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COEFICIENTE DE DETERMINACION ANALISIS DE VARIANZA PREDICCION P VALUE JARQUE VERA RESET RAMSEY CHOW RESIDUOS RECURSIVOS CUSUM Mag. Renán Quispe LLanos 2011.

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1 COEFICIENTE DE DETERMINACION ANALISIS DE VARIANZA PREDICCION P VALUE JARQUE VERA RESET RAMSEY CHOW RESIDUOS RECURSIVOS CUSUM Mag. Renán Quispe LLanos 2011 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Económicas Unidad de Postgrado MAESTRIA EN ECONOMIA CON MENCION EN GESTION Y POLITICA PUBLICA

2 Ejemplo: 10

3 yx β

4

5 ESTIMACION DE LA VARIANZA DEL TERMINO DE PERTURBACION

6 Calculando Varianza ˆ ˆ Reemplazando en la fórmula tenemos:

7 CONSTRUCCION DE INTERVALOS PARA I Para un nivel de significación del 5% observando en la tabla t de student: t (n-k) /2 = t (10-2)0.05/2 = t 8,0.025 = 2.306

8 Otra forma de expresarlo con prob.: Dado un coeficiente de confianza del 95% en el I.p si se construye cien intervalos repetidos con los límites siguientes y 0.919, en el 95% de ellos estarían verdadero parámetro poblacional. P( )=1-0.05=0.95

9 9 Es un indicador de la bondad de ajuste de la línea de regresión que mide la proporción de la variación total en la variable dependiente Y, que se explica o se debe a la variación de la variable independiente X. COEFICIENTE DE DETERMINACION (R 2 ) (X i, Y i ) YiYi XiXi

10 10 Planteada la relación inicial la misma se mantiene cuando se establece relaciones a partir de las sumatorias de sus desviaciones cuadráticas. Por un proceso matemático particular se da: SCT = SCR + SCE SCT: Variación total del Y i observado con respecto a la media muestral. La suma total de los cuadrados.

11 11 SCE: Variación de los valores estimados Y i con respecto a su media. Suma de los cuadrados Explicados SCR: Variación residual o no explicada de los valores de Y con respecto a la línea de regresión. Suma de los cuadrados residuales

12 PROPIEDADES : 1. Es una cantidad no negativa 2. Sus límites son Es decir que R varía entre cero y uno R 2 =1 cuando el ajuste es perfecto, es decir los valores observados coinciden perfectamente con la recta estimada R 2 0 es decir que no hay relación entre la variable dependiente y los variables explicativas. Este R 2 no mide el grado de asociación entre x e y, para lo cual se acude a otro indicador

13 13 COEFICIENTE DE CORRELACION Es una medida de asociación lineal entre dos variables Poblacional Muestral 1n yiyi 1n xx yyxx )y,x(Cov r 2 2 i i i y 2 x 2 y

14 PROPIEDADES : Sus límites son: Es de naturaleza simétrica, es decir el coeficiente de correlación entre X y Y (r xy ) es igual al coeficiente se correlación entre Y y X (r yx ) Si X, Y son estadísticamente independientes y el coeficiente de correlación es cero, pero si r=0 no implica necesariamente independencia. Es una medida de asociación lineal, es decir mide la asociación lineal entre dos variables.Negativa(-1) o positiva (1)

15 COEFICIENTE DE DETERMINACION MULTIPLE CORREGIDO En la medida que el numero de variables indepencientes se incrementa, se divide a cada uno de la sumatorias cuadráticas entre sus grados de libertad, obteniendo finalmente un cociente de varianzas.

16 Ejemplo:

17 Continuando con el ejemplo y remplazando en (1): En (2):

18 18 El análisis de varianza tiene por finalidad investigar la explicación conjunta de todas las variables explicativas intervinientes en el modelo, a partir del estudio de los componentes de la variabilidad total. SCT = SCR + SCE De donde se construye un estadístico de frecuencia conocido: ANALISIS DE VARIANZA

19 19 Planteamos la siguiente tabla: F = (valor calculado)

20 20 Planteamiento de Dócima de Hipótesis H 0 : 1 = 2 ; k = 0 H 1 : 1 0, 2 0; k 0 Bajo el enfoque de la prueba de significancia, se construye la región crítica de la siguiente manera: R.C. = { F > F k-1, n-k (tabla de la F)}

21 21 Del ejemplo del modelo de Ingreso-Consumo, se realiza los respectivos cálculos, para hallar el estadístico F: El F calculado, se compara con el de la tabla Entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir que el Consumo es explicado por la variable Ingreso.

