f ( x , y ) ¶ f ( x , y ) ö ç ÷ æ ö æ f ( x , y ) ö æ f (
Método de Newton en dos variables: Sean f1(x,y) y f2 (x,y) dos funciones no lineales de dos variables. Se quiere hallar (x,y) tal que f1(x,y) = 0 f2(x,y) = 0 { Por Taylor: æ f ( x , y ) f ( x , y ) ö ç 1 1 ÷ ( ) æ ö æ f ( x , y ) ö æ f ( x , y ) ö æ x - x ö ç x y ÷ ç ÷ = ç 1 1 1 ÷ = ç 1 ÷ + ç 1 ÷ + ... ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ( ) f ( x , y ) ç f ( x , y ) f ( x , y ) ÷ - è ø è f ( x , y ) ø è ø è y y ø 2 1 1 2 2 2 ç ÷ 1 è x y ø Cortando la serie después del segundo término, queda:

16 ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ - » , ´ y x f F ÷ ø ö ç è æ - » ) , ´( ( y x F f ÷
1 2 ) , ´( ( y x F f y despejando: ( ) ÷ ø ö ç è æ - , 2 1 y x f F Así la fórmula recursiva queda: ( ) ÷ ø ö ç è æ - + , 2 1 i y x f F

17 ÷ ø ö ç è æ - » ) , ( 1 2 y x f ÷ ø ö ç è æ = - » 1 5 . 3 2 y x æ 1 -
x2 + y2 = 1 y = 2x Ejemplo:Resolver el sistema: x0=0.5, y0=0.5 { Solución: ÷ ø ö ç è æ - + ) , ( 1 2 i y x f æ 1 - 2 y ö ç ÷ æ x ö æ x ö 2 x + 4 y 2 x + 4 y æ f ( x , y ) ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç 1 i i ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ y y ç 2 2 x ÷ è ø è ø è f ( x , y ) ø i + 1 i ç ÷ 2 i i è 2 x + 4 y 2 x + 4 y ø ÷ ø ö ç è æ = - 1 5 . 3 2 y x Primera iteración:

18 ( ) æ ( x - x ) ö æ f ( x , y ) ö F ´ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - è ( y y )
En general no se haya (F´)-1, sino que de ÷ ø ö ç è æ - + i y x F f 1 2 ) , ´( ( construimos el sistema æ ( x - x ) ö æ f ( x , y ) ö ( ) F ç i + 1 i ÷ = - ç 1 i i ÷ ç ÷ ç ÷ - è ( y y ) ø è f ( x , y ) ø i + 1 i 2 i i (Matriz de coeficientes) ÷ ø ö ç è æ = - + y x i d ) ( 1 siendo el vector de incógnitas: ÷ ø ö ç è æ + = i y x d 1 de donde luego se despeja: para la siguiente iteración.

19 ( ) es decir, f x F ÷ ø ö ç è æ - = . ´ d
Para n funciones con n incógnitas: En este caso tendremos análogamente un sistema así: ( ) k n f x F ÷ ø ö ç è æ - = + . 1 d es decir, k n f x ÷ ø ö ç è æ - = ú û ù ê ë é + . 1 d

20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - fi = - . fNX = . . . - + - - T P P T P P
Las funciones fi tienen la siguiente forma, como ya vimos: é n + 1 , k n ù fi = V æ j S ö æ j S ö - ê ç o ÷ - ç o ÷ ú i ç ÷ ç ÷ D t ê B B ë è ø è ø ú o o û i i - ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 , k n 1 , k - n + 1 , k + n + 1 , k n + 1 , k - n + 1 , k - n + a , k T P P T P P q ox i + 1 o i + 1 o i ox i - 1 o i o i - 1 o i 2 2 . fNX = . . . para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las direcciones.

21 Las funciones fi deben tender a 0 (cero) a medida que k se va incrementando:
Las incógnitas, en general, son Po, Sw y Sg.Por tanto en la matriz de coeficientes deben ir las derivadas de fi con respecto a estas variables. Es decir, son de alguna de las formas siguientes: j o i P f x ) ( = w S g Estas derivadas se aproximan numéricamente, dado que las fi no pueden derivarse analíticamente

22 El número total de ecuaciones (y de incógnitas) será el producto del número de fases en el sistema por el número de celdas - Para resolver el sistema resultante, que es lineal, se aplican diversas técnicas que estudiaremos enseguida. - Además de los esquemas aquí analizados (explícito, IMPES, implícito), hay toda una gama de esquemas intermedios. - Existen también los métodos implícitos adaptativos: el simulador selecciona (de acuerdo con ciertos parámetros dados por el usuario o tomados por “default”) cuáles celdas toma implícitas y cuáles toma explícitas.

