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Funciones
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El concepto de función De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
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El concepto de función Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.
Una función de A en B es una asociación de un único elemento de B con todos y cada uno de los elementos de A. El conjunto A es llamado el dominio de la función. El conjunto B se llama contradominio ó codominio de la función.
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El concepto de función Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio
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Ejemplos de funciones Conjunto de seres humanos
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Ejemplos de funciones Conjunto de seres humanos
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Ejemplos de funciones A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos Conjunto de seres humanos
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Ejemplos de funciones A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos Conjunto de seres humanos Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico
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Definición de función
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El rango de una función
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Definición de función a b c d e
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Definición de función Dominio a b c d e
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Definición de función Codominio Dominio a b c d e
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Definición de función a b Codominio Dominio c d e Rango
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Esto no es función
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A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio
Esto no es función A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio
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Esto no es función B A parcial nabla raiz existe
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Esto no es función A parcial nabla raiz existe B
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Definición de funcion real de una variable real
Definimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).
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Definición de funcion real de una variable real
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.
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Funcion real de una variable real
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Funciones reales de una variable real
Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.
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El dominio de una función
El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
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Ejemplo de función: Relación líneal
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Ejemplo de función: Relación líneal
x f(x) 2 1 5 -1 8 -2 -4 3 11 -3 -7 4 14 -10 17 -5 -13 x f(x) 0.10 2.30 1.76 7.28 -3.45 -8.35 8.97 28.91 2.34 9.02 13.33 41.99 1.41 6.23 16.77 52.31 -44.44 0.01 2.03
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Ejemplo de función: la función exponencial
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Ejemplo de función: la función exponencial
f(x) 0.10 11.88 144, -3.45 8.97 7, 2.34 13.33 615, 6.99 1, -91.23 2.22 0.50 -12.45 x f(x) 0.00 1.000 1.00 2.718 -1.00 0.368 2.00 7.389 -2.00 0.135 3.00 20.086 -3.00 0.050 4.00 54.598 -4.00 0.018 5.00 -5.00 0.007
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Ejemplo de función: la función exponencial
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Ejemplo de función: la función exponencial
ln(x) 0.10 -2.303 0.01 -4.605 0.20 -1.609 0.02 -3.912 0.30 -1.204 0.03 -3.507 0.40 -0.916 0.04 -3.219 0.50 -0.693 0.05 -2.996 0.60 -0.511 0.06 -2.813 0.70 -0.357 0.07 -2.659 0.80 -0.223 0.08 -2.526 0.90 -0.105 0.09 -2.408 1.00 0.000
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Representación gráfica de las funciones reales de una variable real
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Ejemplo de función: Relación líneal
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Ejemplo de función: la función exponencial
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Ejemplo de función: la función logaritmo
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Ejemplo de función: El valor absoluto
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Operaciones con funciones
Suma y diferencia
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Operaciones con funciones
Producto
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Operaciones con funciones
El cociente
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Operaciones con funciones
La composición
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Operaciones con funciones La composición. Ejemplo 1
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Operaciones con funciones La composición. Ejemplo 2
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Operaciones con funciones La composición. Ejemplo 3
42
La función identidad
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La función identidad
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Funciones inyectivas
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Funciones inyectivas
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Funciones inyectivas
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Operaciones con funciones
La función inversa
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La función inversa
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Las funciones trigonométricas
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Las funciones trigonométricas
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Las funciones trigonométricas
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Las funciones trigonométricas
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El seno
54
El seno
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El coseno
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El coseno
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La tangente
58
La tangente
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El arco seno o seno inverso
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Límites
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El concepto de límite El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande
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El concepto de límite
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Límite. Ejemplo1
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Límite. Ejemplo1
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Límite. Ejemplo1
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Límite. Ejemplo1 13
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Límite. Ejemplo1
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Límite. Ejemplo 1
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Límite. Ejemplo 2
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Límite. Ejemplo 2
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Límite. Ejemplo 2
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Límite. Ejemplo 2
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Límite. Ejemplo 3
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Límite. Ejemplo 3
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Límite. Ejemplo 3
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Límite. Ejemplo 4
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Límite. Ejemplo 4
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Límite. Ejemplo 4
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Límite. Ejemplo 5
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Límite. Ejemplo 5
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Límite. Ejemplo 5
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Límite. Ejemplo 5
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El límite por la izquierda
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El límite por la derecha
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El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo
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El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo
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El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo
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El límite por la derecha y por la izquierda
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Límite. Ejemplo1 En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
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Límite. Ejemplo 2 En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
91
Límite. Ejemplo 3 En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente
92
Límite. Ejemplo 4 En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
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Propiedades de los límites
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Propiedades de los límites
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Propiedades de los límites
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Funciones continuas
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Funciones continuas De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
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Funciones continuas
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Funciones continuas. Ejemplo 1
Esta función es continua
100
Funciones continuas. Ejemplo 2
Es discontinua en x=-2 Es continua en todos los otros puntos del dominio
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Funciones continuas
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La derivada
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El cambio, motor fundamental del Universo
La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición La inflación: Como cambian los precios con el tiempo El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
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El cambio, motor fundamental del Universo
Las funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas
105
¿Cómo cambian las funciones?
x f(x) 20 1 24 -1 22 2 34 -2 30 3 50 -3 44
106
¿Cómo cambian las funciones?
