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Algebra lineal. Temario Matemáticas I Programa: Algebra de matrices 1.1 Matrices 1.2 Matrices especiales 1.3 Operaciones con matrices 1.4 Matrices por.

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1 Algebra lineal

2 Temario Matemáticas I Programa: Algebra de matrices 1.1 Matrices 1.2 Matrices especiales 1.3 Operaciones con matrices 1.4 Matrices por bloques

3 Temario Matemáticas I Programa: Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 Algoritmo de Gauss 2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan 2.3 Existencia de soluciones 2.4 Operaciones elementales por filas y matrices elementales 2.5 Factorización LU 2.6 Geometría de ecuaciones lineales

4 Temario Matemáticas I Programa: Determinantes 3.1 Definición 3.2 Propiedades 3.3 Determinantes e inversas 3.4 Regla de Cramer 3.5 Determinantes y matrices por bloques 3.6 Interpretación geométrica

5 Temario Matemáticas I Programa: Espacios vectoriales Elementos de álgebra abstracta Grupos Todo sobre homomorfismos Anillos Campos 4.1 Espacios vectoriales 4.2 Subespacios vectoriales 4.3 Combinaciones lineales 4.4 Dependencia e independencia lineal 4.5 Base y dimensión 4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz 4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales 4.8 Cambio de base 4.9 Espacio cociente 4.10 Sumas y sumas directas

6 Temario Matemáticas I Programa: Espacios vectoriales con producto interno 5.1 Producto interno 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados

7 Temario Matemáticas I Programa: Transformaciones lineales 6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales

8 Temario Matemáticas I Programa: Valores propios y vectores propios 7.1 Definición y propiedades 7.2 Teorema de Cayley-Hamilton 7.3 Diagonalización de matrices

9 Temario Matemáticas I Programa: Formas canónicas 8.1 Forma canónica de Jordan 8.2 Forma canónica racional Descomposición en valores singulares Pseudoinversa Funciones de matrices Matrices definidas positivas

10 Temario Matemáticas I Bibliografía B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra, Prentice Hall. S. Grossman, Linear algebra, McGraw Hill. F.R. Gantmacher, Matrix Theory, Chelsea Publishing Co. G. Strang, Linear algebra and its applications, Harcourt Brace Jovanovich Publishers. S. Lipschutz, Algebra lineal, McGraw Hill.

11 Meta y objetivo Uso indiscriminado del álgebra lineal en el modo de pensar del ingeniero

12 1. Algebra de Matrices 1.1 Matrices 1.2 Matrices especiales 1.3 Operaciones con matrices 1.4 Matrices por bloques

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19 Matrices por bloques a11a12a13a14 a21a22a23a24 a31a32a33a34 a41a42a43a44 b11b12 b21b22 b31b32 b41b42

20 Matrices por bloques A 11 A 12 A 21 A 22 B 11 B 21 A 11 B 11 +A 12 B 21 A 21 B 11 +A 22 B 21

21 En este momento… Ya sabemos operar con matrices

22 2. Sistemas de Ecuaciones 2.1 Algoritmo de Gauss 2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan 2.3 Existencia de soluciones 2.4 Operaciones elementales por filas y matrices elementales 2.5 Factorización LU 2.6 Geometría de ecuaciones lineales

23 Sistema de ecuaciones lineales a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n =b 1. a n1 x 1 +a n2 x a nn x n =b n

24 Sistema de ecuaciones lineales 2x 1 +3x 2 =2 x 1 +x 2 =3 x 2 =2/3-(2/3)x 1 x 2 =3-x 1 3-x 1 =2/3-(2/3)x 1 3-2/3 =x 1 -(2/3)x =0.333x 1 x 1 =7 x 2 =-4

25 Sistema de ecuaciones lineales 2x 1 +3x 2 =2 x 1 +x 2 =3 x 2 =2/3-(2/3)x 1 x 2 =3-x 1 (7,-4)

26 Algoritmo de Gauss 2x 1 +3x 2 =2 x 1 +x 2 = x1x1 x2x2 = 2 3

27 Algoritmo de Gauss x1x1 x2x2 = x1x1 x2x2 = 2 3 1/ x1x1 x2x2 = x1x1 x2x2 = x1x1 x2x2 =

28 Algoritmo de Gauss x1x1 x2x2 = = / = InversaOriginal

29 Notas Si el sistema tiene soluciones Consistente Si el sistema no tiene soluciones Inconsistente Cada ecuación es la ecuación de una recta. Si todas las rectas se intersectan en al menos un punto, el sistema es consistente, caso contrario es inconsistente Operaciones elementales multiplicar un renglón por una constante diferente de cero; intercambiar renglones; sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón Definición. Se dice que una matriz de n*n es una matriz elemental si es posible obtenerla a partir de la matriz identidad In de n*n mediante una sola operación elemental en los renglones

30 Notas En el método de Gauss sólo se utilizaron matrices elementales

31 Inversa de una matriz x1x1 x2x2 = x1x1 x2x2 = Si se tiene la inversa...

32 Inversa de una matriz La inversa de una matriz cuadrada A se define como la matriz B que: AB=BA=I y se denota como A -1 Teorema. Si B Y C son invesras de A, entonces B=C Demo. BA=I (BA)C=IC (BA)C=B(AC)=BI=B=C

33 Inversa de una matriz Teorema. Si A y B tienen inversa y son del mismo tamaño, entonces a)AB tiene inversa b)(AB) -1 =B -1 A -1 Demo Demostrar que: (AB)(B -1 A -1 )=(B -1 A -1 )(AB)=I (AB)(B -1 A -1 )=A(BB -1 )A -1 =AIA -1 =I (B -1 A -1 )(AB)=B -1 (AA -1 )B=I

34 Inversa de una matriz Notar que una matriz elemental tiene inversa. Esto es cierto ya que es una operación elemental por la matriz identidad. Definición. Si A=E 1 E 2...E n B con Ei elementales, entonces A es equivalente a B por renglones Teorema. Si A es una matriz cuadrada, entonces las siguientes afirmaciones son ciertas: a) A tiene inversa b) AX=0 únicamente tiene la solución trivial c) A es equivalente por renglones a I

35 Inversa de una matriz Demo a) b) Si A tiene inversa AX=0 A -1 AX=A -1 0=0 X=0 es la única solución b) c) AX=0, donde la única solución es X=0 se puede llevar por Gauss a la forma IX=0, pero para llevar a esta forma se tienen que utilizar matrices elementales, i.e. E n E n-1...E 1 A=I, como las Ei tienen inversa, entonces E 1 -1 E E n -1 I=A c) a) Como A es quivalente a I, entonces E 1 -1 E E n -1 I=A, y por tanto A -1 = E n E n-1...E 1 I

36 En este momento… Ya resolvemos sistemas de ecuaciones y conocemos cosas de la inversa.

37 3. Determinantes Determinantes 3.1 Definición 3.2 Propiedades 3.3 Determinantes e inversas 3.4 Regla de Cramer 3.5 Determinantes y matrices por bloques 3.6 Interpretación geométrica

38 Permutaciones Conjunto n={1,2,...,n}, el conjunto de las permutaciones de n es Sn. Una permutación Sn se escribe como 1234 (1) (2) (3) (4)

39 Composición = = = =

40 Inversas = -1 =

41 Transposición = Todos permanecen iguales, excepto dos que se intercambiaron

42 Ciclos = (1)=4, (4)=1 -- (2)=6, (6)=5, (5)=3, (3)= =(1 4) ( ) Toda permutación se puede escribir como el producto de ciclos

43 Ciclos Chequen lo siguiente. Todo ciclo se puede escribir como un producto de transposiciones ejemplo ( )=(2 1)(3 1)(5 1)(4 1) No es única, pero todas las representaciones son pares o impares en el número de transposiciones una permutación es par o impar. Definición. El signo de una permutación es (+) 1 si es par (-1) si es impar

44 Determinante A=[aij] de n*n, el determinante de A se define como: Det(A)= a 1 (1) a 2 (2)...a n (n)

45 Determinante Ejemplo. Sea A una matriz de 3*3, entonces S3 tiene 6 elementos (3!) Las permutaciones de arriba son pares, las de abajo impares. Det(A)=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 12 a 21 a 33 -a 13 a 22 a 31 -a 11 a 23 a 32

46 Propiedades R1 … Ri+Rj … Rn

47 En este momento… Entendemos lo que es el determinante

48 4. Espacios vectoriales

49 Espacios vectoriales Elementos de álgebra abstracta Grupos Todo sobre homomorfismos Anillos Campos

50 Algebra abstracta Grupo: G(S,+) S Conjunto de elementos + Operación binaria a+b=c, a,b,c S Existe e S, a+e=e+a=a Existe a -1 S a -1 +a=e

51 ¿Es grupo? ¿Los naturales con +, *? ¿Z 4, +?, ¿Z 4, *? ¿Los reales con +, *? ¿Los racionales con +, *?