23 4.2.2 Método lineales, para la solución de las ecuaciones.
- Al aplicar los esquemas IMPES e implícito, los sistemas que finalmente resultan para avanzar en una iteración de Newton son lineales, de la forma Ax = b donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es un vector de constantes (valores conocidos que engloban valores de la iteración anterior y valores de frontera). - Hay dos técnicas o métodos fundamentales para encontrar la solución de tales sistemas: a. Métodos Directos b. Métodos Iterativos - Como regla empírica, los métodos directos se usan en problemas sencillos y/o con pocas celdas. En los demás casos se usan los iterativos.

24 Métodos Directos 1. El método de eliminación de Gauss, con diferentes variantes, es el método usual disponible en los simuladores. El método consiste en: 1.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener una matriz triangular, . . .

25 1.b- una vez triangularizada la matriz, la solución se consigue fácil y rápidamente despejando las incógnitas comenzando desde abajo (backward substitution) . . . ( ) 1 , / (...) a b x - = d ú û ù ê ë é . ú û ù ê ë é . . = n a b x , / = d - En un solo paso se obtiene la solución: directamente !

26 2. El método de descomposición LU, que consiste en:
2.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener dos matrices triangulares, una triangular inferior L y otra triangular superior U, tales que A=LU U A = L 2.b- entonces el problema Ax = b se transforma en LUx = b 2.c- se define y = Ux y se resuelve L(Ux) = b, o sea, Ly = b fácilmente por “forward substitution” 2.d- finalmente se resuelve Ux = y por “backward substitution” para obtener x, la solución buscada.

27 Métodos Iterativos: - Rapidez: Son más rápidos que los directos para problemas grandes o complejos. - Número de iteraciones: Depende de varios factores: 1. Dificultades del problema 2. Método seleccionado 3. Precisión requerida 4. Magnitud del problema - Valores iniciales: Se requieren para arrancar el proceso iterativo. En simulación de yacimientos, los valores iniciales son las soluciones de la iteración no lineal anterior. Para pasar de la iteración n+1,k a la n+1,k+1 (de Newton) se toman las soluciones de la iteración n+1,k como valores iniciales.

28 Ei,jPi,j - Di,jPi-1,j - Fi,jPi+1,j - Bi,jPi,j-1 - Hi,jPi,j+1 = bi,j
Método SOR aplicado a simulación de yacimientos: Sea un caso monofásico bidimensional: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 La ecuación genérica puede escribirse así: Ei,jPi,j - Di,jPi-1,j - Fi,jPi+1,j - Bi,jPi,j-1 - Hi,jPi,j+1 = bi,j Pi,j-1 - Pi-1,j + (4+a)Pi,j - n+1 Pi+1,j - Pi,j+1 = aPi,j n - Recordar:

29 Completación del proceso
Una vez que se ha resuelto el sistema lineal, sea por métodos directos o iterativos, se ha avanzado una iteración en el método de Newton (el sistema no lineal), la cual se llama “outer iteration”. Luego se procede a la siguiente iteración hasta que se considera que Newton ha convergido. Con esto se termina un paso de tiempo (“time-step”): se ha pasado del tiempo n al tiempo n+1. La simulación continúa así hasta el final. Pueden presentarse problemas de convergencia, tanto en el sistema lineal como en el no lineal Remedios: aumentar iteraciones, restringir tamaño de paso de tiempo, revisar tolerancias, revisar mallado, etc.

30 4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.
Métodos de solución simultanea: Este método consiste en reducir las ecuaciones anteriores a tres ecuaciones simultaneas con presión al petróleo, al agua y al gas como incógnitas y sin términos del tipo ΔtS. Esto es, las tres ecuaciones, con presión como incógnitas, se obtienen de las ecuaciones 4.1 y 4.2, eliminando ΔtSo, ΔtSw, ΔtSg. Otros Métodos de solución para flujo multifasico: Los métodos implícito en presión – explicito en saturación y de solución simultanea son perfectamente satisfactorios para la solución de la mayoría de los problemas de flujo mulfasico, sin embargo resultan inadecuados en casos de flujo convergente, donde de los fluidos que fluye a través de un bloque es varias veces el volumen poroso de dicho bloque, como lo son en los caso de conificación de agua y/o gas. Estos métodos son:

31 Estos métodos son: Método completamente Implícito de Blair y Weinnaug. Consiste en evaluar la transmisibilidades y términos dwe producción y/o inyección al nivel de tiempo (n+1), implicitamente, resultando asi un sistema de ecuaciones nom lineales, el cual se resuelve por el método iterativo de Newton Raphson, que se presenta a continuación: Método de Newton en una variable: Sea f(x) una función no lineal. Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0 Por Taylor se tiene que: 0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo) Cortando la serie después del segundo término y despejando, queda: forma iterativa: xi+1 xi - f(xi)/f´(xi) x1 x0 - f(x0)/f´(x0)

32 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - fi = - - T P P + T P - P - q
Las funciones fi tienen la siguiente forma: é ù V æ ö n + 1 , k j S æ - ö n fi = ê j S ç i o ÷ - ç o ÷ ú ê ç ÷ ç ÷ D B ú t è o ø è B ë i o ø i û [ ] [ ] - ( ) n + ( ) ( ) 1 , k n + 1 , k - n + ( ) + ( ) + ( ) ( ) T P P 1 , k + T n 1 , k P n 1 , k - P n + 1 , k - q n + a , k o ox i + 1 o i + 1 o i ox i - 1 o i o i - 1 i 2 2 para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las direcciones.

