VOLUMEN de CILINDROS, CONOS Y TRONCOS DE CONO

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1 VOLUMEN de CILINDROS, CONOS Y TRONCOS DE CONO
Tema 13.9 VOLUMEN de CILINDROS, CONOS Y TRONCOS DE CONO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

2 Apuntes Matemáticas 2º ESO
VOLUMEN DEL CILINDRO El volumen de un prisma hemos visto que es: V = l.a.h = Sb.h Es decir “Volumen = Superficie de la base por la altura” El cilindro se puede considerar como un prisma cuya base es un polígono de infinito número de lados. Por tanto podemos poner: V = Sb.h Y como la base es un círculo. V = π .r2.h h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

3 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo 1 Un cilindro recto presenta 10 cm de diámetro y 10 cm de altura. Hallar el volumen. El volumen del cilindro: V = Ab.h = π.r2.h Donde r = d/2 = 10/2 = 5 cm V = π.r2.h = π = 250.π cm3 Ejemplo 2 Un cilindro recto tiene 3141,60 cm3 de volumen y el radio de la base mide igual que la altura. Hallar el radio y la altura. El volumen del cilindro: V = π.r2.h Donde ,6 = π.h2.h  = h3  h =r = 10 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

4 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo 3 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen. El volumen del prima regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = = 250 cm2 En el cilindro: V = Ab.h = π.r2.h 250 = π.r2..10 de donde r2 = 250 / 31,41 = 8 r = √8 = 2.√2 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

5 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Volumen del Cono El volumen de una pirámide hemos visto que es: V = Sb.h / 3 Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. Por tanto tenemos: Y como Sb= π.r2 V = π.r2.h / 3 que es el volumen de un cono. h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

6 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_1 Hallar el volumen de un cono que tiene 10 cm de diámetro de la base y 12 cm de altura. ¿Cuántos litros caben en el mismo si está hueco?. Radio de la base: r = diámetro / 2 = 10 / 2 El volumen de un cono es: V = Ab.h / 3 = π. r 2. h / 3 = π / 3 = 314 cm3 Sabemos que 1 litro = 1 dm3 Luego cm3 = 314 / 1000 dm3 = 0,314 dm3 = 0,314 litros @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

7 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_2 Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. El volumen de la pirámide será: V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = / 3 = = 75 cm2 En el cono: V = Ab. h / 3 = π. r 2 . h / 3 75 = π. r 2. 9 / 3 / π. 9 = r 2  8 = r 2 r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

8 Apuntes Matemáticas 2º ESO
TRONCO DE CONO Área lateral Es el área del segmento circular (parte de una corona circular) que se forma en su desarrollo. Al = (R+r).л.g Siendo R el radio del círculo de la base mayor. Siendo r el radio del círculo de la base menor. Y g la generatriz del tronco de cono. Área de la base Ab = л.R2 A’b = л.r2 Área total Es la suma del área lateral y de las bases. At = (R+r).л.g + л.R2 + л.r2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

9 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_1 La altura de un tronco de cono mide 12 cm y el radio de las bases miden 11 y 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = 3,1416.(R+r).g La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. g = √ [122 + (11-6)2)] = √ ( ) = = √ ( ) = √ 169 = 13 cm Luego: Al = 3,1416.(11+6). 13 = = 694,29 cm2 r=6 g h=12 R=11 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

10 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_2 La altura de un tronco de cono mide 72 cm. El diámetro de la base mayor mide 52 cm y el área de la base menor es de 659 cm2 . Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = 3,1416.(R+r).g Calculamos los radios: R=D/2 = 52/2 = 27 cm A’b=3,1416.r2 659=3,1416.r2  r2 = 659 / 3,1416 = 209,77  r = √ 209,77 = 14,48 cm La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. g = √ [722 + (27-14,48)2)] = √ ( ) = = √ ( ,67) = √ 5340,67 = 73,08 cm Luego: Al = 3,1416.(27+14,48). 73,08 = = 9523,30 cm2 A’b=659 cm2 g h=72 cm D=52 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

11 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_3 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 1. El volumen será: V = (π.R2+π. r2).h / 2 V = (π.112+ π.62).12 / 2 V = 942.π cm2 Ejemplo_4 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 2. V = 885,6704.π.R2+π. r2).h / 2 V = (π.262+ π.14,482).72 / 2 V = 2782, = ,1966 cm3 r=6 g h=12 R=11 r =14,48 g h=72 d=52 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO