HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Copyright © 2010 by Hawkes Learning Systems/Quant Systems, Inc. All rights reserved. Capítulo 12 Más.

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1 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Copyright © 2010 by Hawkes Learning Systems/Quant Systems, Inc. All rights reserved. Capítulo 12 Más pruebas de hipótesis: proporciones, varianzas y comparación de medias

2 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población Objetivos: Conocer y entender el procedimiento para realizar una prueba de hipótesis con la población de una población.

3 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definición: Reglas para una prueba de hipótesis con la proporción de una población o Si np  5, y o n(1 – p)  5, o entonces por el Teorema del Límite Central, el estadístico de prueba está dado por El estadístico de prueba, z, tiene una distribución estándar normal. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población donde es el valor de la proporción poblacional que propone la hipótesis es la cantidad de casos de la muestra que tienen alguna característica y n es el tamaño de la muestra

4 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Prueba de hipótesis: Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema. En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de significancia. Solución: 1)H 0 : A lo mucho 60% de los estudiantes prefieren el nuevo sistema. H a : Más de 60% de los estudiantes prefieren el nuevo sistema. 2)p = es la verdadera proporción de la población que creen que el nuevo sistema es mejor que el viejo. 3)La palabra clave en este caso es “más.” Como la escuela está tratando de determinar si más de 60% de los alumnos prefiere el nuevo sistema, la prueba es de una cola. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población Prueba de hipótesis: Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema. En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de significancia. Solución:

5 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: 4) H 0  : p  0.6 H a  : p  0.6 5)  0.05 6)Como np  5 y n(1 – p)  5, podemos asumir que la distribución muestral es aproximadamente normal; por lo tanto, podemos usar la prueba z. 7)Como  0.05 y la prueba es de una cola, z   z 0.05  1.645. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población Prueba de hipótesis: Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema. En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de significancia.

6 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 8) 9) Como 3.58  1.645  z , se rechaza hipótesis nula. 10) Hay evidencia suficiente al 0.05 de nivel de significancia de que más de 60% de los estudiantes prefiere el nuevo sistema de registro. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población Prueba de hipótesis: Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema. En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de significancia. Solución:

7 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 95% de las veces será menor que 1.645 desviaciones estándar por encima del valor propuesto para p, por lo que el valor del estadístico de prueba z será menor que 1.645. Prueba de hipótesis: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población

8 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población Prueba de hipótesis:

9 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists El alcalde de Savannah quiere saber si los residentes están en favor de construir un puente levadizo para cruzar el río de la ciudad. En una muestra aleatoria de 420 residentes, 228 declaran estar en favor de la construcción. Realiza una prueba de hipótesis con 0.01 de nivel de significancia para determinar si la mayoría de los residentes aprueban que se construya el puente. Solución: 1)H 0 : A lo mucho 50% de los residentes están en favor de construir el puente. H a : Más de 50% de los residentes están en favor de construir el puente. 2)p = la verdadera proporción de residentes que está en favor de construir el puente. 3)La palabra clave en este caso es “más”. Como el alcalde quiere saber si hay más de 50% de residentes en favor del puente, entonces la prueba es de una cola. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población Prueba de hipótesis:

10 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 4)  H 0  : p  0.5 H a  : p  0.5 5)  0.01 6)Como np  5 y n(1 – p)  5 podemos asumir que la distribución de la muestra es aproximadamente normal y usar la prueba z. 7)Como  0.01 y la prueba es de una cola, z   z 0.01  2.33. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población El alcalde de Savannah quiere saber si los residentes están en favor de construir un puente levadizo para cruzar el río de la ciudad. En una muestra aleatoria de 420 residentes, 228 declaran estar en favor de la construcción. Realiza una prueba de hipótesis con 0.01 de nivel de significancia para determinar si la mayoría de los residentes aprueban que se construya el puente. Solución: Prueba de hipótesis:

11 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 8) 9)Como1.76  2.33  z , no se puede rechazar hipótesis nula. 10)No hay evidencia suficiente al 0.01 de nivel de significancia para concluir que hay una mayoría en favor de construir el puente. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población El alcalde de Savannah quiere saber si los residentes están en favor de construir un puente levadizo para cruzar el río de la ciudad. En una muestra aleatoria de 420 residentes, 228 declaran estar en favor de la construcción. Realiza una prueba de hipótesis con 0.01 de nivel de significancia para determinar si la mayoría de los residentes aprueban que se construya el puente. Solución: Prueba de hipótesis:

12 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 99% de las veces será menor a 2.33 desviaciones estándar por encima del valor propuesto para p. Por lo que, el valor del estadístico de prueba z será menor a 2.33. Prueba de hipótesis: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población

13 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Prueba de hipótesis: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. Prueba de hipótesis: La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis: De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis:

14 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Valores p y proporciones: Las reglas para rechazar una hipótesis nula usando el valor p son las mismas que para las medias poblacionales. Si el valor calculado p es menor a , se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa. Si el valor calculado p es mayor a , no se puede rechazar la hipótesis nula. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población

15 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional Objetivos: Realizar una prueba de hipótesis para la desviación estándar o varianza de la población.