52 Homomorfismos Dos grupos (S 1,+), (S 2,*) H:S 1 S 2 H(a+b)=H(a)*H(b) H(e 1 +e 1 )=H(e 1 )+H(e 1 )= H(e 1 )= e 2 *H(e 1 ) H(e 1 )*[H(e 1 ) -1 ]= e 2 *H(e 1 )* H(e 1 ) -1 =e 2 H(e 1 )= e 2

53 Propiedad H(x -1 )=[H(x)] -1 H(x)+ H(x -1 )=H(x+x -1 )=H(e 1 )=e 2 H(x -1 )=[H(x)] -1

54 Imagen Im(H)={y|H(a)=y, a S 1 } Son elementos de S 2

55 Kernel Ker(H)={x|H(x)=e 1 } son elementos de S 1

56 El kernel es una medida de la inyectividad de la función Suponer que H(x)=H(y) H(x)+[H(y)] -1 =e 2 H(x+y -1 )=e 2 si y -1 x -1 hay más de un elemento en el kernel de H y por lo tanto no es inyectiva H.

57 La imagen es grupo Sean a,b Im(H). a+b=H(x)+H(y)=H(x+y) a+b también está en la imagen de H. H(e 1 )=e 2 la identidad está en la imagen Si a está en Im(H) H(x)=a H(x -1 ) es el inverso de a.

58 El kernel es grupo Sean a,b Ker(H). a+b=H(a)+H(b)=e2+e2 H(a+b)=e2 a+b también está en el kernel de H. H(e 1 )=e 2 la identidad está en el kernel Si a está en Ker(H) H(a)=e 2 H(a+a -1 )=H(a)+H(a -1 )=e 2 +e 2 a -1 está en el kernel

59 Subgrupos Si G=(S,+) es un grupo, entonces H=(R,+) es un subgrupo de G ssi H=(R,+) tiene las características de un grupo. R es un subconjunto de S

60 Coconjuntos Si H=(R,+) es un subgrupo de G entonces para todo a elemento de G, el conjunto aH es llamado el coconjunto izquierdo de a debido a H.

61 Coconjuntos El conjunto de todos los coconjuntos de un grupo G debido a un grupo H es llamado el grupo cociente G/H debido a que tiene las propiedades de un grupo Cada coconjunto de G/H es denotado como [a] (el elemento que le dió origen, H está fijo)

62 Coconjuntos Lo primero que hay que notar es que se puede establecer la siguiente relación de equivalencia a~b ssi a -1 +b pertenece a H a~a a está en aH, a -1 +a=e, como en H está la identidad, entonces en aH está a

63 Coconjuntos Si a~b entonces b~a a -1 +b está en H (a -1 +b) -1 está en H b -1 +a está en H Además b está en aH a -1 +b está en H y e está en H y a está en aH a -1 +b=h a+a -1 +b=a+h b=a+h, i.e. es un elemento de aH

64 Coconjuntos Si a~b y b~c entonces a~c a está en H a -1 b, b -1 c H a -1 c H Además c está en aH, Claro…

65 Coconjuntos Como vemos, la relación anterior particiona el conjunto S del grupo G=(S,+). A su vez, cada partición es igual a un coconjunto de G/H, entonces los coconjuntos particionan a G/H si b aH existe x H, tal que ax=b aH a -1 ax=a -1 b=x H

66 Recordatorio TEOREMA. Sea L una partición del conjunto X. Defínase xRy si x, y S para algún S L. Entonces R es reflexiva, simétrica y transitiva.

67 Recordatorio Demo. Sea x X. Como X = L, x S para algún S L. Entonces xRx y R es reflexiva. Sup. xRy. Entonces x e y pertenecen a un S L. Como y y x pertenecen a S, yRx R es simétrica. Sup. xRy e yRx entonces x, y S L. y, z T L. Si S T y S z T pero L es disjunta por pares no es posible; entonces S = T x y z S xRz; R es transitiva.

68 Recordatorio TEOREMA. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a X, sea [a] = {x X xRa} entonces L = {[a] a X} es una partición de X Demo Para verificar que L es una partición de X i) X = L ii) L es una familia disjunta por pares

69 Recordatorio Sea a X; como aRa a [a]; entonces X = L > Dem que si aRb [a] = [b] - Sup aRb. Sea x [a], entonces xRa. Como aRb y R es transitiva xRb. x [b] y [a] [b]. - Sup bRa. Sea x [b], entonces xRb. Como bRa y R es transitiva, xRa. x [a] y [b] [a] > Sup [a], [b] L con [a] [b]. Probar [a] [b] =. - Sup para algún x, x [a] [b], entonces xRa y xRb, entonces [x]=[a] y [x]=[b]; consecuentemente [a]= [b]: contradicción [a] [b] = y L es disjunta por pares.

70 Grupos En el grupo G/H el elemento [e] funciona como la identidad. [e]+[a]=[a]+[e]=[a] al menos el elemento e+a está en la suma, pero este elemento está en [a] El inverso de [a] es [a -1 ], al sumar a+a -1 se genera el elemento e y por tanto [e] Además es cerrado

71 Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:X Y una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma: x1~x2 ssi A(x1)=A(x2) Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia. Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1 x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-

72 Significado geométrico de esta relación x2 x1 x4 x3 x6 x5 y4 y3 y2 y1 Observe que hay tantos clusters como imágenes de A clusters X Y Podemos hacer el conjunto de los clusters Imagen de A

73 Significado geométrico de esta relación (A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos) clusters c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A

74 Significado geométrico de esta relación X/Ker A c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva. A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las fibras de A.

75 c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] X Y X/Ker A Aquí está A Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker A Im(A)] Significado geométrico de esta relación

76 c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] X Y X/Ker A Aquí está A Significado geométrico de esta relación Proposición. Sea A:X Y y sea P A :X X/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker A im(A) tal que A=g P A, donde g es una biyección. PAPA

77 Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=P A (x). Se afirma que g(z) es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y 1 ), (z,y 2 ) g. Entonces y 1 y 2. Por la definición de g se tiene: z= P A (x 1 ), y 1 =A(x 1 ) y además z= P A (x 2 ), y 2 =A(x 2 ) Como P A (x 1 ),= P A (x 2 ) implica que A(x 1 )= A(x 2 ) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y Por tanto g(z) si es función.

78 Demostración Ahora veremos que g es una biyección. g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z,y) g Entonces z z Entonces z=P A (x) y z=P A (x) Además A(x)=A(x)=y. Como tienen la misma y, entonces P A (x)=P A (x), una contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker A Im(A), sólo abarca las imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre. Como es inyectiva y sobre, es una biyección.

79 Demostración Por definición A=g o P A

80 Significado geométrico de esta relación,... Y ahora Definición. Se dice que una relación R1 refina (es más fina) a R2 y se escribe R1 R2 si (x,y) R1 entonces (x,y) R2. En otras palabras, todo coconjunto de R1 es un subconjunto de algún coconjunto de R

81 Ahora se generalizarán estos conceptos Proposición. Sea f:X Y y sea una partición del conjunto X, donde Ker f. Entonces existe un único mapa g:X/ Y tal que f=g P. En pocas palabras, dice que si existe una partición más fina que la que deja la función, entonces es posible recuperar la informa- ción de la función vía la partición más fina (que en este caso se llama ). Significado geométrico de esta relación

82 X 0 1 Y Aquí está f Aquí está Ker f (son los círculos que forman las clases de equivalencia) Significado geométrico de esta relación

83 X 0 1 Y Aquí está f Aquí está (son los rectángulos que forman las clases de equivalencia), Se puede ver que Ker f Significado geométrico de esta relación

84 X 0 1 Y Aquí está f e1=[ ] e2=[ ] Aquí está P f Significado geométrico de esta relación

85 X 0 1 Y Aquí está f e1=[0 4 8] e2=[1 5 9] e3=[2 6] e4=[3 7] e1=[ ] e2=[ ] Aquí está P Aquí está P f Significado geométrico de esta relación

86 X 0 1 Y Aquí está f e1=[0 4 8] e2=[1 5 9] e3=[2 6] e4=[3 7] e1=[ ] e2=[ ] Aquí está P Aquí está P f Aquí está g Significado geométrico de esta relación

87 Demostración 1. Definir g(z)=f(x) ssi z=P (x). Además para cada z k ={xi|xi Ai } existe una clase [x i ]={x i |f(x i )=y} donde z k [x i ] 2. como Ker f, entonces [x i ] puede ser particionado en z 1,...,z n 3. g es una función. a. Como z k pertenece a algún [x i ], entonces este g(z k ) será igual a f(x i ), o sea todo elemento de X/ será asociado con un valor en Y. X/ está cubierto. b. Si (z k,y i ), (z k,y j ) g, implica que z k [x i ] y z k [x j ], pero por 2) esto no es cierto, por lo tanto cada z k se asocia con uno y sólo un valor de Y. Significado geométrico de esta relación

88 Demostración Por la definición de g, se tiene que f(x)=g P (x) Suponer que existe g(z) tal que f=g P Sea x X g(P (x)) =f(x)= g(P (x)) entonces g=g. Significado geométrico de esta relación

89 Proposición. Sea f:X Y y g:X Z y sea Ker f Ker g. Entonces existe un mapa h:Z Y tal que f=h g. Más aún, h está solamente definida en la imagen de g; esto es la restricción h|g(X). Intuitivamente dice que la imagen de g deja suficiente información para poder relacionar cada elemento de Z con uno y sólo uno de Y. Significado geométrico de esta relación