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¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 1 crece en 4 Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) Cuando va de 1 a 2 crece en 10 Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
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¿Cómo cambian las funciones?
109
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 2 crece en 14 Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
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¿Cómo cambian las funciones?
111
¿Cómo cambian las funciones?
112
¿Cómo cambian las funciones?
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¿Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la secante a la curva
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¿Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la tangente a la curva
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¿Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la tangente a la curva La pendiente de la tangente nos dice La rapidez con que la función está cambiando en ese punto
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¿Cómo cambian las funciones?
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¿Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la tangente a la curva
118
Definición de la derivada
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Concepto de derivada
120
Concepto de derivada
121
Concepto de derivada
122
Concepto de derivada
123
La derivada. Ejemplo 1
124
La derivada. Ejemplo 1
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La derivada. Ejemplo 1 La derivada es cero, La función “no cambia”
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La derivada. Ejemplo 1
127
La derivada. Ejemplo 2
128
La derivada. Ejemplo 2
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La derivada. Ejemplo 2
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La derivada. Ejemplo 2
131
La derivada. Ejemplo 2
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La derivada. Ejemplo 3 Una parábola
133
La derivada. Ejemplo 3
134
La derivada. Ejemplo 3
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Diversas formas de escribirla
La derivada Diversas formas de escribirla
136
La derivada. Ejemplo 4
137
La derivada. Ejemplo 4
138
La derivada. Ejemplo 4
139
La derivada. Ejemplo 5
140
La derivada. Ejemplo 5
141
La derivada. Ejemplo 6
142
La derivada. Ejemplo 6
143
La derivada. Ejemplo 6
144
Algunas derivadas
145
Tabla de derivadas
146
Notación
147
Diferenciación implicita
148
Diferenciación implicita
149
Diferenciación implicita
150
Diferenciación implicita
151
Diferenciación implicita: Ejemplo 1
152
Diferenciación implicita: Ejemplo 1
153
Diferenciación implicita: Ejemplo 2
154
Diferenciación implicita: Ejemplo 2
155
La derivada
156
Propiedades de la derivada Derivada de una combinación lineal
157
Propiedades de la derivada
Derivada del producto
158
Propiedades de la derivada
Derivada del producto Ejemplos
159
Propiedades de la derivada
Derivada del cociente
160
Propiedades de la derivada
Derivada del cociente Ejemplos
161
Propiedades de la derivada
Derivada de la composición o regla de la cadena
162
Propiedades de la derivada
Derivada de la composición o regla de la cadena Ejemplos
163
Derivadas de orden superior
164
Derivadas de orden superior. Ejemplo 1
165
Derivadas de orden superior. Ejemplo 2
166
Derivadas de orden superior. Ejemplo 2
167
Derivadas de orden superior. Ejemplo 3
168
Aplicaciones de la derivada
Máximos y mínimos
169
Máximo relativo
170
Máximo relativo
171
Mínimo relativo
172
Mínimo relativo
173
Punto de inflexión
174
Punto de inflexión
175
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
176
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
177
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
178
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
179
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
180
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
181
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
182
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
183
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
184
Problemas de máximos y mínimos: 1
185
Problemas de máximos y mínimos: 1
186
Problemas de máximos y mínimos: 1
187
Problemas de máximos y mínimos: 1
188
Problemas de máximos y mínimos: 1
189
Problemas de máximos y mínimos: 2
190
Problemas de máximos y mínimos: 2
191
Problemas de máximos y mínimos: 2
192
Problemas de máximos y mínimos: 2
193
Problemas de máximos y mínimos: 2
194
Las series de Taylor
195
Las series de Taylor Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto
196
Las series de Taylor
197
Las series de Taylor
198
Las series de Taylor. Ejemplo 1
199
Las series de Taylor. Ejemplo 1
200
Las series de Taylor. Ejemplo 1
201
Las series de Taylor. Ejemplo 1
202
Las series de Taylor. Ejemplo 1
x sin(x) 0.500 0.479 0.400 0.389 0.300 0.296 0.200 0.199 0.100 0.000
203
Las series de Taylor. Ejemplo 1
204
Las series de Taylor. Ejemplo 1
205
Las series de Taylor. Ejemplo 1
206
Las series de Taylor. Ejemplo 1
207