22 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 22 ANALISIS DE VARIANZA PARCIAL Entonces: (que se compara con el de la tabla)

23 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 23 Docima de Hipótesis H 0 : r+1 = r+2 =......= s = 0 H 1 : r+1 r r+s 0 Bajo el enfoque de la prueba de significancia, se construye la región crítica de la siguiente manera: R.C. = { F C > F s,n-(r+s) (tabla)}

24 24 YX1X1 X2X2 X3X3 Año Consumo Privado YND Precios Relativos Tasas de Interés Ejemplo: Sea los datos sobre consumo privado y sus variables explicativas respectivas.

25 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 25 Incorporando las variables precios (PR) y tasa de interés (TI): C = YND + 3 PR + 4 IT C = YND PR IT (6.8825) (0.6418) (6.0295) t 19-4, 0.05/2 =2.131 La tabla de análisis de varianza será: C = YND C = YND t c ( ) ( ) Para el modelo de consumo Ingreso los estimadores son: R 2 = 83.2, (dato = 4000) F = 84.05

26 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 26 Entonces: (que se compara con el de la tabla)

27 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 27 F 2,15; 0.05 = 3.68 (tabla) Dado que: F C = < F 2,15; 0.05 = Se concluye que la incorporación de las variables precios relativos y la tasa de interés general no mejoran la explicación del modelo estando ya incorporada la variable ingreso disponible.

28 28 p value Es el valor exacto de la probabilidad, obtenida a partir de la información, el cual nos permite rechazar o no la hipótesis nula (dado un nivel de significancia) sin necesidad de recurrir al uso de tablas. Si el p value < α =1% ó 5%, se rechazará la hipótesis nula. Si el p value > α, se aceptará la hipótesis nula. α = Nivel de significación

29 29 p value Distribución t Distribución F 0 t c t 5% de área = α p value Zona de Aceptación 0 F c F 5% de área =α p value Zona de Aceptación

30 30 Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: Included observations: 5 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresión Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Por ejemplo, en el modelo Y t = β 1 + β 2 X 1t + β 3 X 2t ; tenemos las siguientes salidas: La probabilidad asociada (p value) tanto para el estadístico t, como para la prueba F, son superiores a 0.05 Se acepta la hipótesis nula de significancia individual y significancia conjunta, respectivamente

31 31 El estadístico Jarque Bera.- Determina como se encuentra afectado su valor por la presencia de un mayor apuntamiento (mayor a 3) o menor asimetría (cercano a cero) de las perturbaciones. A significa asimetría y C apuntamiento o curtosis Hipótesis: H 0 : Las perturbaciones tienen una distribución normal H 1 : Las perturbaciones no tienen una distribución normal

32 32 El estadístico Jarque Bera.- Permite verificar la normalidad de los residuos. La Ho es que los residuos se distribuyen normalmente. La probabilidad asociada al estadístico Jarque-Bera es mayor al 5%, entonces no se puede rechazar la Ho de normalidad de los residuos.

33 33 Ejemplo (pregunta del examen): La probabilidad asociada al estadístico Jarque-Bera es mayor al 5%, entonces no se puede rechazar la Ho de normalidad de los residuos.

34 34 Test de Reset de Ramsey Se realiza en dos etapas: 1º estima en modelo sujeto a análisis en su forma original: 2º se toma la serie estimada por los parámetros de la regresión anterior y se anexan sus potenciales enteras a la misma regresión como parámetros auxiliares Estadístico de prueba: H 0 : El modelo está correctamente especificado H 1 : El modelo no está correctamente especificado

35 35 Ejemplo En un modelo sobre el fondo Afuture (Y t ) en función a las tasas anuales de retorno (X t ), obtenemos el test de Ramsey: H 0 : El modelo está correctamente especificado H 1 : El modelo no está correctamente especificado El test de Reset Ramsey indica que añadiendo 2 términos al test Y 2, Y 3 el valor del estadístico F es 1.16 y la probabilidad asociada al error de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera es de 35.99% mayor al 5%; por lo tanto se acepta que el modelo está correctamente especificado. Ramsey RESET Test: F-statistic Probability Log likelihood ratio Probability

36 36 Test de Chow (Contraste de Cambio Estructural) El modelo restringido (MR) es: El modelo sin restringir (MSR) es : El estadístico F: H 0 : Ausencia de cambio estructural H 1 : Presencia de cambio estructural SRR: suma residual restringida es la que proviene de la estimación del modelo restringido (MR) SR1 y SR2: suma residual sin restringir es el agregado de las sumas residuales de cada una de las regresiones de las submuestras