90 X X/Ker f Aquí está f Aquí está P f Hay una función isomórfica e1 e2 0 1 Y Significado geométrico de esta relación

91 e1 e2 e3 e X Z X/Ker g Aquí está g Aquí está P g Hay una función isomórfica Significado geométrico de esta relación

92 X El Ker f Ker g Significado geométrico de esta relación

93 e1 e2 e3 e X Z X/Ker f Aquí está f e1 e2 0 1 Y X/Ker g Aquí está g Aquí está h Significado geométrico de esta relación

94 Demostración h(z)=f(x) ssi z=g(x) [x i ]={x i |f(x i )=y}; como Ker f Ker g implica que [xi] puede ser particionado en z 1,...,z n tal que g(x i ) =z i y por tanto h(z i )=y. Por la definición, h está definida en la imagen de g. Como en el caso anterior h asigna a cada z i un único valor en Y. Por la definición de h se tiene que h(g(x)=f(x). Se ve que se cumple, ya que como Ker f Ker g, un x g -1 (z i ) x f -1 (y) Significado geométrico de esta relación

95 Demostración Suponer que existe h(z) tal que f=h g Sea x X h(g(x)) =f(x)= h(g(x)) entonces h=h. Significado geométrico de esta relación

96 Proposición. Si, son dos particiones tal que, entonces existe una única función f:X/ X/ tal que P =f P. Significado geométrico de esta relación

97 X X X La partición Significado geométrico de esta relación

98 X e1 e2 e3 e4 X/ e1 e2 X/ Aquí está P Significado geométrico de esta relación

99 X e1 e2 e3 e4 X/ e1 e2 X/ Aquí está P Aquí está f Significado geométrico de esta relación

100 Congruencias de sistemas dinámicos Un sistema dinámico sobre un conjunto X es un mapa :X X con la siguiente interpretación. Los elementos x X son llamados estados y es llamada función de transición de estados. k es la k-ésima composición de s

101 Congruencias de sistemas dinámicos Sea una partición de X con proyección canónica P :X X/. es una congruencia para si existe un mapa : X/ X/ tal que: P = P P P XX X/Ker

102 Congruencias de sistemas dinámicos Recordando resultados previos es una congruencia de ssi Ker P Ker (P ) P P X/Ker X X

103 Anillos Un anillo R=(S,+,*) es un conjunto con dos operaciones binarias. (S,+) es un grupo conmutativo (grupo abeliano) (S,*) es un semigrupo (se le pide cerrado, pero no unidad ni inversas)

104 Anillos En un anillo se deben cumplir las propiedades distributivas a*(b+a)=a*b+a*c (b+c)*a=b*a+c*a

105 Anillos En un anillo elemento identidad de (S,+) será denotado como 0. Si (S,*) forma un grupo para sus elementos no 0, es llamado anillo de división.

106 Anillos Un anillo de división, (S,*) si es conmutativo será llamado Campo

107 Anillos Por ser anillo se tiene a0=0a=0 a0=a(0+0)=a0+a0 a0+(-(a0))=a0 0=a0 a(-b)=-(ab)=(-a)b 0=a0=a(b+(-b))=ab+a(-b) -ab=a(-b) a(b-c)=ab-ac a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac

108 Espacios vectoriales Subespacios vectoriales Combinaciones lineales Dependencia e independencia lineal Base y dimensión

109 Espacios vectoriales Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos llamados vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-x=0

110 Espacios vectoriales Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x 1 la unidad multiplicativa del campo

111 Espacios vectoriales ejemplos

112 Espacios vectoriales Teorema 0v=v0=0 0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el resultado

113 Subespacio Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V

114 Subespacio ejemplos

115 Creación de espacios Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+ nvn, donde i son elementos del campo (S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos

116 Creación de espacios Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1, S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de Q S tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?

117 Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. El vector y= 1v1+ 2v nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.

118 Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+ 2v nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.

119 Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.

120 Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación: [v1 v2... vn] = n

121 Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1...vn] es de rango n entonces tiene solución única Si la matriz [v1... vn] es de rango menor a n, entonces tiene más de una solución.

122 Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase

123 Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2,...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)

124 Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes espacios

125 Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de los vectores x 1,...,x r ; y xi es una C.L. de los vectores y 1,...,y s. Entonces z es una C.L. de los vectores y 1,...,y s. z=a 1 x a r x r z=a 1 (b 11 y b 1s y s )+...+a r (b r1 y b rs y s ) Es una propiedad de transitividad

126 Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x 1,...,x n son L.D. Suponer que x 1,...,x k (k

127 Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1,..., vn} es un conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros. Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v= 1 v1+ 2 v n vn, a donde n Es la representación del vector Coordenadas

128 Bases, Dimensión y coordenadas Ejemplos de representación de vectores

129 Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. La representación del vector es única v= 1v1+ 2v nvn= 1v1+ 2v nvn ( 1- 1)v ( n- n)vn=0 base L.I. entonces la única solución es cero ( i- i)=0 i= i

130 Bases, Dimensión y coordenadas Notita. El teorema anterior es cierto si dice que z=a 1 x a k x k los ai son únicos ssi los xi son L.I.

131 Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial. Dos subespacios de (V,F); (V1,F) y (V2,F) se dicen equivalentes si los vectores de uno se pueden escribir como C.L. del otro y viceversa.

132 Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Suponer que B={v1,...,vp} es una base para (V,F) y suponer que D={u1,...,uq} es un subconjunto L.I. en (V,F), entonces q p Demostración. Como B es una base, entonces ui D,(V,F) se puede expresar como una C.L. de B

133 Bases, Dimensión y coordenadas S1={u1,e1,...,ep} es L.I. Existe un vector que es C.L. de los anteriores, digamos que es ei. Por transitividad el resto {u2,...,uq} es una C.L. de S1-{ei} y se puede aplicar el mismo procedimiento Como se observa el procedimiento no puede eliminar todos los vp vectores antes de que los ui vectores se hayan agotado y q p.

134 Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Número de vectores en la base. Suponer que para un espacio (V,F) se tiene una base con p vectores. Entonces todas las bases tienen p vectores. Demo. Aplicar teorema anterior suponiendo que se tiene otra base con q vectores. q p. Aplicar partiendo de la base con q vectores p q q=p.

135 Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Al número de vectores en la base de un espacio (V,F) se le llama dimensión de (V,F). En especial, todos los subespacios equivalentes también tienen un conjunto de vectores que lo generan (ya que son un espacio en sí) y se tiene una base y por tanto también tienen su dimensión. En tal caso es más adecuado hablar de rango que de dimensión, ya que podemos hablar de un subespacio en R 3, pero de rango 2. A su vez, a la dimensión del espacio completo se le puede llamar rango, pero es mejor hablar de dimensión.

136 Bases, Dimensión y coordenadas El espacio R n tiene timensión n. Si la dimensión de un espacio es p cualquier conjunto con s vectores s>p es L.D. En efecto, la base tiene p vectores y el resto será una C.L. de la base.

137 Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Un espacio tiene dimensión finita k ssi k es el maximo número de vectores que se pueden obtener en el espacio. Demo. Si la dimensión es k la base tiene k vectores son L.I. y cualquier otro es una C.L. de la base (ya no es L.I.). Si el máximo número de vectores L.I. es k estos generan todo el espacio y por tanto es una base k es la dimensión.

138 Bases, Dimensión y coordenadas Ok, regresemos a la representación de vectores B1={ } =

139 Bases, Dimensión y coordenadas El mismo vector en otra base B2={ } =

140 Bases, Dimensión y coordenadas Si el mismo vector se puede representar en diferentes bases, ¿se podrá transformar de una en otra? =

141 Bases, Dimensión y coordenadas = Matriz de cambio de base de B1 a B2

142 Bases, Dimensión y coordenadas El concepto fácilmente se puede generalizar a cualquier par de bases Lo que es más chido... (P [x] 2,R) una posible base es B={1, x, x 2 } v1=1 en la base 1 0 0

143 Bases, Dimensión y coordenadas v2=x en la base v3=x

144 Bases, Dimensión y coordenadas v4=1-x v5=3+x v6=-2+2x+x 2 v7=2+3x+7x 2 ¿Son L.I.? ¡¡¡Todo cambia a matrices!!!

145 Espacios vectoriales Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz Ecuaciones lineales y espacios vectoriales Cambio de base Espacio cociente Sumas y sumas directas

146 Pausa: Cosas de una Matriz Kernel. Todos los x tales que Ax=0 Kernel={x|Ax=0} Se puede hablar de dos kerneles, el izquierdo y el derecho KerI={y|y T A=0} KerD={x|Ax=0}

147 Pausa: Cosas de una Matriz Imagen Todos los y que son obtenidos de A multiplicado por un vector Imagen={y|Ax=y}

148 Pausa: Cosas de una Matriz Teorema (operaciones columna y dependencia lineal). Suponer que una secuencia de operaciones elementales por renglón transforma la matriz A en la matriz B, entonces: Una colección de columnas de A es linealmente dependiente (independiente) ssi la collección correspondiente de columnas de B es linealmente dependiente (independiente). Una matriz renglón puede ser escrita como una combinación lineal de (esto es linealmente dependiendte de) todos los renglones de A ssi puede ser escrita como una combinación lineal de todos los renglones de B.