16 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definición: La prueba estadística apropiada para una hipótesis sobre la varianza poblacional es la prueba chi-cuadrada, dada por donde Nota: Los pasos para probar la varianza poblacional son idénticos a aquellos para probar las medias y proporciones de una población. La prueba chi-cuadrada requiere asumir que la población tiene una distribución normal. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional Tamaño de la muestra Varianza de la muestra Valor propuesto para la varianza de la población Grados de libertad n-1

17 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Prueba de hipótesis: Una compañía farmacéutica quiere saber si la desviación estándar de la medicina en las pastillas contra el dolor de cabeza es a lo mucho de 0.1 miligramos. En una muestra de 30 pastillas, se encuentra que la desviación estándar es de 0.14 miligramos. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 para determinar si la variación entre el medicamento de cada pastilla es mucha. Asume que la cantidad de medicamento por pastilla tiene una distribución normal. Solución: 1)H 0 : La desviación estándar es a lo mucho de 0.1 miligramos. H a : La desviación estándar es mayor a 0.1 miligramos. 2) n  30, el tamaño de la muestra s  0.14, la desviación estándar muestral  0  0.10, la desviación estándar poblacional apropiada 3)La palabra clave en este caso es “mayor.” Como la compañía necesita determinar si la desviación estándar es mayor a 0.1, la prueba es de una cola. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional

18 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 4) H 0 :  0  0.10H a :  0  0.10 5)  0.01 6)Como se quiere comparar la desviación estándar de la muestra con la de la población, se utilizará la prueba chi-cuadrada. 7)Como  0.01 y la prueba es de una cola, Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional Prueba de hipótesis: Una compañía farmacéutica quiere saber si la desviación estándar de la medicina en las pastillas contra el dolor de cabeza es a lo mucho de 0.1 miligramos. En una muestra de 30 pastillas, se encuentra que la desviación estándar es de 0.14 miligramos. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 para determinar si la variación entre el medicamento de cada pastilla es mucha. Asume que la cantidad de medicamento por pastilla tiene una distribución normal. Solución:

19 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 8) 9) Como se rechaza la hipótesis nula. 10) Hay evidencia suficiente con un nivel de 0.01 de significancia de que la desviación estándar del medicamento en la muestra es mayor a 0.1 miligramos. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional Prueba de hipótesis: Una compañía farmacéutica quiere saber si la desviación estándar de la medicina en las pastillas contra el dolor de cabeza es a lo mucho de 0.1 miligramos. En una muestra de 30 pastillas, se encuentra que la desviación estándar es de 0.14 miligramos. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 para determinar si la variación entre el medicamento de cada pastilla es mucha. Asume que la cantidad de medicamento por pastilla tiene una distribución normal. Solución:

20 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 99% de las veces el valor de  2 con 29 grados de libertad será menor que 49.588. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional Prueba de hipótesis:

21 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis: La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma:

22 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Objetivos: Realizar una prueba de hipótesis para dos medias poblacionales utilizando muestras independientes con una n grande. Realizar una prueba de hipótesis para dos medias de una población utilizando muestras independientes con una n pequeña. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales

23 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definición: Reglas para probar dos medias poblacionales o Si n 1  30 y n 2  30, la distribución muestral de tiene una distribución normal. o o Si las dos muestras son independientes, entonces por el Teorema del Límite Central, el estadístico de prueba está dado por donde z tiene una distribución estándar normal. y pueden ser aproximados con y respectivamente, si n 1  30 y n 2  30. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales

24 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Reglas para comparar dos medias poblacionales o En las pruebas de hipótesis previas, las hipótesis nula y alternativa tenían valores numéricos propuestos para el parámetro poblacional. o En la prueba de hipótesis para dos medias poblacionales, se busca probar que no hay ninguna diferencia entre las dos medias (la diferencia de las medias es 0) o, en otras palabras, las dos medias son iguales. La hipótesis nula para una preuba de dos colas será presentada de la siguiente manera.  1  2  0, y  1  2. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Definición:

