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Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Lección 3: Conceptos básicos.

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Presentación del tema: "Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Lección 3: Conceptos básicos."— Transcripción de la presentación:

1 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII Lección 3: Conceptos básicos

2 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA Es el único procedimiento (frente a optimización gráfica y analítica que permite abordar problemas complejos. Problema: dificultad en encontrar el óptimo global en algunos casos. Normalmente sólo conocemos el valor de un punto (x k y f(x k )) y alguna información local adicional (derivadas,…) 1.Determinar un buen siguiente punto que mejore la función objetivo 2.Comprobar si se puede seguir mejorando. Si se puede volver al punto 1. 3.Parar en un mínimo local. Procedimiento básico de optimización numérica ¿Cómo continuo?

3 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII x1x1 x2x2 Optimización numérica empleando información local A partir del punto inicial, cómo decidimos: La dirección del cambio La distancia en esa dirección Si es posible mejorar más OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA

4 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII La ecuación básica: x1x1 x2x2 OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA

5 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII NUMERICAL OPTIMIZATION Determina el tamaño del cambio >0 vector escalar Determina la dirección del cambio x >0

6 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII NUMERICAL OPTIMIZATION ¿Cómo determinamos and x? ¿Cómo sabemos cuando parar? Una dirección posible Que mejore la función objetivo Debe permanecer en la región factible No es demasiado grande, hace que la función objetivo pueda disminuir

7 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII Una región es convexa si todos los puntos de una línea que conecta dos puntos de la región están en dicha. CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

8 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII Convexidad y la función objetivo. Una función de x (vectorial) es convexa si cumple: Donde 0 1. f(x) x ¿Es convexa esta función? CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

9 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII La minimización de una función convexa sobre una región convexa tiene la siguiente propiedad: ¡Un mínimo local es también un mínimo global! CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES Programación convexa

10 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII ¿Es convexa la función objetivo de la figura? x1x1 x2x2 CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES

11 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII We want to minimize the function for each of the problems below. Determine the minimum. Then, generalize the result - what are the conditions for a local minimum, global minimum? PROBLEM FEATURES Help us understand optimization

12 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII f(x) esH(x) esx T H(x)xValores propios Strictly convex positive definite >0 Convexpositive semi definite >=0 Strictly concave negative definite <0 Concavenegative semi definite <=0 Determinación de la convexidad de una función H(x) es el Hessiano (segunda derivada de la matriz)

13 Optimización de procesos químicos DIQUIMA-ETSII f(x)=2x x 1 x 2 +2x 2 2 f(x)=x 1 2 +x 1 x 2 +2x 2 +4 f(x)=2x 1 -3x x 1 2 +x 2 >=1 x 1 -x 2 >=-2 Las siguientes restricciones: ¿forman una región convexa? ¿Son convexas las siguientes funciones? g 1 (x)=-x 1 2 +x 2 -1>=0 g 2 (x)=x 1 -x 2 +2>= l 1 =1,l 2 =7 l 1 =1+ 2,l 2 =1- 2 l 1 =0,l 2 =0 convexa convexa y cóncava ?? convexa convexa y cóncava CONVEXA


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