149 Pausa: Cosas de una Matriz Demostración caso 1.- Sea F=E 1 E 2...E n la secuencia de matrices elementales que realizan las operaciones elementales que transforman a A en B. F tiene inversa=no singular FA=B Fx=0 x=0 (solución única) Si las columnas de A son L.D. entonces 1 a a n a n =A[ ] FA[ ]=B[ ] Si A es LD hay muchas combinaciones

150 Pausa: Cosas de una Matriz que dan cero esas mismas combinaciones en B dan cero y sus columnas son LI. Si A tiene una sola combinación que da cero, entonces en B será la única posibilidad de dar cero, ya que sólo es este caso FA[ ]=0 Apliquemos esto a cualquier colección de columnas de A y se tendrá la demostración de la primera parte. Demostración caso 2.- Un matriz renglón y es una CL de los renglones de A ssi y=xA para alguan matriz renglón x, pero y=xF -1 FA=xB, para x=xF -1

151 Pausa: Cosas de una Matriz como FA=B; y y=x´B ssi y es una CL de los renglones de B.

152 Pausa: Cosas de una Matriz Veamos más a fondo el método de Gauss

153 Pausa: Cosas de una Matriz Veamos más a fondo el método de Gauss /35/ /3-23/3

154 Pausa: Cosas de una Matriz Veamos más a fondo el método de Gauss /3-5/ /3-23/ /35/

155 Pausa: Cosas de una Matriz Matriz Forma de Gauss Columnas dominantes

156 Pausa: Cosas de una Matriz Matriz Forma de Gauss Columnas dominantes

157 Pausa: Cosas de una Matriz Matriz Forma de Gauss Columnas dominantes

158 Matrices 1. Por intercambio de renglones hacer que el elemento (1,1) sea diferente de cero. 2. Si no es posible es porque toda la columna 1 es igual a cero, tacharla y tratar de hacer lo mismo para la submatriz generada 3. El proceso se repite hasta tener un elemento diferente de cero.

159 Matrices 4. Todo el renglón se divide entre el elemento diferente de cero y se procede a hacer cero el resto de los elementos de esta columna de acuerdo al método de Gauss

160 Matrices 5. Una vez hecho esto se tacha el renglón y se obtiene una nueva submatriz 6. Con esta nueva submatriz se procede desde el punto 1) 7. El resultado es la matriz en la forma de Gauss

161 Matrices Si se tiene un renglón diferente de cero, entonces a la primer columna diferente de cero se le llamará dominante o líder.

162 Pausa: Cosas de una Matriz Teorema (matrices reducidas y dependencias) Suponer que G es una matriz en la forma de Gauss y de rango k a) El conjunto de las k columnas líderes es linealmente independiente b) Cualquier columna a la izquierda de la primera columna líder es una columna cero. Cualquier columna a la izquierda de la i-ésima columna líder es combinación lineal de las anteriores columnas líderes.

163 Pausa: Cosas de una Matriz Definición.- Sea A una matriz de p*q a) El espacio columna de A es el subespacio que es generado por el conjunto de columnas de A b) El espacio renglón de A es el subespacio generado por los renglones de A.

164 Pausa: Cosas de una Matriz Poner ejemplos Dar las condiciones para que el sistema tenga solución. Ax=b

165 Pausa: Cosas de una Matriz Teorema. Sea una matriz A de rango k. Entonces a) El espacio columna de A tiene diemnsión k. Una base son las columnas líderes. b) El espacio renglón es de dimensión k, una base son los renglones diferentes de cero. c) Una matriz p*p es no singular si sus columnas son LI rango p d) Una matriz p*p es no singular si sus renglones son LI rango p

166 Matrices Corolario Rango por columnas = rango por filas Teorema (espacios renglón iguales). Sea A1 y A2 matrices de tamaño r*q y s*q respectivamente. El espacio renglón de A1 es igual al espacio rengloón de A2 ssi los renglones no cero de las matrices de Gauss coinciden.

167 El maldito Kernel otra vez Definición: Sea f:X Y una función de X a Y. Con f se asocia una relación de equivalencia llamada equivalencia kernel de f y se denota por Ker f y está definida como sigue: x1,x2 X, x1~x2 ssi f(x1)=f(x2) (mostrar que sí es una relación de equivalencia y por tanto particiona a X)

168 Por qué se le llama equivalencia kernel Sucede que en el caso de homomorfismos si f(x1)=f(x2) f(x1)-f(x2)=0 f(x1-x2)=0, i.e. x1-x2 está en el kernel de f. Claramente una matriz A puede ser considereda como una función (y aún más, un homomerfismo, chequen en clase esto y verán que si la hace). Entonces el kernel que definimos de A es consistente con el kernel en homomerfismos y sucede que:

169 Por qué se le llama equivalencia kernel El kernel de A es un subespacio La imagen de A es un subespacio Ya qué no saben qué, A/ker A es un espacio y se le llama espacio cociente.

170 Entendamos bien esto, que está demasiado fácil, salvo la primera vez Encontrar Kernel, imagen (range, no rank), A/Ker A de la siguiente matriz A. 1 1

171 Sistemas Lineales III: Control Geométrico-1.8 Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:X Y una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma: x1~x2 ssi A(x1)=A(x2) Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia. Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1 x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-

172 Significado geométrico de esta relación x2 x1 x4 x3 x6 x5 y4 y3 y2 y1 Observe que hay tantos clusters como imágenes de A clusters X Y Podemos hacer el conjunto de los clusters Imagen de A

173 Significado geométrico de esta relación (A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos) clusters c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A

174 Significado geométrico de esta relación X/Ker A c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva. A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las fibras de A.

175 c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] X Y X/Ker A Aquí está A Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker A Im(A)] Significado geométrico de esta relación

176 c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] X Y X/Ker A Aquí está A Significado geométrico de esta relación Proposición. Sea A:X Y y sea P A :X X/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker A im(A) tal que A=g P A, donde g es un isomorfismo. PAPA

177 Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=P A (x). Se afirma que g(z) es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y 1 ), (z,y 2 ) g. Entonces y 1 y 2. Por la definición de g se tiene: z= P A (x 1 ), y 1 =A(x 1 ) y además z= P A (x 2 ), y 2 =A(x 2 ) Como P A (x 1 ),= P A (x 2 ) implica que A(x 1 )= A(x 2 ) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y Por tanto g(z) si es función.

178 Demostración Ahora veremos que g es un isomorfismo. g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z,y) g Entonces z z Entonces z=P A (x) y z=P A (x) Además A(x)=A(x)=y. Como tienen la misma y, entonces P A (x)=P A (x), una contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker A Im(A), sólo abarca las imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre. Como es inyectiva y sobre, es un isomorfismo.

179 Demostración Por definición A=g o P A

180 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Si los conjuntos tienen estructura matemática, p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A resulta ser un operador lineal. Ax1=Ax2 es la relación Ker A. Un caso particular es para la imagen cero. En este caso todos los x, tales que Ax=0 formarán una clase de equivalencia. Las demás clases de equivalencia las obtendremos al estudiar las otras imágenes de A. Sin embargo, este proceso puede resultar muy lento, sobre todo porque Y tiene un número infinito de elementos. Una forma más adecuada es estudiarlos a través de la clase de equivalencia del 0 [0].

181 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Por ejemplo, si queremos estudiar el caso para la imagen y, entonces debemos encontrar todos los x tales que Ax=y. x1, x2 [x], Ax1=Ax2=y, entonces A(x1-x2)=0. Entonces si x1 [x], se tiene que x2 [x] ssi (x1-x2) [0]. Como la clase [0] es un subespacio de X De hecho si Ax=0 y Ay=0, entonces A(x+ y)=0 y por tanto es un subespacio entonces (x1-x2) span[0], o (x1-x2) = 1 e e n e n Si x1 está fijo, entonces x2= x1- 1 e e n e n (1) Como con la clase de equivalencia [0] se generan todas las demás, a está clase la llamaremos genéricamente Kernel de A.

182 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Como se observa, la ecuación (1) es un método para calcular todas las clases de equivalencia [x2]. Se puede ver que es un un espacio vectorial (el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier vector de la clase). A esta clase de equivalencia, y sólo cuando hablamos de operadores lineales en espacios vectoriales, le llamaremos una variedad lineal. No es un espacio, ya que en general, el cero no está incluído en dicha variedad, pero si será un espacio vectorial vía módulo algún vector de la clase. Ejemplos

183 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... A: 2 2 tal que A([x y] T )=[x–y y-x] T. Claramente A es un operador lineal y un vector de la forma [k k] T está en la clase de equivalencia [0] o Kernel de A. El vector [2 1]T no está en la clase [0], pero si está en la clase [[2 1] T ]. Los vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo a la ecuación (1) son: X=[2 1] T - [1 1] T

184 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Clase [0] Clase [2 1] T

185 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... En realidad, cada clase forma una línea paralela al Kernel de A.

