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Tema 1.- Lenguajes. Gramáticas 1. Definiciones. 2. Operaciones con lenguajes: -Booleanas. -Concatenación. Potencia. Cierre estrella. -Cocientes. -Reverso.

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1 Tema 1.- Lenguajes. Gramáticas 1. Definiciones. 2. Operaciones con lenguajes: -Booleanas. -Concatenación. Potencia. Cierre estrella. -Cocientes. -Reverso. -Sustitución. Homomorfismo. Homomorfismo inverso. 3. Gramáticas. 4. Tipos de gramáticas. 5. Propiedades de cierre.

2 1. Definiciones. Alfabeto Palabra, cadena o frase Palabra vacía Longitud de una palabra 0 si x = | x | = | y | + 1 si x = ya (con a, y palabra sobre ) Ej. = {a, b} Ej. x = abbab n : conjunto de todas las palabras de longitud n sobre Concatenación: Si x = a 1 a 2...a m e y = b 1 b 2...b n se define xy = a 1 a 2...a m b 1 b 2...b n Propiedades. 1. Asociativa 2. Elto. neutro ( ) Lenguaje: cualquier subconjunto de *.

3 2. Operaciones con lenguajes. -Booleanas. Unión L 1 L 2 ={x * : x L 1 x L 2 } Intersección L 1 L 2 ={x * : x L 1 x L 2 } Complementación L = {x * : x L} Diferencia L 1 - L 2 = L 1 L 2 Diferencia simétrica L 1 L 2 = (L 1 - L 2 ) (L 1 - L 2 )

4 -Concatenación. Potencia. Cierre estrella. -Concatenación de lenguajes. L 1 L 2 = {x y * : x L 1 y L 2 } -No conmutativaL 1 L 2 L 2 L 1 -AsociativaL 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) L 3 -AnuladorL 1 = -Distributiva respecto de la unión L 1 (L 2 L 3 ) = L 1 L 2 L 1 L 3 -No distributiva resp. intersección L 1 (L 2 L 3 ) L 1 L 2 L 1 L 3 Ej: L 1 = {a, ab}, L 2 = {a}, L 3 = {ba} Propiedades.

5 -Cierre estrella. - Potencia de un lenguaje. { } si n = 0 L n = L n -1 L si n > 0 -Cierre positivo. -Potencia. Cierre estrella. Cierre positivo Relación.

6 -Propiedades

7 -Cociente de un lenguaje por una palabra. -Propiedades Por la derecha -Por la izquierda

8 -Cociente de lenguajes. -Por la derecha -Por la izquierda

9 -Reverso de una palabra. Si x = a 1 a 2...a m se define x r = a m a m-1...a 1. -De manera recursiva xsi x = x r = ay r si x = ya, y *, a -Propiedades 1.- (xy) r = y r x r 2.- (x r ) r = x -Reverso de un Lenguaje. L r = {x r : x L} -Propiedades 1.- (L 1 L 2 ) r = L 2 r L 1 r 2.- (L r ) r = L

10 Sustitución -Dados los alfabetos y se define -Extensión a palabras (sustitución): Sustitución en un lenguaje Homomorfismo -Dados los alfabetos y un homomorfismo es h: * -Extensión a palabras h : * * h(L)={h(x) : x L} Homomorfismo inverso: h -1 (y) = {x * : h(x) = y} h -1 (L) = {x * : h(x) L} - Sustitución. Homomorfismo. Homomorfismo inverso

11 G = (N,, P, S) N = conjunto de terminales. = alfabeto. P = conjunto de reglas de producción. S N, axioma P V*NV* V* (, ) P se denota 3. Gramáticas Ejemplo: L = {a n b 2n : n 1} G = ( {S}, {a, b},, S )

12 , V*, deriva directamente en en G ( ) si: = = con deriva en en G ( ) si existe 1, 2,... n V* : 1 =, n = y además i = 1..n - 1 V* es una forma sentencial de G si. Si *, es una palabra generada por G. Lenguaje generado por G G equivalente a G si L(G) = L(G )

13 4. Tipos de Gramáticas Regulares (tipo 3): A, B N. a, b { } a) Lineales por la derecha: A aB | b b) Lineales por la izquierda: A Ba | b Incontextuales (tipo 2): A con A N, V* Contextuales (tipo 1): con A N;, V* ; V + - Formas sentenciales de longitud no decreciente - a condición de que... No restringidas (tipo 0) L 3 L 2 L 1 L 0 L0L0 L3L3 L2L2 L1L1

14 5. Propiedades de cierre - Dada G = (N,, P, S) existe G equivalente a G sin terminales en parte izquierda de reglas de producción. -Si tenemos la regla aA a con A N,, V* a la sustituimos por las reglas X a A X a X a a que producen el mismo efecto - Todo lenguaje finito es de tipo 3. Ej. El lenguaje L = {aba, ac} se puede generar con la gramática S aA A bB | c B a

15 Cierre respecto de la Unión de Lenguajes L, L L i L L L i Dadas G = (N,, P, S) con L = L(G) G = (N,, P, S) con L = L(G) y N N = Si i 1 Sea G = (N,, P, S) con: N = N N {S} = P = P P {S S | S} Si i = 1 y L L, Sean L 1 =L-{ } y L 2 =L - { } Construcción anterior para L 1 L 2 L L = L 1 L 2 { }. Se añade S

16 Cierre respecto de la Concatenación de Lenguajes L, L L i L L L i Dadas G = (N,, P, S) con L = L(G) G = (N,, P, S) con L = L(G) tales que N N =, P y P sin terminales en parte izda. Si i = 0, 2 que no sean de tipo 1 y 3, Sea G = (N,, P, S) con: N = N N {S}, =, P = P P {S S S } Si i = 1 y L o L, Sean L 1 =L-{ } y L 2 =L - { } Construcción anterior para L 1 L 2 L L = L 1 L 2 L 1 L 2 { } si L y L = L 1 L 2 L 1 si L y L = L 1 L 2 L 2 si L y L Si i = 3 G = (N,, P, S) con N = N N, =, P = P 1 P con P 1 = P salvo las reglas A a que pasan a ser A aS si a

17 Cierre respecto de la Clausura de Kleene L L i L * L i Solo para tipo 3: Dada G = (N,, P, S) con L = L(G) Sea G = (N {S 0 },, P P P, S 0 ) con: P = {A a S 0 : A a P } P = {S 0 | S } L(G) = L* Cierre respecto de la inversión L L i L r L i Dada G = (N,, P, S) con L = L(G) Sea G = (N,, P, S 0 ) con: P = { r r : P } (Las de tipo 3 l.d. Pasan a ser l.i.) L(G) = L r


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