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ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Para calcular el área de un cuerpo geométrico realizaremos el desarrollo plano de la figura, calculando las distintas áreas por separado y sumándolas al final.
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Antes de comenzar, tenemos que repasar el Teorema de Pitágoras, puesto que va a aparecer en algunos de estos problemas. Pero no sólo aparecerá sobre un plano, como estamos acostumbrados, sino que también aparecerá en el espacio.
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Para hallar la distancia D podemos aplicar lo siguiente:
Habrá ocasiones en que no se presente de esta forma y tengamos que considerar triángulos por separado en distintos planos para calcular las longitudes necesarias.
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Área de un PRISMA A = 2·Abase + nºcaras · Acara
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Ejemplo: Área de un PRISMA A = 2·Abase + nºcaras · Acara
20 cm Teorema de Pitágoras 42 = Ap2 + 22 12 = Ap2 Ap = 3’464 cm 4 cm perímetro x apotema 2 Área de la base = 4 cm Ap 24 x 3’464 2 Área de la base = = 41’569 cm2 2 cm Área de una cara = 20 x 4 = 80 cm2 Atotal = 41’569 · · 80 = 563’138 cm2
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Área de una PIRÁMIDE A = Abase + nºcaras · Acara
Nota: La altura de la pirámide no coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.
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Ejemplo: Área de una PIRÁMIDE A = Abase + nºcaras · Acara
15 cm 5’505 cm perímetro x apotema 2 Área de la base = 4 cm 20 x 5’505 2 Área de la base = = 55’05 cm2 h 15 cm Teorema de Pitágoras h2 = ’5052 h2 = 255’3109 h = 15’978 cm 5’505 cm 15’978 x 4 2 Área de una cara = = 31’956 cm2 Atotal = 55’ · 31’956 = 214’83 cm2
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Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE A = Abase mayor + Abase menor + nºcaras· Acara
Nota: En este caso, tampoco la altura de la pirámide coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.
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2 cm Ejemplo: Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE A = Ab mayor + Ab menor + nºcaras · Acara 10 cm Área de la base mayor = 4 x 4 = 16 cm2 4 cm 2 cm Área de la base menor = 2 x 2 = 4 cm2 h Teorema de Pitágoras h2 = h2 = 101 h = 10’05 cm 10 cm 4 cm (4 + 2) x 10’05 2 Área de una cara = = 30’15 cm2 h 10 cm Atotal = ’15 x 4 = 140’60 cm2 1 cm
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Área de un CILINDRO A = 2·Abase + Alateral Abase = π r2 Alateral = 2πr · h
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Ejemplo: Área de un CILINDRO A = 2·Abase + Alateral
3 cm 12 cm Área de la base = π r2 = 9π cm2 Área lateral = 2 π r h = 2 π 3 · 12 = 72 π cm2 Atotal = 2·9π + 72π = 90π cm2 = 282’743 cm2
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Área de un CONO A = Abase + Alateral A = π r2 + π r g Abase = π r2
Alateral = π r g A = π r2 + π r g
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Ejemplo: Área de un CONO A = Abase + Alateral
Área de la base = π r2 = 9π cm2 Datos r = 3 cm h = 10 cm Teorema de Pitágoras g2 = g2 = 109 g = 10’44 cm Área lateral = π r g = π 3 · 10’44 = 31’132 π cm2 Atotal = 9π + 31’132π = 40’132π cm2 = 126’08 cm2
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Área de un TRONCO DE CONO A = Abase mayor + Abase menor + Alateral
Abase menor = π r2 Abase mayor = π R2 Alateral = π g (R + r) A = πR2 + πr2 + πg(R+r)
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Ejemplo: Área de un TRONCO DE CONO A = Abase mayor + Abase menor + Alateral
Abase mayor = π R2 = 64π cm2 Abase menor = π r2 = 4π cm2 Alateral = π g (R + r) = π 10 (8 + 2) cm2 Alateral = 100 π cm2 Teorema de Pitágoras g2 = g2 = 100 g = 10 cm Atotal = 64π + 4π + 100π = 168π cm2 Atotal = 527’78 cm2
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VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
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VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
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VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
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VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
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Volumen de PRISMAS y CILINDROS V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un prisma Abase = 32 = 9 cm2 V = 9 cm2 · 5 cm = 45 cm3
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Volumen de PRISMAS y CILINDROS V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un cilindro Abase = π r2 = 9π dm2 V = 9π dm2 · 5 dm = 45π dm3 V= 141’372 dm3
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Volumen de PIRÁMIDES Y CONOS V = Abase · h 1 3
Ejemplo de volumen de un cono Abase = π r2 = π 152 = 225π cm2 V = (1/3) 225π cm2 · 13’229 cm V = (1/3) 2976’47π cm3 = 992’16π cm3 V = 3116’96 cm3 1 3 Teorema de Pitágoras g2 = r2 + h2 202 = h2 175 = h2 h = 13’229 cm
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Área y Volumen de una ESFERA A = 4 π r2 V = π r3 4 3
Ejemplo de área y volumen de una esfera: A = 4 π r2 = 4 π 102 = 400π m2 = 1256’637m2 V = (4/3) π 103 m3 = (4/3) 1000 π m3 V = 1333’333 π m3 = 4188’789 m3 4 3
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