186 Significado geométrico de esta relación Si tenemos un operador lineal A:V W, entonces el Kernel de A será un subespacio de V, y cada una de las clases de equivalencia será una variedad lineal paralela al Kernel de A. Más aún, el conjunto de las clases de equivalencia se denotará en la forma común V/Ker A y será llamado el espacio cociente V/Ker A. Proposición. Sea un operador lineal A:V W, entonces el conjunto V/Ker A es un espacio vectorial. Demo. En este espacio, el vector nulo es la clase [0]. De hecho se tiene

187 Significado geométrico de esta relación [v1]=[v1]+[0] para cualquier v1 V. De la ecuación (1) x2= v1- 1 e e n e n se observa que esto es cierto, ya que x2 [v1]. Los escalares, son los del campo definido en V. La suma de vectores [v1]+[v2]=[v3] se define como x1 [v1], x2 [v2] y x1+x2 [v3]. Note que está bien definida ya que cualquier x1 [v1] y x2 [v2] sirven. De hecho v1- 1 [0]+v2- 2 [0]=v1+v2- [0]=[v3] Todas las propiedades se pueden demostrar y resulta un espacio vectorial

188 Significado geométrico de esta relación,... Pero hay más cosas Claramente, Im(A) V/Ker A. Vimos que esto se cumple aún en el caso que no sean espacios vectoriales. Ahora volvamos a los conjuntos. Vimos que si A:X Y, entonces Ker A es una relación de equivalencia. Por la definición, cualquier función deja una relación de equivalencia en su dominio. Pero, además, nosotros sabemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es equivalente a una partición de X

189 Espacios vectoriales con producto interno

190 5.1 Producto interno 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados

191 Norma Definición.- Una norma (o norma vectorial) en (V,F) es una funcional que asigna a cada vector v un número real no negativo, llamado norma del vector v, y es denotado por ||v|| y satisface: ||v||>0 para v 0, y ||0||=0 || v||=| | ||v|| escalar y v vector ||u+v|| ||u||+||v||

192 Norma Definición.- Para vectores x=[x 1 x 2... x p ]T, las normas || || 1, || || 2, || || son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: || || 1 =|x 1 |+|x 2 |+...+|x p | || || 2 =(|x 1 | 2 +|x 2 | |x p | 2 ) 1/2 || || =max{|x 1 |, |x 2 |,...,|x p |}

193 Norma Definición.- Sea || || una norma en (V,F). Una secuencia de vectores vi se dice que converje al vector v ssi la secuencia de número reales ||vi- v || Para vectores x=[x 1 x 2... x p ]T, las normas || || 1, || || 2, || || son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: || || 1 =|x 1 |+|x 2 |+...+|x p | || || 2 =(|x 1 | 2 +|x 2 | |x p | 2 ) 1/2 || || =max{|x 1 |, |x 2 |,...,|x p |}

194 Norma Teorema: Sean x, y dos vectores. Entonces |x T y| ||x|| 2 ||y|| 2 Demostración. sabemos 0 ||x+ y||=(x+y) T (x+y)=||x|| ||y|| |x T y| si =-||x|| 2 2 /x T y, entonces 0 -||x|| 2 2 +(||x|| 2 4 ||y|| 2 2 /x T y| 2 ) Despejando se llega a la desigualdad

195 Producto interno Definición. El producto interno en (V,F) sobre un par de vectores (u,v) que satisface: (u,v)=(v,u) ( u+ v,w)= (u,w)+ (v,w) (w, u+ v)= (w,u)+ (w,v) (u,u)>0, y es igual a cero si u es cero.

196 Producto interno El producto interno (u,v) 1/2 induce una norma en el espacio vectorial. Definición. Sean el producto interno (, ) u, v son ortogonales ssi (u,v)=0 Un conjunto de vectores son ortogonales ssi cada par de vectores (u,v) son ortogonales Si un vector u es usado para producir u/||u|| tal que ||v||=1, entonces u se dice ser normalizado para producir el vector normalizado v Un conjunto de vectores se dice ortonormal ssi es ortogonal y ||v||=1 para todo vector v

197 Producto interno Diferentes productos internos (u,v)=u T v si f y g son funciones real valuadas continuas en 0 t 1, entonces (f,g)=

198 Proyecciones ortogonales Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial. Sea (V 0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Defínase la proyección ortogonal como sigue. Para cualquier vector v P 0 v= 1 v q v q, donde i =(v i,v)/(v i,v i ) entonces v-P 0 v es ortogonal a todo vector v en (V 0,F) P 0 (u+v)=P 0 u+P 0 v P 0 ( v)= P 0 v

199 Proyecciones ortogonales Demostración (vi,v-P 0 v)=(v i,v)- 1(v i,v 1 )-...- q (v i,v q )=(v i,v)- i (v i,v i )=0 Los otros puntos salen de la definición de los coeficientes. vivi v P 0 v= v i v-P 0 v

200 Proyecciones ortogonales Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial con producto interno y con su norma inducida por el producto interno || ||. Sea (V 0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v 1,...,v q }. Entonces para cualquier v, P 0 v es el único punto más cercano en (V 0,F) a v, y ||v-P 0 v|| es la distancia de v a (V 0,F) ||v-P 0 v||<||v-v 0 || para todo v 0 diferente de P 0 v en (V 0,F)

201 Proyecciones ortogonales Demostración. ||v-v0||2=(v-v0,v-v0)=(v-P 0 v+P 0 v-v0, v-P 0 v+P 0 v-v0)= (v-P 0 v, v-P 0 v )+(v-P 0 v, P 0 v-v0)+(P 0 v-v0,v- P 0 v)+(P 0 v-v0, P 0 v-v0) Sabemos que v- P 0 v es ortogonal a los vectores en (V0,F), entonces se obtiene que: ||v-v0||=||v- P 0 v||+|| P 0 v-v0|| entonces ||v-v0||>||v- P 0 v|| a menos que v0= ||v-v0||=||v- P 0 v||+||

202 Proyecciones ortogonales Sea S={v1,...,vq} un conjunto de vectores ortogonales, entonces estos vectores son linealmente independientes. si se toma el vector 0=c1v1+...+cqvq, tenemos que saber el valor de cada ci. 0=(vi,0)=(vi,c1v1+...+cqvq)=ci(vi,vi) como (vi,vi)>0 ci=0 y son L.I.

203 Proyecciones ortogonales Se sigue que si el vector proyectado v está en el espacio (V 0,F), entonces P 0 v será el mismo v y los valores de las i será la representación del vector en la base seleccionada S.

204 Proyecciones ortogonales Teorema. Sea B={v1,...vq} una base ortogonal. La representación del vector v se calcula como v= 1 v q v q, donde i =(v i,v)/(v i,v i ) Note que si la base es ortonormal, entonces los i se calculan fácilmente

205 Proyecciones ortogonales Si tenemos S={v 1,...,v q } un conjunto de vetores que genera (V,F) Tomar u 1 =v 1, desde 2 hasta q, u i =v i -P i-1 v i

206 Transformaciones lineales

207 6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales

208 Transformaciones lineales Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de (V,F) a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada vector v en V un vector w en W tal que: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) T( v)= T(v) Se sigue que T(0)=0, ya que T(v)=T(v+0)=T(v)+T(0) lo que implica que T(0) debe ser el cero de W.

209 Transformaciones lineales El espacio imagen Todos los vectores w en (W,G) tal que w=T(v) Solución. Si w es fijo, entonces existe v en (V,F) tal que T(v)=w ssi w está en la imagen de T. Se aplica Sobre Claramente el problema Solución tiene solución si T es onto.

210 Transformaciones lineales Otro problema es si la solución es única. T(v1)=T(v2)=w Se aplica Inyectividad Claramente la solución es única si w esta en la imagen de T y T es inyectiva. T(v1)=T(v2) T(v1)-T(v2)=0 T(v1-v2)=0 También T tiene kernel.

211 Transformaciones lineales Más propiedades de las transformaciones lineales T(u-v)=T[u+(-1)v]=T(u)+T[(-1)v]=T(u)+(-1)T(v)=T(u)-T(v) T( 1 v n v n )= 1 v n v n Esto se puede ver por asociatividad e inducción Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v 1,...v n } y T1, T2 dos transformaciones lineales. Si T1(vi)=T2(vi) para todo vi en B, entonces T1(v)=T2(v) para v en (V,F). Demo, como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1 v n v n, entonces T1(v)=T1( 1 v n v n )= T1( 1 v 1 )+...+T1( n v n )=T2( 1 v 1 )+...+T2( n v n )=T2(v)

212 Transformaciones lineales Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v 1,...v n } y (W,G) un espacio vectorial que contiene a los vectores w1,...,wn, entonces existe una única transformación lineal tal que T(vi)=wi, para vi en B. Demo. Como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1 v n v n, entonces T se define como T(v)= 1 w n w n T será una transformación lineal T(u+v)=T[( 1 v n v n )+( 1 v n v n )]= =T[( ) v ( n + n ) v n ] Por la definición de T, = ( ) w ( n + n ) w n =T(u)+T(v)

213 Transformaciones lineales De igual forma T( u)=T[( 1 v n v n )] Por la definición de T, 1 w n w n = T(u) Por teorema anterior se tiene la unicidad Tarea: Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F) (W,G) una transformación lineal. Demsotrar que el kernel de T es un subespacio de (V,F) y que la imagen de T es un subespacio de (W,G).

