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Realizado por: Luis J. Fernández Gutiérrez del Álamo E.T.S. DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA DIBUJO TÉCNICO Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN.

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1 Realizado por: Luis J. Fernández Gutiérrez del Álamo luije@dermos.upm.es E.T.S. DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA DIBUJO TÉCNICO Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN I

2 HOMOLOGÍA FIN AYUDA TEMA 1. –DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA TEMA 2. –DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS (PUNTO, RECTA) TEMA 3. –DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA (CENTRO, RECTAS LIMITE, EJE) TEMA 4. –DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS (CASOS SINGULARES)

3 INTRODUCCIÓN A LA HOMOLOGÍA TEMA 1 FIN AYUDA Volver ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA 1.1

4 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS TEMA 2 FIN AYUDA Volver HOMÓLOGO DE UN PUNTO A’ DADO 2.2 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R DADA 2.3 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R’ DADA 2.4 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A DADO 2.1

5 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA TEMA 3 FIN AYUDA Volver DETERMINACIÓN DE LA RECTA LÍMITE K’ 3.1 DETERMINACIÓN DE LA RECTA LÍMITE L 3.2 DETERMINACIÓN DEL EJE 3.3

6 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TEMA 4 FIN AYUDA Volver TRAPECIO 4.1 PARALELOGRAMO 4.2 RECTÁNGULO 4.3 ROMBO 4.4 CUADRADO 4.5 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN... UN ÁNGULO DADO 4.6 UNAS DIMENSIONES DADAS 4.7 LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE... EJEMPLO CUADRILÁTERO EN CUADRADO DE DIMENSIONES DADAS TRAPECIO EN CUADRADO DE DIMENSIONES DADAS

7 ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA Lección: 1.1 1.- Todo par de puntos homólogos (a,a') está alineado con el centro de la homología (V) mediante su radiovector Volver FIN DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA V L K' E r r' a a' Centro de homología : V 2.- Todo par de rectas homologas (r,r') se cortan en el eje de la homología (E) Eje de la homología : E 3.- Los puntos del infinito (m') de la segunda figura (r') tienen sus homólogos (m) en la recta límite L Recta límite de la primera figura : L n' n m m' n 3.- Los puntos del infinito (n) de la primera figura (r) tienen sus homólogos (n') en la recta límite K' Recta límite de la segunda figura : K' Siempre se cumple que d(V,L)=d(E,K') y d(V,K')=d(E,L)

8 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A DADO Lección: 2.1 1.- Se traza una recta R cualquiera, que pase por A. Volver FIN DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS V L K' E r r' a a' m m' 2.- Se prolonga hasta cortar al eje en el punto b (coincide con b’ al ser punto doble por estar en el eje) Dado el punto A hallar su homólogo A’ 3.- Se prolonga hasta cortar a la recta límite L en el punto m (m’ estará en el infinito del radiovector de m) 4.- Si la recta R pasa por m y por b, su homologa R’ pasará por b’ y por m’. Se dibuja R’ paralela al radiovector de m, desde el punto b’ b b’ 5.- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la homología, luego uniendo V con A, donde corte a R’ estará a’.

9 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A’ DADO Lección: 2.2 1.- Se traza una recta R’ cualquiera, que pase por A’ Volver FIN DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS V L K' E r’ r a’ m’ m 2.- Se determina el punto b’ donde corte al eje (coincide con b al ser punto doble por estar en el eje) Dado el punto A’ hallar su homólogo A 3.- Se determina el punto m’ donde corte a su recta límite K’ (m estará en el infinito en el radiovector de m’) 4.- Si la recta R’ pasa por m’ y por b’, su homologa R pasará por b y por m. Se dibuja R, paralela al radiovector de m’, desde el punto b. b b’ 5.- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la homología, luego uniendo V con A’, donde corte a R estará a. a m

10 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R DADA Lección: 2.3 1.- Se prolonga la recta R hasta el eje. Volver FIN DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS V L K' E r r' m m' 2.- El punto b, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b’) Dada la recta R hallar su homóloga R’ 3.- Se prolonga la recta R hasta cortar a la recta límite L en el punto m (m’ estará en el infinito en el radiovector de m) 4.- Si la recta R pasa por m y por b, su homologa R’ pasará por b’ y por m’. Se dibuja R’ paralela al radiovector de M desde el punto b’ b b’

11 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R’ DADA Lección: 2.4 1.- Se prolonga la recta R’ hasta el eje Volver FIN DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS V L K' E r’ r m’ m 2.- El punto b’, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b) Dada laq recta R’ hallar su homóloga R 3.- Se determina el punto m’ donde R’ corte a su recta límite K’ (m estará en el infinito del radiovector de m’) 4.- Si la recta R’ pasa por m’ y por b’, su homologa R pasará por b y por m. Se dibuja R paralela al radiovector de m’, desde el punto b b b’ m