25 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace leer algunas páginas del mismo libro. El tiempo que le tomo a los alumnos leerlo se indica en la siguiente tabla. Velocidad de lectura (en minutos) ns Niños4010 3 Niñas 4011 2 Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Prueba de hipótesis:

26 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: 1)H 0 : No hay diferencia entre la velocidad promedio de lectura de los niños y de las niñas. H a : Hay una diferencia entre la velocidad promedio de lectura de los niños y de las niñas. 2) Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace leer algunas páginas del mismo libro. Prueba de hipótesis: número de niños, 40 la velocidad de lectura promedio muestral de los niños, 10 la varianza de la velocidad promedio de los niños, calculada por número de niñas, 40 la velocidad de lectura promedio muestral de las niñas, 11 la varianza de la velocidad promedio de las niñas, calculada por

27 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 3)La palabra clave en este caso es “diferente”. Como buscamos establecer si existe una diferencia entre las medias, la prueba es de dos colas. 4)H 0 :  1  2  0H a :  1  2 ≠  0 5)   0.05 6)Como n 1  30 y n 2  30, podemos asumir que la distribución muestral de está distribuida aproximadamente de forma normal, por lo que podemos utilizar una prueba z. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Solución: Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace leer algunas páginas del mismo libro. Prueba de hipótesis:

28 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 7) Como  0.05 y la prueba es de dos colas, z  /2  z 0.025  1.96. 8) 9) Como no se puede rechazar la hipótesis nula. 10) Con un nivel de confianza de 0.05 no hay evidencia de que la velocidad promedio de lectura entre niños y niñas sea diferente. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Solución: Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace leer algunas páginas del mismo libro. Prueba de hipótesis:

29 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 95% del tiempo el valor del estadístico z se encontrará entre  1.96 y 1.96. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Prueba de hipótesis:

30 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales

31 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definición: Reglas para comparar dos medias poblacionales o Si n 1 < 30 o n 2 < 30 y ambas poblaciones tienen una distribución normal, la distribución muestral de tiene una distribución t. o o Si ambas poblaciones tiene una varianza igual (pero desconocida) entonces el estadístico de prueba está dado por Si la hipótesis nula es verdadera, t tiene una distribución t de n 1  n 2  2 grados de libertad. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales donde

32 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Prueba de hipótesis: Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal. 15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2 años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años, respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para determinar si hay un incremento en la esperanza de vida. Solución: 1)H 0 : La esperanza de vida de las mujeres que asisten a terapia es menor o igual a la de las mujeres que no asisten. H a : La esperanza de vida de las mujeres que asisten a terapia es mayor que la de las mujeres que no asisten. 2) Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales No asisten a terapia, 15 Asisten a terapia,15 Esperanza de vida promedio de las que asisten a terapia, 3.8 Desviación estándar de las que asisten a terapia, 0.6 Esperanza de vida promedio de las que no asisten a terapia, 2 Desviación estándar de las que no asisten a terapia, 0.5

33 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 3)La palabra clave en este caso es “aumentar”. Como estamos tratando de establecer que una media es mayor a otra, la prueba es de una cola. 4)H 0 :  1  2  0H a :  1  2  0 5)   0.05 6) Como n 1 < 30 y n 2 < 30, usaremos la prueba t. Asumimos que la esperanza de vida para mujeres con cáncer terminal está distribuida normalmente y que las varianzas para las que van a terapia y las que no son iguales. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Prueba de hipótesis: Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal. 15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2 años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años, respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para determinar si hay un incremento en la esperanza de vida. Solución:

34 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 7)Como  0.05 y la prueba es de una cola, 8) Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Prueba de hipótesis: Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal. 15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2 años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años, respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para determinar si hay un incremento en la esperanza de vida. Solución:

35 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 9)Como se rechaza hipótesis nula. 10) Hay suficiente evidencia en un nivel de significancia de 0.05 de que la esperanza de vida promedio de una mujer con cáncer terminal que asiste a terapia es mayor a la de aquellas que no asisten. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Prueba de hipótesis: Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal. 15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2 años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años, respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para determinar si hay un incremento en la esperanza de vida. Solución:

36 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 95% del tiempo el valor del estadístico t será menor a 1.701. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales Prueba de hipótesis:

37 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis: De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta.