214 Transformaciones lineales Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F) (W,G) una transformación lineal. Nulidad de T = (T) =dim (Ker (T)) rango de T = (T) = dim (Im (T)) Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F) (W,G) una transformación lineal. (T)+ (T) = dim (V,F) Demo. Suponer que (T)=r y que {v1,...vr} es una base para el kernel; además (T)=k y {w1,...wk} es una base para la imagen de T. Entonces hay que demostrar que B={v1,...,vr,u1,...,uk}

215 Transformaciones lineales Sea un v que pertenece a (V,F). Como T(v)= 1 w k w K Al Vector v lo podemos escribir como v= 1 u k u K -v v´= 1 u k u K -v T(v)=T( 1 u k u K -v)= 1 T(u 1 )+...+ k T(u k )-T(v) = 1 w k w K -T(v)=0 v está en el kernel de T Como {v1,...vr} es una base de Kernel de T, existen escalares 1,.., r tal que v= 1 v r v r = 1 u k u K -v Por tanto v= 1 u k u K - 1 v r v r y {u 1,...,u k, v 1,..., v r } genera (V,F) Ahora hay que ver que sean L.I.

216 Transformaciones lineales Sea un vector 1 u k u K + 1 v r v r =0 Entonces T( 1 u k u K + 1 v r v r )=0 Como los vi están en el kernel 0= 1 w k w K, como los w i son una base de la magen, entonces son L.I. y la única solución es i =0 Entonces el vector se reescribe como 1 v r v r =0, como los v i son una base para el kernel son L.I., entonces la única solución i =0 y los vectores son L.I. y por lo tanto es una base y la dimensión de (V,F) es (T)+ (T) = dim (V,F)

217 Transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F) (W,G), entonces existe una única matriz A (dim(v), dim(W)) tal que T(x)=Ax A est la matriz de transformación correspondiente a T. Demo sea B={e1,...,en} la base canónica en (V,F) T(ei)=wi Se puede formar la matriz A=[w1 wn] entonces Aei=wi (T(ei)=wi) En general T(x)=T( 1 e n e n )= 1 w n w n También Ax=A[ 1 e n e n ]= 1 w n w n =T(x)

218 Transformaciones lineales Suponer que T(x)=Ax=Bx (A-B)x=0, para x=ei (A-B)ei=0 que la i-ésima columna de (A-B) es cero, por lo que las matrices son iguales y A es única. Teorema Sea A la matriz de transformación correspondiente a T, entonces i) Im T Im A, pero isomorfo ii) (T)= (A) iii)Ker T Ker A, pero isomorfo iv) (T)= (A)

219 Transformaciones lineales Teorema. Sean (V,F), (W,G) dos espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Sea T(V,F) (W,G) una transformación lineal. Sean B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} las bases de los espacios respectivamente. Entonces existe una única matriz A (m,n) tal que: [T(x)] B2 =A(x B1 ) [T(x)] B2 la representación de T(x) en B2 T(x)= 1 w m w m [T(x)] B2 =[ 1... m ] T x B1 es la representación del vector en B1 La matriz A se conoce como la matriz de transformación correspondiente a T con respecto a las bases B1 y B2

220 Transformaciones lineales Considere los vectores T(v1,...,T(vn), escríbase A=[[T(v 1 )] B2... [T(v n )] B2 ] Como Avi B1 =Ae i = [T(v i )] B2 y x B1 es la representación del vector en B1, i.e. [ 1... n] T entonces A x B1 =[[T(v 1 )] B2... [T(v n )] B2 ] x B1 = 1[T(v 1 )] B [T(v n )] B2 ] n Por otro lado T(x B1 )=T( 1 v n v n )= 1 T(v 1 )+...+ n T(v n ) Al poner cada uno de estos vectores en la representación de la base B2 se obtiene que: A x B1 = T(x B1 ) La unicidad es similar al teorema anterior

221 Transformaciones lineales Teorema.- Sea A (m,n) la matriz de transformación correspondiente a T:(V,F) (W,G) con respecto a las bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} respectivamente. Suponga que hay otras bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} de los espacios respectivos. Entonces la matriz A correspondiente a la misma transformación T con respecto a las bases B1 y B2 está dada por: A=P -1 AQ P es la matriz de transición (de paso) de la base B2 en B2 Q es la matriz de transición (de paso) de la base B1 en B1

222 Transformaciones lineales Demo. Sabemos que [T(x)] B2 =Ax B1 Ahora, x B1 =Qx B1 y [T(x)] B2 =P[T(x)] B2 Por tanto P[T(x)] B2 =A Qx B1 [T(x)] B2 =P -1 A Qx B1 A=P -1 AQ es la matriz de transformación

223 Transformaciones lineales En especial, si (V,F) y (W,G) son los mismos, entonces A=P -1 AP Definición. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son similares si existe una matriz P no singular (determinante diferente de cero) tal que B=P -1 AP

224 Transformaciones lineales Transformaciones T Inyectiva Kernel T = {0} Sobre Teorema. T:V W una transformación lineal y dim v=n y dim w=m i) si n>m, T no es inyectiva ii) si m>n T no es sobre Demo. Tarea.

225 Transformaciones lineales Definición. Una T.L es un Isomorfismos ssi es inyectiva y sobre. La matriz de un isomorfismo es invertible. Definición. Se dice que (V,F) y (W,G) son isomorfos ssi existe un isomorfismo entre ambos Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces (V,F) y (W,G) son isomorfos si dim (V,F)=dim (W,G) Demo. Obtener bases para cada uno. Entonces quedan representados en (R n,R). Como son bases en el mismo espacio, existe una matriz de cambio de base A. por teoremas anteriores existe una T.L. asociada a A que es un isomorfismo. Si existe el isomorfismo entre las representaciones, lo existe entre los espacios.

226 Transformaciones lineales Corolario. Cualquier espacio de dimensión n es isomorfo a (R n,R) Teorema. Si T:(V,F) (W,G) es un isomorfismo i) Si {v1,...vn} genera (V,F), entonces {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G) ii) Si {v1,...vn} son L.I., entonces {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) si {v1,...vn} es una base, entonces {T(v1),...,T(vn)} es una base. Demo. i) v= 1 v n v n T( v)=w= 1 T(v 1 ) n T(v n ) {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G) iii) Suponga que 0=T( v)=w= 1 T(v 1 ) n T(v n ), entonces T( 1 v n v n )=0, como T es isomorfismo T(0)=0 es el único. Entonces 1 v n v n =0, pero como son L.I. i =0 y por tanto {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) se sigue de anteriores.

227 Transformaciones lineales Prop. Si T:(V,F) (W,G) es un isomorfismo, entonces para todo vector w W existe un único vector v V tal que T -1 (w)=v, donde T -1 :(W,G) (V,F) es conocida como la transformación inversa de T. Demo. 2 partes T -1 es T.L. y T -1 (w)=v único T(v1)=w1; T -1 (w1)=v1; T(v2)=w2 T -1 (w2)=v2 T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)=w1+w2 T -1 (w1+w2)=v1+v2 T( v1)= T(v1)= w1 T -1 ( w1)= v1 Como T es isomorfiso, la definición de T -1 hace que exista un único valor de regreso. Nota. T es T.L. A es su operador T -1 es la inversa de T, entonces A -1 es el operador de T -1

228 Transformaciones lineales Operaciones con transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,F) dos espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Hom(V,W) es el conjutno de todas las transformaciones lineales entre (V,F) y (W,F). Sean T1 y T2 dos T.L. entre (V,F) y (W,F) Se define la suma T1+T2 como T1+T2:V W (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) para todo F, T1 es ( T1)(v)= T1(v)

229 Transformaciones lineales El conjunto Hom(V,W) definido anteriormente es un espacio vectorial sobre el campo F. Demo. Tarea.

230 Algebra de Transformaciones lineales Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 A y F: T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1 (T1T2)=( T1)T2=T1( T2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa

231 Algebra de Transformaciones lineales Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1:V U y T2:U W dos transformaciones lineales. Se define la composición de T2 seguida de T1 T2 T1 como la función de V a W (T2 T1) :V W tal que (T2 T1)(v)=T2(T1(v)) Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2 T1 también lo es. Demo. Sean u,v V y, F, entonces (T2 T1)( v+ u)=T2(T1( v+ u))=T2( T1(v)+ T1(u)) = (T2 T1)(v)+ (T2 T1)(u) (T2 T1) es T.L. Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

232 Adicional de Transformaciones lineales Sean A, B dos matrices de qxn y nxp con coeficientes en el mismo campo. Entonces (A)+ (B)-n (AB) min( (A), (B)) Demo (B) (A) R(B) R(A) R(AB) n(B) n(A) pn d

233 Adicional de Transformaciones lineales De la figura (AB) min( (A), (B)). También (AB)= (B)-d (la intersección de R(B) y n(A). La dimensión de n(A)=n- (A) d n+ (A) y se sigue que (AB) (A)-n+ (B) Si B es no singular (A)+ (B)-n = (A) (AB) min( (A),n) = (A) (B) (A) R(B) R(A) R(AB) n(B) n(A) pn d

234 4. Valores y vectores propios

235 Valores y vectores propios Definición y propiedades Teorema de Cayley-Hamilton Diagonalización de matrices

236 Valores y vectores propios Definición. Sea V un espacio vectorial y T:V V una transformación lineal del espacio en sí mismo. Sea v V un vector diferente de cero pa el cual existe un escalar tal que T(v)= v, entonces se dice que es un valor propio de T y que v es un vector propio de T asociado a.