37 37 Ejemplo (pregunta del examen): Probamos la posibilidad que exista un quiebre estructural en el año 1996: Rechazamos la hipótesis de que no hay cambio estructural al 95% de confiabilidad. Por lo tanto, concluimos que en 1996 se produjo un cambio estructural. Chow Breakpoint Test: 1996 F-statistic Probability Log likelihood ratio Probability

38 38 Residuos Recursivos (Contraste de Estabilidad) Se obtienen a partir de una estimación recursiva de los parámetros del modelo H 0 : Los parámetros son estables en el tiempo H 1 : Los parámetros no son estables en el tiempo

39 39 Residuos Recursivos Esquemáticamente el proceso se pude describir a partir del siguiente gráfico

40 40 Contraste de Suma Acumulada (Test Cusum) Consiste en la acumulación progresiva de los residuos recursivos que posteriormente se normalizan dividiéndolos entre la estimación insesgada de la desviación típica de la perturbación (S) r = k+1, k+2,..., n Donde: Debe oscilar entre: H 0 : Los parámetros son estables en el tiempo H 1 : Los parámetros no son estables en el tiempo

41 41 Contraste de Suma Acumulada (Test Cusum) La representación gráfica de este contraste dibujaría los residuos recursivos sobre el gráfico siguiente: W r k n r

42 42 Ejemplo (pregunta del examen): El estadístico CUSUM se mantiene dentro de las bandas de confianza, con lo cual se puede afirmar que los parámetros son estables a lo largo del período de análisis en un 95% de confianza.

43 43 Contraste de Suma Acumulada de Cuadrados (Test Cusum 2 ) Utiliza la suma acumulada del cuadrado de los residuos recursivos (numerador) y la Suma de Cuadrados de la totalidad de los Residuos Recursivos (denominador) r = k+1, k+2,..., n El valor esperado del estadístico oscila entre cero y uno; así, E(S r ) = 0 cuando r = k, y, cuando r = n, E(S r ) = 1.

44 44 Contraste de Suma Acumulada de Cuadrados (Test Cusum 2 ) SrSr E(S r ) + C 0 k n r E(S r ) E(S r ) - C 0

45 45 Ejemplo (pregunta del examen): El estadístico CUSUM 2 se mantiene dentro de las bandas de confianza, se afirma que los parámetros son estables a lo largo del período de análisis en un 95% de confianza.

46 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 46

47 47 PREDICCION Modelo: Modelo estimado: A. Predicción Puntual de La predicción puntual es la misma para un valor particular como para el valor promedio de la variable Las desviaciones standart son diferentes: Para el valor promedio es Para el valor particular es

48 48 B. Intervalo de Confianza de una predicción (α=Nivel de significancia): Para el valor promedio Para un valor particular Con n-k g.l. y con un nivel de significancia

49 49 Ejemplo: Sea los datos sobre consumo privado (y) y sus variables explicativas respectivas: X 1 : Ingreso disponible (YND), X 2 : precios relativos (PR) y X 3 : tasas de interés (IT). El modelo con las variables Y y X 1 será: C = YND C = YND t c ( ) ( )

50 50 R 2 = 83.2, (YND t+1 = 4000) El Intervalo de Confianza para el valor promedio es: dado: t 19-2,0.05/2 =2.093 Entonces: [ (78.68)] = [261982, ]

51 Consultoria Virgen del Carmen S.A. 51 Error de Predicción se define como la diferencia entre el valor de la variable a predecir y la predicción obtenida: las fuentes del error de predicción son: a.El error en la estimación del vector β b.El error en la predicción del vector X n+1 c.El error estocástico inherente al modelo,

52 52 El coeficiente de Theil (U).- Fórmula de cálculo:

53 53 En este caso el coeficiente de Theiles 0.059, es pequeño, por lo tanto el modelo es bueno para predecir. En este caso el coeficiente de Theil es 0.059, es pequeño, por lo tanto el modelo es bueno para predecir. El coeficiente de Theil (U).- Mide la calidad del modelo para predecir. Oscila entre 0 y 1. Si U = 0, existe un ajuste perfecto y el modelo es bueno para predecir. Si U = 1, el modelo es muy malo para predecir.

54 54 Ejemplo (pregunta del examen): En este caso el coeficiente de Theiles , es pequeño, por lo tanto el modelo es bueno para predecir. En este caso el coeficiente de Theil es , es pequeño, por lo tanto el modelo es bueno para predecir.


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