Las series de Taylor. Ejemplo 1
208
Las series de Taylor. Ejemplo 1
209
Las series de Taylor. Ejemplo 1
x sin(x) x-x^3/6 0.500 0.479 0.400 0.389 0.300 0.296 0.200 0.199 0.100 0.000
210
Las series de Taylor. Ejemplo 1
211
Las series de Taylor. Ejemplo 1
212
Las series de Taylor. Ejemplo 2
213
Las series de Taylor. Ejemplo 3
214
Las series de Taylor. Ejemplo 3
215
Las series de Taylor. Ejemplo 3
216
Las series de Taylor. Ejemplo 3
217
Las series de Taylor. Ejemplo 3
218
Las series de Taylor. Ejemplo 3
219
Las series de Taylor. Ejemplo 3
220
Las series de Taylor. Ejemplo 3
x ln(x) x-1 x-1-(x-1)^2/2 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4 0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.682 0.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.508 0.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.356 0.800 -0.223 -0.200 -0.220 0.900 -0.105 -0.100 1.000 0.000 1.100 0.095 0.100 1.200 0.182 0.200 0.180 0.183 1.300 0.262 0.300 0.255 0.264 1.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.335 1.500 0.405 0.375 0.417 0.401
221
Las series de Taylor. Ejemplo 4
222
Las series de Taylor. Ejemplo 4
223
Las series de Taylor. Ejemplo 4
224
Las series de Taylor. Ejemplo 4
225
Las series de Taylor. Ejemplo 5
226
Las series de Taylor. Ejemplo 5
227
Las series de Taylor. Ejemplo 5
228
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
229
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
230
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
231
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
232
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
233
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
234
Aproximación lineal a una función
Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
235
Cálculo integral
236
La integral indefinida
237
La integral indefinida
238
La integral indefinida de una función identicamente cero
239
La integral indefinida
de una constante
240
La integral indefinida de la función identidad
241
La integral indefinida
de una potencia de x
242
La integral indefinida de 1/x
243
La integral indefinida de las funciones trigonométricas
244
La integral indefinida de la función exponencial
245
La integral de una combinación lineal
es la combinación lineal de las integrales
246
Integrales indefinidas
247
Integrales indefinidas
248
Integrales indefinidas
Cambio de variable
249
Integrales indefinidas
Cambio de variable
250
Integrales indefinidas
Cambio de variable
251
Integrales indefinidas
Cambio de variable
252
Integrales indefinidas
Cambio de variable
253
Integrales indefinidas
Cambio de variable
254
Integrales indefinidas
Cambio de variable
255
Integrales indefinidas
Cambio de variable
256
Integrales indefinidas
Cambio de variable
257
Integrales indefinidas Integración por partes
258
Integrales indefinidas Integración por partes
259
Integrales indefinidas Integración por partes
260
Integrales indefinidas Integración por partes
261
Integrales indefinidas Integración por partes
262
Integrales indefinidas Integración por partes
263
Integrales indefinidas Integración por partes
264
Integrales indefinidas Integración por partes
265
Integrales indefinidas Integración por partes
266
Integrales indefinidas Integración por partes
267
La integral definida
268
Gráfica de una función de R en R
269
La integral definida
270
La integral definida
271
La integral definida
272
La integral definida Esta área
273
La integral definida Esta área La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
274
La integral definida
275
La integral definida
276
La integral definida
277
La integral definida
278
La integral definida
279
La integral definida
280
La integral definida
281
La integral definida
282
La integral definida
283
La integral definida
284
La integral definida
285
La integral definida
286
La integral definida
287
La integral definida
288
La integral definida
289
La integral definida Propiedades
290
La integral definida Propiedades
291
La integral definida Propiedades
292
La integral definida Propiedades
293
La integral definida. Ejemplo 1
294
La integral definida. Ejemplo 2
295
La integral definida. Ejemplo 2
296
La integral definida. Ejemplo 3
297
La integral definida. Ejemplo 3
298
Aplicaciones de la integral
299
Aplicaciones de la integral
Longitudes, áreas, volumenes Se emplea en todas las áreas de la física En general en toda la matemática aplicada la integral es ampliamente empleada
300
Aplicaciones de la integral El área entre dos curvas
301
Aplicaciones de la integral El área entre dos curvas
302
El área entre dos curvas. Ejemplo 1
303
El área entre dos curvas. Ejemplo 1
304
El área entre dos curvas. Ejemplo 1
305
Calculo del volumen de sólidos de revolución
306
Calculo del volumen de sólidos de revolución
307
Calculo del volumen de sólidos de revolución
Método de los discos
308
Calculo del volumen de sólidos de revolución
Método de los discos
309
El teorema fundamental
del cálculo
310
El teorema fundamental del cálculo
311
El teorema fundamental del cálculo
312
El teorema fundamental del cálculo
313
El teorema fundamental del cálculo
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