38 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Objetivos: Realizar una prueba de hipótesis relativa a la diferencia entre dos medias poblacionales usando muestras dependientes. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par

39 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Dependientes – Si los conjuntos de datos están relacionados. También pueden ser llamados como muestras en par o datos emparejados (paired data). Diferencia par – la diferencia entre los valores de cada conjunto de datos es D  x 2 – x 1. Definiciones: Si se sustrae el valor previo al tratamiento del valor posterior al tratamiento, una reducción en el valor sería un número negativo. El signo de desigualdad también se revierte: una “reducción de más de” sería. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par

40 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Estadístico de prueba para medias dependientes: Cuando se calcula la media muestral de una diferencia emparejada, redondea un decimal más que el dado en los datos originales. Si las diferencias están normalmente distribuidas y la hipótesis nula es verdadera, el estadístico de prueba tiene una distribución t y n D – 1 grados de libertad. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par donde es el número de diferencias y es la desviación estándar muestral de las diferencias emparejadas.

41 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Prueba de hipótesis: Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más largo después de haber tomado el alcohol. Los tiempos registrados se presentan en la siguiente tabla. Tiempo de reacción (en segundos) SujetoAntesDespuésDiferencia 10.40.5–0.1 20.5 0.0 30.60.7–0.1 40.40.6–0.2 50.50.6–0.1 60.4 0.0 70.40.5–0.1 80.50.7–0.2 90.60.8–0.2 100.40.5–0.1 Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par

42 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Solución: 1)H 0 : No hay diferencia entre el tiempo de reacción promedio antes y después de tomar una onza de alcohol. H a : El tiempo promedio de reacción es significativamente más largo después de tomar una onza de alcohol.  D  la media poblacional de las diferencias emparejadas en tiempo de reacción. 3)La palabra clave en este caso es “más largo”. Como el investigador está probando que el tiempo de reacción es más largo, es una prueba de una cola. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par Prueba de hipótesis: Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más largo después de haber tomado el alcohol.

43 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 4)H 0 :  D  0H a :  D  0 5)  0.01 6)Como n D  30 se usará una prueba t. Se asume que la distribución de las diferencias es normal. 7)Como  0.01 y la prueba es de una cola. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par Solución: Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más largo después de haber tomado el alcohol. Prueba de hipótesis:

44 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 8) 9) Como se rechaza la hipótesis nula. 10) Al 0.01 existe evidencia significativa de que el tiempo de reacción es más largo después de tomar una onza de alcohol. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par Solución: Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más largo después de haber tomado el alcohol. Prueba de hipótesis:

45 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 99% del tiempo el valor del estadístico t será mayor a -2.821. Prueba de hipótesis: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par

46 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis: La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma:

47 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Objetivos: Realizar una prueba de hipótesis para dos proporciones de la población de muestras independientes con n grande. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población

48 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definición: Reglas para probar dos proporciones poblacionales o Si, la distribución muestral de tiene una distribución normal. o El estadístico de prueba está dado por y z tiene una distribución estándar normal. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población y

49 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Definición: Reglas para probar dos proporciones poblacionales o En las pruebas de hipótesis previas, la hipótesis nula y la alternativa contenían un valor numérico propuesto para el parámetro poblacional. o En la prueba de hipótesis para dos proporciones poblacionales, se busca mostrar que no hay una diferencia en las proporciones (la diferencia de las proporciones es igual a 0) o, en otras palabras, que las proporciones son iguales. La hipótesis nula debe plantearse para una prueba de dos colas en dos formas: p 1  p 2  0, y p 1  p 2. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población

50 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Celulares Defectuosos Muestradefectuosos Planta A2005 Planta B20012 Prueba de hipótesis: Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel de significancia de 0.1. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población

51 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 1)H 0 : No hay diferencia entre las proporciones de celulares defectuosos de las plantas A y B. H a : Hay una diferencia entre las proporciones de celulares defectuosos de las plantas A y B. 2) 3)La palabra clave en este caso es “diferencia.” Como el ejecutivo está buscando una diferencia, la prueba es de dos colas. Prueba de hipótesis: Solución: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel de significancia de 0.1.

52 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 4)H 0 : p 1  p 2 H a : p 1 ≠  p 2 5)   0.10 6)El estadístico de prueba apropiado es z. 7)Como   0.10 y la prueba es de dos colas, z  2  z 0.05  1.645. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población Prueba de hipótesis: Solución: Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel de significancia de 0.1.

53 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists 8) 9) Como se rechaza la hipótesis nula. 10) Hay evidencia suficiente con   0.10 para concluir que hay una diferencia entre las proporciones de celulares defectuosos producidos por las dos plantas. Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población Prueba de hipótesis: Solución: Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel de significancia de 0.1.

54 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Si la hipótesis nula es verdadera, 90% del tiempo el valor del estadístico z se encontrará entre  1.645 y 1.645. Prueba de hipótesis: Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población

55 HAWKES LEARNING SYSTEMS math courseware specialists Temas adicionales de la prueba de hipótesis Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra la zona de rechazo en esta recta. La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente forma: Prueba de hipótesis: