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1 Saber Contar Regla de Laplace (Definición clásica) Ejemplo: Espacio muestral discreto y finito, con n sucesos simples: ¿cúantos subconjuntos (sucesos.

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1 1 Saber Contar Regla de Laplace (Definición clásica) Ejemplo: Espacio muestral discreto y finito, con n sucesos simples: ¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

2 2 Principio multiplicativo (ilustración gráfica) El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a 1 y a 2. El segundo de tres maneras distintas: b 1, b 2 y b 3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c 1 y c 2. El total de posibilidades será: = 12 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 b1b1 b2b2 b3b3 b1b1 b3b3 b2b2 a1a1 a2a2

3 3 = {a,b,c} Espacio muestral discreto y finito, con n=3 sucesos simples Sucesos compuestos: Principio multiplicativo El total de subconjuntos posibles será: = 8 para n elementos : 2 n b no-b a no_a b no-b c no-c c c c {a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø}

4 4 Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

5 5 La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. Introducción a la combinatoria Ian Anderson Combinatoria El arte de contar

6 6 Combinatoria-I (simple) Número de formas de colocar n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o extraer r elementos de un conjunto de n objetos) Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones Permutaciones/Variaciones: El orden importa ab es distinto a ba Combinaciones: El orden no importa ab se considera igual a ba Tanto las Permutación, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repetición (o reposición) de los objetos o elementos: aa bb Permutaciones/Variaciones/Combinaciones con/sin repetición

7 7 Combinatoria-II (simple) Variaciones: El orden importa Variaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden. Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1) {a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6 {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 3 2 =9 Variaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, y pudiendo repetirse. Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos

8 8 Combinatoria-III (simple) Permutaciones sin repetición (recordad 0! = 1): Permutaciones con repetición: {a,b,c} Permutaciones sin repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6 {a,b,c} Permutaciones con repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 3 3 =27 Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones)

9 9 Combinatoria-IV (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden {a,b,c} escoger r=2 de n=3 –sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3 En las Combinaciones, al no importar el orden, el número de Variaciones se reduce en un factor igual al número de ordenaciones de los r elementos:

10 10 Combinatoria-V (simple) Combinaciones: El orden no importa {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6 Combinaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse.

11 11 Ejemplos

12 12 Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? (Sucesos equiprobables) Nº casos posibles: El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen n n maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n accidentes en n días, un accidente cada día....

13 13 Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? Para siete accidentes de tráfico en una semana: p(7) = 7! / 7 7 = (anti-intuitivamente baja) Nº casos posibles: n n El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen n n maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repetición de n-elementos tomados de n en n: n!

14 14 ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un número enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × Explosión combinatoria Nota: 0! = 1

15 15 Fórmula de Stirling La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, queStirlingApproximations imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición. James Stirling presentó su fórmula en Methodus Differentialis publicado en 1730.

16 16 Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables). Casos posibles: VR 10,7 = 10 7 Casos favorables: V 10,7 = n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7 El orden importa – Variaciones Favorables: Dos no en el mismo piso -> no repetición

17 17 Algunas Propiedades El binomio de Newton (a + b) 2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. (a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

18 18 Teorema del binomio Demostrar:


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