12 DETERMINACION DE LA RECTA LÍMITE K’ Lección: 3.1 1.- Se traza una recta r cualquiera que corte al eje y a la recta límite L Volver FIN DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA V L K' E r r' m m' 2.- El punto b, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b’) Dados el eje, el vértice y la recta límite L, determinar la recta límite K’ 3.- El punto m, de corte con L, tiene su homólogo en el infinito (m’ estará en el infinito del radiovector de m) 4.- Se dibuja por b’ la recta r’, paralela al radiovector de m b b’ 5.- Se determina n, punto del infinito de r n 6.- Se dibuja el radiovector de n (paralela a r desde V), en el cual deberá estar n’, cuando se corte con r’. n 7.- En punto n’ pertenece a la recta límite K’ n’

13 DETERMINACION DE LA RECTA LÍMITE L Lección: 3.2 1.- Se traza una recta r’ cualquiera que corte al eje y a la recta límite K’ Volver FIN V L K' E r r' m m' 2.- El punto b’, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b) Dados el eje, el vértice y la recta límite K’, determinar la recta límite L 3.- El punto n’, de corte con K’, tiene su homólogo en el infinito (n estará en el infinito del radiovector de n’) 4.- Se dibuja por b la recta r, paralela al radiovector de n’ b b’ 5.- Se determina m’, punto del infinito de r’ n 6.- Se dibuja el radiovector de m’ (paralela a r’ desde V), en el cual deberá estar m, cuando se corte con r. n 7.- En punto m pertenece a la recta límite L n’ DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA

14 DETERMINACION DEL EJE Lección: 3.3 1.- Se traza una recta r cualquiera que corte a la recta límite L Volver FIN V L K' E r r' m m' 2.- Se determina m, punto de corte con L (su homologo m’ estará en el infinito) Dados el vértice y las dos rectas límite, determinar el eje 4.- El homologo de n, punto n’, estará en el radiovector de n y en la recta limite K’ 5.- Se une n’ con m’, trazando desde n’ una paralela al radiovector de m, determinando así la homologa r’. n n 6.- Donde se corten las rectas r y r’ será un punto doble (pertenecerá al eje) n’ 3.- Se determina n, punto del infinito de r, y se traza su radiovector (paralela a r desde V) DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA

15 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN TRAPECIO Lección: 4.1 Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L 2.- Se prolongan AB y CD hasta encontrar un punto E. En un trapecio, los dos lados opuestos denominados bases, son paralelos 3.- Cualquier homología que tenga la recta límite L pasando por el punto E, será solución. a b c d e 1.- Si A’B’ y C’D’ van a ser la bases, serán paralelas, luego AB y CD deben cortarse en la recta límite L.

16 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN PARALELOGRAMO Lección: 4.2 1.- En el paralelogramo homólogo A’B‘ y C’D’ serán paralelas, luego AB y CD deben cortarse en L. Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L 2.- Se prolongan AB y CD hasta encontrar un punto E, que pertenecerá a L En un paralelogramo los lados son paralelos dos a dos 5.- Se unen E y F, determinando L. 6.- Cualquier homología que tenga esta recta como recta límite L, será solución. a b c d e f 4.- Se prolongan AD y BC hasta encontrar el punto F, perteneciente a L. 3.- En el paralelogramo homólogo A’D‘ y B’C’ serán paralelas, luego AD y BC deben cortarse en L.

17 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN RECTÁNGULO Lección: 4.3 1.- Se determina L como en el caso anterior Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo Un rectángulo es un paralelogramo, con los lados contiguos a 90º a b c d e f 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en dicha circunferencia y la recta límite L sea la dada, será solución. 3.- Se dibujar el arco capaz de 90º del segmento EF (circunferencia con diámetro EF y centro el punto medio) Una de las soluciones posibles V

18 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN ROMBO Lección: 4.4 1.- Se determina L como en el caso anterior Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo Un rombo es un paralelogramo, con las diagonales a 90º a b c d e f 5.- Cualquier homología que tenga el centro V en dicha circunferencia y la recta límite L sea la dada, será solución. 4.- Se dibujar el arco capaz de 90º del segmento MN (circunferencia con diámetro MN y centro el punto medio) 3.- Se prolongan las diagonales AC y DB hasta la recta límite L (determinando M y N). n m Una de las soluciones posibles V

19 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO Lección: 4.5 1.- Se determina L como en el caso anterior Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo Un cuadrado es un paralelogramo, con los lados contiguos a 90º y con las diagonales a 90º a b c d e f 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en uno de los dos puntos comunes a ambos círculos y la recta límite L sea la dada, será solución. 3.- Si además V está en el circulo MN tendrá las diagonales a 90º. 3.- Si además V está en el circulo EF, será un rectángulo. m n V V Las dos soluciones posibles