237 Valores y vectores propios Cuando V es un espacio de dimensión finita, la transformación T la podemos representar como una matriz A de n,n. Entonces podemos redefir los valores y vectores propios de la siguiente forma. Definición. Sea A una matriz de n,n. El escalar se denomina valor propio de A si existe un vector x diferente del nulo, tal que Ax= x nuevamente x es el vector propio asociado a.

238 Valores y vectores propios Teorema. Sea A una matriz de n,n. Entonces es un valor propio de A ssi det( I-A)=0 Demo. Sólo si. Suponga que es un valor propio de A; entonces existe un vector x diferente de cero tal que Ax= x ( I-A)x=0, como x diferente de cero ( I-A) es singular det( I-A)=0

239 Valores y vectores propios (si). Si det( I-A)=0 ( I-A) es singular ( I-A)x=0 tiene soluciones diferentes de cero, entonces existe x diferente de cero tal que Ax= x.

240 Valores y vectores propios Definición. La ecuación det( I-A)=0 se conoce como ecuación característica de A, y el polinomio p( )=det( I-A) Observe que p( )=(det( I-A)=a 0 +a a n por el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n tiene n raíces (contando multiplicidades). p( )=(det( I-A)=a 0 +a a n = ( - 1 ) r1...( - m ) rm Los número ri son la multiplicidad algebraica de los valores propios de 1,..., m.

241 Valores y vectores propios Teorema. Sea un valor propio de A y E ={x|Ax= x}. Entonces E es un subespacio vectorial de C n Nótese que E son las soluciones de ( I- A)x=0, es decir el kernel de un operador lineal es un subespacio vectorial.

242 Valores y vectores propios Definición. Sean un valor propio de A. Entonces E se denomina espacio propio de A correspondiente a. Definición. Sea E el espacio propio de A debido a. A la dimensión de E se le conoce como multiplicidad geométrica de. Multiplicidad geométrica de =dim E =dim{Ker ( I-A)}

243 Valores y vectores propios Ejemplos y procedimientos de cálculo

244 Valores y vectores propios Teorema. Sea un valor propio de A. Entonces se cumple que la multiplicidad geométrica de multiplicidad algebraica de

245 Valores y vectores propios Teorema. Sean 1, 2,..., m valores propios diferentes de A (n,n), donde m n y sean x 1, x 2,..., x m sus vectores propios correspondientes. Entonces x 1, x 2,..., x m son linealmente independientes. Demostración. Suponga que {x 1,...,x m } son L.D. y que x s es el primer vector L.D. de los previos x s = 1 x x s-1 x s-1 Multiplicando por A Ax s = 1 Ax Ax s-1 Ax s-1

246 Valores y vectores propios s x s = 1 1 x x s-1 s-1 x s-1 Restando ecuaciones y multiplicando por s se tiene 0= 1 ( 1 - s )x ( 2 - s ) x s-1 ( s-1 - s )x s-1 Como xs es el primer vector L.D. entonces 1 ( 1 - s )= 2 ( 2 - s )=...= s-1 ( s-1 - s )=0 como i s i =0 xs=0, lo cual contradice la suposición las vectores son L.I.

247 Valores y vectores propios Teorema. La matriz A (n,n) tiene n vectores propios L.I. ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. Tarea (Grossman, pag 545)

248 Valores y vectores propios Definición. Sea F(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x a n x n un polinomio y A una matriz cuadrada Se define el polinomio f(x) en la matriz A como: F(A)=a 0 I+a 1 A+a 2 A a n A n Sy f(A) es igual a la matriz cero, entonces se dice que A es raíz (o cero) del polinomio f(x). Sea F( ) (n,n) una matriz polinomial en la variable, i.e. F( )=F 0 +F F m m = F( )=F 0 + F m F m donde F 0, F 1,...,F m son matrices cuadradas reales.

249 Valores y vectores propios Se dice que F( ) es de orden n; y si F m 0, entonces F( ) es de grado m. Además F( ) se dice regular si det(F m ) 0 Definicion. Sean F( ) y G( ) matrices polinomiales de orden n., y G( ) es regular. Las matrices polinomiales Q( ) y R( ) se conocen como cociente derecho y residuo derecho respectivamente de F( ) dicidida por G( ) si F( )= Q( ) G( ) + R( ) y si el grado de R( ) es menor que el grado de G( ) [R( ) puede ser cero]

250 Valores y vectores propios De manera similar se pueden definir el cociente izquierdo y residuo izquierdo Sea A (n,n) y denota F(A) la evaluación por la derecha de A en la matriz polinomial F( ), esto es, si F( )=F 0 +F F m m = F( )= F 0 +F 1 A+...+F m A m

251 Valores y vectores propios Teorema. Si la matriz polimial F( ) es dividida por la derecha por la matriz ( I-A) entonces el residuo es F(A), y si es dividida por la izquierda por ( I-A) entonces el resiudo es F(A) (por la izquierdA). Demostración. Tarea. (teorema generalizado de Bezout, Grantmatcher, pag 81)

252 Valores y vectores propios Corolario. La matriz polinomial F( ) es divisible por la derecha por la matriz ( I-A) sin residuo (R( )=0) ssi F(A)=0 (De manera similar se puede hacer por la izquierda) Teorema (Cayley-Hamilton). Toda matriz A (n,n) es raíz de su polinomio característico. Demostración. P( )=det( I-A)=a 0 +a n Hay que mostrar que P(A)=0

253 Valores y vectores propios de teoremas previos ( I-A)adj( I-A)=det( I-A)I=[adj( I-A)]( I-A) Lo cual puede verse como P( )=( I-A)Q( )=Q( )( I-A) donde Q( )=adj( I-A) es una matriz polinomial en y P( )=det( I-A)I=a 0 I+a 1 I+...+ n I como P( ) es divisible por la derecha y por la izquierda por ( I-A) sin residuos, entonces P(A)=a 0 I+a 1 AI+...+A n I

254 Valores y vectores propios Definición. Se dice que el polinomio F( ) es un polinomio aniquilador de la matriz A (n,n) si F(A)=0 (p.e. el polinomio característico de A) Definición. Al polinomio aniquilador mónico Q( ) de A de menor grado se le conoce como polinomio mínimo de A.

255 Diagonalización de matrices Definición. Se dice que A (n,n) es diagonalizable (bajo similaridad) si existe una matriz no singular P tal que P-1AP es diagonal

256 Diagonalización de matrices Teorema. La matriz A (n,n) es diagonalizable ssi tiene n vectores propios linealmente independientes Si 1, 2,..., n son los valores propios de A y los vectores propios x 1, x 2,..., x n correspondientes a estos valores propios son linealmente independientes, entonces P -1 AP=diag{ 1, 2,..., n }, donde P=[x 1 x 2... X n ]

257 Diagonalización de matrices Demostración. (si) Suponga que A tiene n vectores propios L.I. x 1 x 2... x n correspondientes a los valores propios 1, 2,..., n (algunos pueden ser repetidos). Sea P la matriz [x 1 x 2... x n ], entonces AP= [Ax 1 Ax 2... Ax n ]= [ 1 x 1 2 x 2... n x n ] = [x 1 x 2... x n ]diag{ 1, 2,..., n } =Pdiag{ 1, 2,..., n } Como P es no singular tiene inversa P -1 AP=diag{ 1, 2,..., n }

258 Diagonalización de matrices Demostración. (sólo si) Suponga que existe una matriz no singular P tal que P -1 AP=diag{ 1, 2,..., n } AP=Pdiag{ 1, 2,..., n } Para cada xi de P se tiene que: Ax i = i x xi es vector propio de A i es valor propio de A P es no singular A tiene n vectores propios L.I.

259 Diagonalización de matrices Corolario. La matriz A (n,n) es diagonalizable ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. En particular A es diagonalizable si todos sus valores propios son distintos

260 Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares, entonces tienen el mismo polinomio característico, y por consiguiente los mismos valores propios. Demo. det( I-B)=det( I-P -1 AP)=det( P -1 P- P -1 AP)=det(P -1 ( I-A)P)=det(P -1 )det( I- A)det(P)=det( I-A)

261 Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares, i.e. existe una matriz no singular tal que B=P -1 AP. Entonces: i) B k =P -1 A k P ii)Si f(x)=a 0 +a 1 x+...+a n x n es un polinomio cualquiera, entonces f(B)=P -1 f(A)P

262 Diagonalización de matrices Demo B k =(P -1 AP) k = =(P -1 AP)(P -1 AP)...(P -1 AP)= P -1 A k P ii)Si f(B)=a 0 I+a 1 (P -1 AP)+...+a n (P -1 A n P)= =P -1 (a 0 +a 1 A+...+a n A n )P=P -1 f(A)P

263 Diagonalización de matrices

264 Tiene dos propio valores 1 =1, 2 =2 con multiplicidades algebraicas 2 y 1 y geométricas 1 y 1 respectivamente no es posible diagonalizar A, pero ¿es posible encontrar una bse donde A sea casi diagonal?

