@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 SISTEMAS ESCALONADOS Bloque I * Tema 018.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 SISTEMAS ESCALONADOS Bloque I * Tema 018

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 SISTEMAS ESCALONADOS Sea el sistema de orden dos: ax + by = c b’y =c’ Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d b’y + c’z =d’ c”z =d” Ambos sistemas se llaman escalonados, puesto que resolviendo consecutivamente las ecuaciones de abajo hacia arriba nos permiten fácilmente deducir el valor de cada incógnita, siempre que el sistema sea compatible y determinado. Otra ventaja de dicha estructura es poder ver rápidamente si el sistema es o no compatible. Todos los sistemas se pueden convertir en sistemas equivalentes escalonados.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 SISTEMAS ESCALONADOS EJEMPLO_1 3x + 5y = 13(1) 2y = 4(2) De la (2)  y = 4/2=2 En la (1)  3x + 10 = 13  3x = 3  x = 1 EJEMPLO_2 4x + y + 7z = - 6(1) 2y + 3z = – 1(2) 5z = – 5(3) De la (3)  z = – 5 / 5 = – 1 En la (2)  2y – 3 = – 1  2y = 2  y = 1 En la (3)  4x + 1 – 7 = – 6  4x = 0  x = 0 SISTEMAS ESCALONADOS

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 OTROS S. ESCALONADOS EJEMPLO_4 -7y = 5(1) 3x + 5y = 13(2) Variando el orden de las ecuaciones: 3x + 5y = 13(1) - 7y = 5(2) EJEMPLO_5 - x = 3(1) 4x + y = - 6(2) Variando el orden de las ecuaciones y de las incógnitas: y + 4x = – 6(1) - x = 3(2) SISTEMAS ESCALONADOS

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 OTROS S. ESCALONADOS EJEMPLO_6 -7y - 3z= 7(1) 3x + 5y + z = 2(2) 5z = – 10 (3) Variando el orden de las ecuaciones: 3x + 5y + z = 2(1) -7y - 3z= 7(2) 5z = – 10 (3) Resolución: De la (3)  z = - 2 En la (2)  - 7y + 6 = 13  - 7y = 7  y = - 1 En la (1)  3x – 5 – 2 = 2  3x = 9  x = 3 SISTEMAS ESCALONADOS

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 TRANSFORMACIÓN Sea el sistema de orden dos: ax + by = c(1) a’x + b’y = c’(2) Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en dos pasos: 1º.-Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: x + my = n(1) a’x + b’y = c’(2) 2º.-A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por “a’”. Quedará ya escalonado: x + my = n(1) py = q(2)

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 TRANSFORMACIÓN Ejemplo_1 Sea el sistema de orden dos: 2x – 4y = 10(1) 3x + 7y = - 11(2) 1º.-Divido la (1) entre 2: x – 2y = 5(1) 3x + 7y = - 11 (2) 2º.-A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 3: x – 2y = 5(1) 13y = - 26(2) Y queda escalonado. Resolviendo el sistema: y = - 2  x = 5+2y = 5 – 4 = 1 TRANSFORMACIÓN

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 TRANSFORMACIÓN Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d(1) a’x + b’y + c’z = d’(2) a”x + b”y + c”z = d”(3) Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en tres pasos: 1º.-Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: x + my + nz = p(1) a’x + b’y + c’z = d’(2) a”x + b”y + c”z = d”(3) 2º.-A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por a’. Y a la ecuación (3) la restamos la (1) multiplicada por a”. Quedará: x + my + nz = p(1) ey + fz = g(2) ky + qz = t(3) TRANSFORMACIÓN

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 TRANSFORMACIÓN 3º.-A la ecuación (3) la restamos la (2) multiplicada por k/e. Quedará ya escalonado: x + my + nz = p(1) ey + fz = g(2) + hz = r(3) Para otros sistemas se seguirá la estrategia más conveniente a cada caso, aunque se recomienda utilizar el método expuesto. No obstante la clave estará en conseguir que el coeficiente de x en la primera ecuación sea la unidad. TRANSFORMACIÓN

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 TRANSFORMACIÓN Ejemplo_2 Sea el sistema de orden tres: 3x + 6y + 9z = 18(1) 2x + 5y + 7z = 13(2) 5x + 3y + 2z = 10(3) 1º.-Divido la (1) entre 3: x + 2y + 3z = 6(1) 2x + 5y + 7z = 13(2) 5x + 3y + 2z = 10(3) 2º.-A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 2. Y a la ecuación (3) la restamos la (1) multiplicada por 5. Quedará: x + 2y + 3z = 6(1) y + z = 1(2) – 7y – 13z = – 20 (3) TRANSFORMACIÓN

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 TRANSFORMACIÓN 3º.-A la ecuación (3) la sumamos la (2) multiplicada por 7. Quedará finalmente un sistema equivalente al dado pero ya escalonado: x + 2y + 3z = 6(1) y + z = 1(2) – 6z = – 13 (3) Resolviéndolo: En la (3):z = 13/6 En la (2):y= 1 – z = 1 – 13/6 = - 7/ 6 En la (1):x= 6 – 2y – 3z = 6 +14/6 – 39/6 = 11 / 6 TRANSFORMACIÓN