20 LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE UN ÁNGULO DADO Lección: 4.6 1.- Se prolonga BA hasta determinar E en la recta límite L Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L Se quiere que el ángulo C’A’B’ sea de  grados a b c e f 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en uno de los dos arcos capaces y como recta límite L la dada, será solución. 3.- Si determina los arcos capaces de  grados del segmento EF 2.- Se prolonga CA hasta determinar F en la recta límite L Una de las soluciones posibles V

21 LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE UNAS DIMENSIONES DADAS Lección: 4.7 1.- Se prolonga AB hasta L, determinando F. Volver FIN DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS L 2.- Se dibujan los radiovectores de VA y VB (en ellos estarán A’ y B’ respectivamente). Determinar el eje para que A’D’ mida una longitud D a b f 5.- Desde el extremo de la distancia D, se lleva una paralela a VB 4.- Desde V, sobre VF, se lleva la distancia D. 3.- Se dibuja el radiovector VF (en el infinito de él estará F’). A’B’ será paralelo a él. V f’ D a’ b’ 6.- Donde corte a VA estará A’. 7.- Desde A’ se traza una paralela a VF, encontrando B’ en VB. 8.- Por donde se corten AB y A’B’ pasará el eje, paralelo a la recta límite L. Eje

22 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO DE LADO D Ejemplo: 1 1.- Se prolongan AB y CD para determinar E, y se prolongan AD y BC para determinar F. La recta límite L será la recta EF Volver FIN EJEMPLO L Determinar la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadrado de lado D. De las soluciones posibles se tomará el centro más cercano al borde superior a b c d e f 6.-Se lleva la distancia D sobre VF (VF será paralela a A’D’ y a B’C’) 5.- De los dos puntos de intersección entre ambos arcos, se toma el más cercano al borde superior. 4.- Se dibujan los arcos capaces de 90º del segmento MN m n V D a’ b’ c’ d’ 2.- Se dibujan los arcos capaces de 90º del segmento EF 3.- Se prolongan las diagonales AC y BD para determinar M y N en la recta limite L. 7.-Desde el extremo de la distancia D se lleva paralela a VD, localizando A’ cuando se corte con VA 8.-Por A’ paralela a VF y en VD estará D’. Por A’ paralela a VE y en VB estará B’. Por paralelas se localiza C’ en VC 9.-El eje pasa por donde se cortan CD y C’D’ y es paralelo a L 10.-Por V, paralela a BC hasta cortar a B’C’, determina K’ Eje K’

23 TRANSFORMA UN TRAPECIO ABCD EN UN CUADRADO Ejemplo: 2 1.- Se prolongan AD y BC para determinar E. La recta límite L pasara por E y será paralela a AB y a CD. (Debe pasar por F, intersección impropia entre AB y CD) Volver FIN EJEMPLO Determinar la homología que transforma el trapecio ABCD en un cuadrado de lado D. De las soluciones posibles se tomará el centro más cercano al borde superior a b c d L e n m V D b’ a’ c’ d’ Eje K’ 3.- Se traza la perpendicular a L desde E (es el arco capaz de 90º entre E y F, impropio en el extremo de L), determinando V donde se corta con el arco capaz de EF 4.- Los lados A’B’ y C’D’ serán paralelos a L.. En esa dirección se lleva la distancia D, desde V. f f 2.- Trazando AC y BD se determinan M y N en L. Se dibuja su arco capaz de 90º. 5.- Se encaja A’B’ y por paralelas se determinan C’ y D’ 6.- Donde se corten AD y A’D’ se localiza en punto del eje 7.- Paralela a AD por V, donde se corte con A’D’ se tiene un punto de K’

24 Esta presentación busca servir de ayuda a los estudiantes de 1º de Ingeniería de Minas a la hora de complementar las clases de la asignatura de La primera pantalla de cada tema permite escoger el caso (lección) deseado, seleccionando la opción correspondiente mediante el botón izquierdo del ratón ESTOS EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE NUNCA SUSTITUIRÁN A LOS APUNTES DE CLASE, SOLO INTENTAN SER UN COMPLEMENTO PARA AQUELLAS PERSONAS QUE NO DISPONGAN DE SUFICIENTE BASE. Esta acción te llevará hasta la lección deseada. Primeramente la lección aparece solo con los datos. Se realiza la presentación de la lección pulsando las teclas de Av. Pag y Re.Pag. En cualquier momento se puede volver al inicio del tema pulsando con el ratón sobre el botón Volver. Cuando aparezca el botón FIN, habrá acabado la lección. Pulse botón izquierdo del ratón o Av Pág o Barra espaciadora cuando termine de leer cada párrafo Seleccione esta lección pulsando con el botón izquierdo del ratón FIN Volver ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA 1.1


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