265 Diagonalización de matrices Definición.- Un vector v es llamado un vector propio generalizado de rango k de A asociado con iff (A- I) k v=0 (A- I) k-1 v 0 Note que si k=1 coincide con vector propio

266 Diagonalización de matrices Definición.- v k =v vector propio generalizado v k-1 =(A- I)v=(A- I)v k v k-2 =(A- I) 2 v=(A- I)v k-1... v 1 =(A- I) k-1 v=(A- I)v 2

267 Diagonalización de matrices... v k-2 =(A- I) 2 v=(A- I)v k-1... Entonces para 1 i k v i es un vector propio generalizado de rango i, por ejemplo (A- I) k-2 v k-2 =(A- I) k-2 (A- I) 2 v=(A- I) k v=0 (A- I) k-1 v k-2 =(A- I) k-1 v 0

268 Diagonalización de matrices Definición.- Lleamaremos a los vectores {v 1, v 2,...,v k } una cadena de vectores propios generalizados si v k es un vector propio generalizado que dio origen a todos los demás vectores

269 Diagonalización de matrices Teorema. El conjunto de vectores propios generalizados v 1, v 2,..., v k definidos anteriormente es L.I. Demostración.- Suponer que v 1, v 2,..., v k son L.D., entonces existen soluciones diferentes de la trivial a: 1 v v k v k =0 Multiplicando por (A- I) k-1 y observando que v i =v k-(k-i) =(A- I) k-i v por definición

270 Diagonalización de matrices entonces (A- I) k-1 v i =(A- I) 2k-(i+1) v=0 para i=1,2,...,k-1 k (A- I) k-1 v k =0 y sabiendo de la def. de vector propio generalizado que (A- I) k-1 v k 0, k =0 Aplicando ahora (A- I) k-2 se demuestra que k-1 =0 Siguiendo esto se tiene que i =0, lo que contradice la suposición. son L.I.

271 Diagonalización de matrices Teorema: Los vectores propios generalizados de A asociados con diferentes propio valores son L.I. Demostración. Sea v vector propio generalizado 1 v i =(A- 1 I)v i+1 =(A- 1 I) k-i v Sea u vector propio generalizado 2 u i =(A- 2 I)u i+1 =(A- 2 I) l-i u Del teorema anterior los v i son L.I. y los u i son L.I, falta ver que {u i }, {v i } son L.I.

272 Diagonalización de matrices Suponer que vi es L.D. en {u1,...,ul} v i = 1 u u l u l Aplicando (A- 1 I) i 0= (A- 1 I) i [ 1 u u l u l ] Ahora aplicando (A- 2 I) l-1 y observando que (A- 2 I) l-1 (A- 1 I) i = (A- 1 I) i (A- 2 I) l-1 y el hecho de que (A- 2 I) l-1 u j =0, j=1,2,..., l-1 0= l (A- 1 I) i (A- 2 I) l-1 u l = l (A- 1 I) i u 1 Como (A- 2 I)u1=0 o Au1= 2 u1, la ecuación anterior se reduce a l ( ) i u 1 =0

273 Diagonalización de matrices se reduce a l ( ) i u 1 =0 lo cual implica que l =0. Un procedimiento similar llega a la conclusión de que todos los i =0, lo que contradice la suposición y los vectores son L.I.

274 Diagonalización de matrices Teorema. Sean u y v propio vectores de rango o y l respectivamente, asociados con el mismo valor propio. v i =(A- I)v i+1 =(A- 1 I) k-i v u i =(A- I)u i+1 =(A- 2 I) l-i u Si u 1 y v 1 son L.I. las cadenas son L.I.

275 Diagonalización de matrices El tratar de construir la forma casi diagonal (diagonal por bloques o forma de Jordan) se convierte en un proceso iterativo. 1.- se calculan propio valores y propio vectores de la forma tradicional. 2.- Si la multiplicidad algebraica es mayor que la geométrica tratar de encontrar una cadena lo suficientemente larga de vectores generalizados para construir los vectores L.I. independientes faltantes, de lo contrario construir cadenas más pequeñas hasta completarlos

276 Matrices unitarias Si P es no singular B=P -1 AP transformación de similaridad Sirven para cambio de bases Más conveniente si las bases son ortogonales y ortonormales Si {x 1,...,x p } es un conjunto ortonormal x i T x i =1 y x i T x j =0 Si hacemos que P=[x 1,...,x p ] P T P=I o P T =P -1

277 Matrices unitarias Definición. Una matriz P (de reales) para la cual P T =P -1 tal que P T P=I, se dice ser unitaria. Teorema. a) P unitaria el conjunto de vectores columna es ortonormal b) P unitiaria |det(P)|=1 c) P unitaria = d) P unitaria si valor propio de P | |=1 Demo. Clara

278 Matrices unitarias Teorema. Si B=P -1 AP donde P es unitaria (se dice transformación de similaridad unitaria) todo lo que se vió de propiedades de similaridad sigue valiendo.

279 Matrices unitarias Teorema. Si A es una matriz de pxp. a) A es similar unitaria a una matriz triangular superior T; T=P -1 AP con P unitaria y con los propiovalores de A en su diagonal principal. T es llamada la forma de Shur de A y la descomposición A=PTP -1 = PTP T es la descomposición Shur de A. Demo. Si p=1 ya terminamos. Suponer que para p=k es cierto Para p=k+1 tenemos.

280 Matrices unitarias 1 es el propio valor asociado a x 1, podemos normalizar este vector para que ||x 1 || 2 =1 Entonces x1 entra a la base que ya teníamos de propiovectores ortonormalizados {w 1,...,w k } si no es otronormal a esta base, aplicamos Gram-Schmidt y tenemos la nueva base {x 1,w 1,...,w k } U= [x 1,w 1,...,w k ]=[x 1,W] A=U T AU=[x 1,W] T A[x 1,W]=[x 1,W] T [Ax 1 AW]= 1 x 1 T AW 0W T AW 1 bTbT 0C =

281 Matrices unitarias Definición. Una matriz A de pxp es normal si A T A=AA T Teorema. A normal D=P T AP, D es diagonal, y P es unitaria. Por tanto los propio vectores de A son p linealmente independientes

282 Matrices unitarias Veamos ahora el caso en que A=U V T, con U y V unitarias de pxp y qxq, es pxq casi cero, excepto en la diagonal que vale ii = i que es un real no negativo Así son

283 Matrices unitarias Claramente se tendría AV=U Av i = i u i para 1 i min(p,q), dende los u i, v i son las columnas de U y V respectivamente. Además A T A= (U V T ) T (U V T )=V T U T U V T =V( T )V T donde T =D=VTA T AV es diagonal de qxq que los propio vectores de A T A sirven para construir V y D tiene los valores propios D= T Similarmente para el caso AA T =U( T )U T en este caso D= T

284 Matrices unitarias Definición. A la descomposición que hemos venido manejando, A=U V T, se le conoce como descomposición en valores singulares de A. Viendo lo que hicimos para la descomposición de Schur, podemos ver que la descomposición en valores singulares siempre existe. Los valores singulares de A son los i, y el número de valores no cero es el rango de A. Los u i son los vetores singulares izquierdos y los v i los vectores singulares derechos relacionados con i.

285 A= ATAATA propiovalores 18 y 0. 1=18 (1/2) y 2=0 Un par de vectores propios de A T A normalizados son v1=[1.71/2 1.71/2] T y v2=[1.71/ /2] T Entonces V=[V1 v2]

286 A= AA T = propiovalores 18 y 0. 1=18 y 2=0 Vectores propios de AA T normalizados son u1=[1/3 2/3 2/3] T u2=[(-2)5 1/2 /5 5 1/2 /5 0] T u3 =[(2)5 1/2 /15 (4)5 1/2 /15 (-1)5 1/2 /3 ] T Entonces U=[u1 u2 u3]

287 A= AA T = (2) 1/

288 Mínimos cuadrados Suponer que A=U V T, es la descomposición en valores singulares, donde A es de rango k. El problema es minimizar ||Ax-b||2 con respecto a x. ||Ax-b|| 2 =||U V T x-b|| 2 =|| y-U T b|| 2 y=VTx ||Ax-b|| 2 es mínimo cra x ssi || y-U T b|| 2 es mínimo cra y. || y-b|| 2 2 =| 1y 1 -b 1 | | k y k -b k | 2 +|b k+1 | |b p | 2 b=U T b Es minimizado si y i =b i / i

289 Mínimos cuadrados Entonces para ||Ax-b||2 con respecto a x. Encontrar A=U V T Calcular b=U T b Calcular y i =b i / i para 1 i k, y i =0 otro caso x 0 =Vy y=VTx ||Ax-b|| 2 es mínimo cra x ssi || y-U T b|| 2 es mínimo cra y. || y-b|| 2 2 =| 1y 1 -b 1 | | k y k -b k | 2 +|b k+1 | |b p | 2 b=U T b Es minimizado si y i =b i / i


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