33 Método de solución simultáneas utilizando términos de producción y/o inyección implícitamente. Este método lo presentó Spivak y Coats, y consiste en tratar los términos de producción y/o inyección de manera tal, que bien podrían denominarse semi-implícita. Método IMPES con términos de producción y/o inyección implícitamente. Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en usar un esquema semi-implícito de producción y/o inyección, como el método anterior, pero aplicado el método implícito en presión-explicito en saturación. Método IMPES con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitas. Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en tratar los términos de producción y/o inyección y las permeabilidades relativas de una manera

34 Continuación…. Semi- implícita. Método de solución simultanea con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitamente. Este método es descrito por Letkeman y Ridings, consiste en lo mismo que el método anterior, pero aplicado al método de solución simultanea. Método semi-implícito de Molen y Berra. Consiste en resolver simultáneamente dos ecuaciones con presión y saturación de una de las fases como incógnitas. Método secuencial. Consiste en escribir las ecuaciones de flujo de tal manera que resultan tres ecuaciones con tres incógnitas, presión al petróleo y saturaciones de agua y gas.

35 4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita. 4.4.1 balance de Materiales. Las ecuaciones de flujo se derivan sobre la base del principio de conservación de masa, luego las ecuaciones en diferencia finita deben ser formuladas de manera tal que sea consistentes con este principio. Es decir satisfacer la ecuación producción neta acumulada debe ser igual al contenido inicial de fluidos en sitio menos el contenido presente de contenidos en sitio. Donde la producción neta acumulada es la diferencia entre la inyección y la producción acumulada. Esto se debe cumplir para cualquier tiempo sin error, sin embargo esto no se satisface debido al error de redondeo ocasionado por el número finito de ecuaciones.

36 e T = 4.4.2 Errores de truncamiento.
Es el error cometido al reemplazar una ecuación diferencial por una aproximación ec. diferencia. La solución exacta ( sin errores de redondeo) de una ecuación en diferencias difiere de la solución de la ecuación diferencial correspondiente, debido a este error. Matemáticamente puede expresarse como: e T = Solución ecuación en forma finita Solución de ecuación en forma de diferencia finita

37 = = = 4.4.3 Convergencias, Estabilidad y Consistencia.
Estos conceptos están relacionados con el proceso de solución de una ecuación diferencial mediante aproximación numérica en diferencias finitas, se debe considerar las relaciones existentes entre la solución verdadera de la ecuación diferencial, la solución exacta de la aproximación numérica y la solución calculada. Se debe definir en base a esto: Convergencia: implica que P P cuando Δx y Δt Estabilidad: implica que P P durante el proceso de solución. Esto requiere que el error introducido ( P – P) en algún punto de la malla a un determinado nivel de tiempo, disminuya o aumente. Consistencia: Denominada compatibilidad; se refiere a si la ecuación en diferencias se reduce o no a la ecuación diferencial cuando Δx y Δt 0. = = =

38 4.4.4 Estabilidad de los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.
Este método solo se aplica a las ecuaciones lineales, aunque tales métodos pueden ser usados de forma simplificada. En general, las ecuaciones simultáneas de flujo multifásico contienen dos fuentes de inestabilidad: inestabilidad condicional (restricción del intervalo de tiempo), debido al tratamiento explícito del las variables. Inestabilidad existente es ambos métodos, que es debido a la inestabilidad del esquema explícito de las transmisibilidades. 4.4.5 Dispersión numérica. Se trata de estimar la pérdida de exactitud cuando se aproximan las ecuaciones en derivadas parciales por diferencia finitas. Generalmente aumenta con el incremento en le tamaño de los bloques (Δx,Δy,Δz).

39 4.4.6 Selección correcta de la formulación
Algunos de los problemas requieren de formulaciones más implícitas que otras. Por ejemplo, si ocurre una conificación simultánea de agua y gas en un pozo, entonces ocurrirán cambios rápidos de presiones y saturaciones en un intervalo de tiempo. 4.4.7 Otras técnicas de aproximación numérica. La mayoría de los modelos de simulación de yacimientos utilizan la técnica de diferencia finita para aproximar numéricamente las ecuaciones de flujo; sin embargo existen otras técnica aplicables a tal fin, tales como el método de Galerkin y los métodos de variaciones.