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1 Autómatas Finitos. 2 Ejemplo de una máquina expendedora de periódicos (que no dá cambio) 3025201510 5 0 ddddd n nnnn n d q qqq q q n,d,q El periódico.

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1 1 Autómatas Finitos

2 2 Ejemplo de una máquina expendedora de periódicos (que no dá cambio) ddddd n nnnn n d q qqq q q n,d,q El periódico cuesta 30 centavos n: niquel (5c) d: dime (10c) q: quarter (25c)

3 3 Definición informal de autómata Máquina: es una secuencia o ciclo de acciones. Autómata finito: es un modelo matemático de una máquina el cual tiene un conjunto finito de estados y su control se mueve de estado a estado (transiciones). –Autómata determinista: el autómata no puede estar en más de un estado a la vez. Las transiciones se efectúan en respuesta a entradas o estímulos externos. Estas entradas son símbolos de un alfabeto. –Autómata no-determinista: el autómata puede estar en varios estados al mismo tiempo. Las transiciones de un estado a otro pueden ocurrir de manera espontánea, es decir, en respuesta a la palabra vacía como entrada. Veremos que un autómata no-determinista se puede convertir en un autómata determinista equivalente (¿?) el cual puede ser ejecutado por una computadora convencional.

4 4 Caricatura de un autómata finito a b abba q0q0 q1q1 q2q2 q4q4 q3q3 qiqi qnqn Cinta de entrada Cabeza lectora Control Luz de aceptación

5 5 Definición formal de un AFD Un Autómata Finito Determinístico (AFD) es un quinteto (K,,, s 0, F) donde K es un conjunto finito no-vacío de estados. es el alfabeto de entrada (conjunto finito no-vacío de símbolos). : K K es la función de transición. s 0 K es el estado inicial. F K es el conjunto de estados finales. Determinístico: para cada combinación de s K y a, la función especifica uno y sólo un estado de transición.

6 6 Notación gráfica Estado inicial: > Estado final: Transiciones: a > q0q0 q1q1 q2q2 a a b b a b

7 7 Notaciones Un AFD puede considerarse como un grafo dirigido G = (V, E) –V = S –E = {((s, a), t) | s, t S, a y (s,a) = t} La función de transición puede expresarse como una tabla. Por ejemplo

8 8 ¿Para que sirven los AFD? Si al procesar una palabra completa el estado al que se llega es uno de los estados finales, entonces decimos que el AFD acepta la palabra. Un poco más formalmente: extendemos la función a una función para cubrir cadenas en lugar de sólo letras. Así, si s es un estado y w es una cadena, entonces (s, w) es el estado en el que se termina cuando se empieza en s después de procesar en orden todas las letras de la palabra w. La función es llamada función de transición extendida. Decimos que un AFD M = (K,,, s 0, F) acepta una palabra w si y sólo si (s 0, w) F. Decimos que un AFD M = (K,,, s 0, F) rechaza una palabra w si y sólo si (s 0, w) F. El lenguaje aceptado por una máquina M = (K,,, s 0, F) es el conjunto de palabras aceptadas por dicha máquina. El lenguaje aceptado por M se denota por L(M), es decir, L(M) = {w * | (s 0, w) F}

9 9 Ejemplo q0q0 q1q Este AFD acepta palabras con un número impar de 1s

10 10 Ejercicio Diseñar un AFD que acepta las palabras con un número par de as y un número par de bs. La función de los estados es la de contar el número de as y el número de bs, pero contarlas módulo 2, es decir, los estados servirán para recordar si el número de as que se han leído es par o impar y también recordar lo correspondiente para el número de bs. Hay cuatro estados. –q0: tanto el número de as como de bs que se han leído es par. –q1: el número de as es par pero el número de bs es impar. –q2: el número de as es impar pero el número de bs es par. –q3: el número de as es impar y el número de bs es impar.

11 11 Ejemplo a a a a b b bb (0,0) (1,0) (1,1)(0,1) Acepta cadenas con un número par de as y un número par de bs.

12 12 Ejemplo S0S0 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 a a a a a a,b b b b b b Acepta palabras que contienen ababb

13 13 Ejemplo S0S0 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 a a a,b a a b b b b Acepta palabras que contienen ababb o abbbb

14 14 Ejemplos q0q0 q1q1 q2q2 a a,ba,b a bb M1M1 Acepta palabras que contienen bb, es decir (a+b) * bb (a+b) *. M2M2 Acepta palabras que no contienen aa, es decir (b+ab) * (a+ ). q0q0 q1q1 q2q2 b a,ba,b b aa

15 15 ¿M 1 M 2 ? q1q1 q2q2 q3q3 a a,ba,b ab q0q0 q5q5 a b q4q4 b ba b a Acepta palabras que contienen bb o no contienen aa es decir (a+b) * bb (a+b) * + (b+ab) * (a+ ).


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