TEORÍA DE LA DECISIÓN ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

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1 TEORÍA DE LA DECISIÓN ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

2 Introducción Tomador de decisiones Constructor del modelo (analista)

3 Introducción ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P. Modelos determinísticosResultados Se juzgan Modelos probabilísticos Resultados Riesgo Se juzgan

4 Introducción ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P. Identificar el problema y los objetivos del mismo Revisar las alternativas de decisión Descomponer y modelar el problema Elegir la mejor alternativa Implementar la decisión Se requiere algún otro análisis si no Diferentes criterios de decisión Diferente tipo de información y calidad de la misma

5 Introducción Acciones y Eventos: Se asume que cada actividad posible es conocida por el decisor (persona u organización) y se puede escoger sólo una. Acciones (notación a): potenciales actividades del decisor. Evaluar consecuencias (Dependen del estado de la naturaleza) ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

6 INTRODUCCIÓN Evento o Estado de la naturaleza: representado por θ, es una representación de una situación del mundo real a la cual se aplica la acción. Resultados: Determinados parcialmente por la escogencia y parcialmente por el azar. Función de pagos: l (a, θ ) ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

7 Un caso de ejemplo Se considera la alternativa de llevar o no paraguas durante un día determinado. Existen dos posibilidades: llevar un artículo que puede en caso de lluvia, favorecer el vestido o desafiar los elementos con las manos libres, esperando que no llueva. La falta de habilidad para predecir el tiempo, nos causa incertidumbre sobre si va o no a llover. No obstante debemos tomar una decisión a pesar de la incertidumbre. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

8 Acciones: a 1 : llevar paraguas a 2 : No llevar paraguas Eventos: θ 1 : llueve θ 2 : no llueve Definir función de costos ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

9 Tabla de Pagos La función de costos debe representar una ganancia o un costo (De manera general se mide en términos monetarios). El decisor desea escoger una acción que lo acerque a un objetivo. El decisor debe conocer todas las acciones potenciales a su disposición, los eventos mutuamente excluyentes que se pueden presentar y los valores numéricos que representan las consecuencias originadas por las ocurrencias de los eventos. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

10 Ejemplo Un fabricante tiene la posibilidad de adquirir una máquina cuyo costo es de 50, produce ingresos anuales de 60 durante tres años y el costo anual de operación es de 24. Si compra la máquina, el fabricante puede venderla al final del primer año en 30 o seguir con ella y hacerle mantenimiento a un costo de 10. Al final del segundo año él puede venderla en 15 o continuar con ella y hacerle mantenimiento a un costo de 25. Al final del tercer año la máquina concluye su vida útil y carece de valor. Si la máquina se vuelve obsoleta tecnológicamente, ella no tendrá valor de rescate y el fabricante no obtendrá ganancia alguna en el año en que se presente la obsolencia. Como el fabricante no tiene la obligación de adquirir la máquina, una de las acciones que él podría adoptar sería a 1 : no comprar la máquina. Las otras acciones que podría adoptar el fabricante serían, a 2 : comprar la máquina y venderla al final del primer año, a 3 : comprar la máquina y venderla al final del segundo año y a 4 : comprar la máquina y seguir con ella durante los tres años de vida útil. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

11 En cuanto a los eventos se refiere, se pueden presentar los siguientes, θ i la obsolencia tecnológica ocurre en el i-ésimo año (i=1, 2, 3) y θ 4 : la obsolencia tecnológica no se presenta durante el período útil de la máquina Asumir que cuando el fabricante no compra la máquina, no tiene ni ganancias ni pérdidas puesto que podría invertir su capital en otra actividad económica ¿Cuál es la mejor decisión? ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

12 Tabla de ganancias para el fabricante Acciones Eventos a1a1a1a1 a2a2a2a2 a3a3a3a3 a4a4a4a4 θ1θ1θ1θ10-50-50-50 θ2θ2θ2θ2016-24-24 θ3θ3θ3θ301627-13 θ4θ4θ4θ40162723 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

13 Función de pagos continua Cuando el evento o estado de la naturaleza θ, es una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, la función de pagos es continua para cada acción que se escoja. Puesto que es necesario conocer el pago asociado a cada acción y a cada valor posible del evento, es improcedente en este caso el uso de una tabla de pagos. Implícitamente se señalan los pagos para cada evento-acción, describiendo una función para cada acción. Las funciones así descritas permiten calcular el pago, para cualquier valor particular de θ que se desee especificar. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

14 Ejemplo Un fabricante elabora cierta varilla de longitud constante y de diámetro θ, 0 < θ <1. El costo de producción de cada varilla es de 10 θ y su precio de venta es 5. Se asume que el fabricante adopta solamente las acciones, a 1 : elaborar la varilla y a 2 : no elaborar la varilla, en cuyo caso no obtendría beneficio alguno. Defina la función de pagos ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

15 Observación: Cuando en un problema de decisión, θ es una variable discreta que toma un número infinito de valores, también es improcedente el uso de la tabla de pagos, a menos que se requiera sólo una parte de ella para analizar el problema. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

16 Criterios de Decisión Revisaremos los criterios más simples para la toma de decisiones. Iniciaremos con dos criterios donde los problemas pueden resolverse, sin recurrir a las probabilidades de los eventos. Posteriormente analizaremos los criterios en los cuales se hará uso de las probabilidades a fin de calcular el pago esperado. En el estudio de todos los criterios se asumirá que el decisor dispone de n acciones: a 1, a 2,…, a n y que se pueden presentar m eventos: θ 1, θ 2, …, θ m ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

17 Acciones dominadas En los problemas de decisión con muchas acciones, es conveniente reducir el problema tanto como sea posible. Para lograr esta reducción se comparan las diversas acciones entre sí y se descartan las que sean dominadas por otra u otras. Decimos que la acción a está dominada por una acción a, si los pagos para ésta son mejores que los pagos para aquella, sin importar el evento que se presente. En otras palabras, la acción a domina a la acción a si, l (a, θ i ) l (a, θ i ) i=1,2,…,m Cuando los pagos indican ganancias y l (a, θ i ) l (a, θ i ) i=1,2,…,m Cuando los pagos indican costos. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

18 Ejemplo Una empresa de construcción está interesada en comprar lotes de 2, 4 o 6 láminas, la cuales debe adquirir antes de conocer el número requerido de ellas. El costo de cada lámina depende de su espesor; si él es menor de 5 milímetros su costo será de 80, mientras que si él es de 5 o más milímetros su costo será de 120. Todas las láminas producidas son de espesor inferior a 5 milímetros o todas son de espesor superior o igual a 5 milímetros. El número de láminas producidas de espesor inferior a 5 milímetros es aproximado por una distribución Geométrica con parámetro 0.25 y el número de láminas producidas con espesor mayor o igual a 5 milímetros es aproximado por una distribución Geométrica de parámetro 0.4. Cuando la empresa necesita más láminas que las adquiridas, debe comprar las unidades faltantes con un sobrecargo de 30 por lámina. Por el contrario, cuando la empresa emplea menos láminas que las adquiridas, cada unidad sobrante la vende con un descuento de 40 sobre el precio que ha pagado por ella. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

19 Tabla de Costos para la Empresa de Construcción Espesor Láminas ordenadas 246 < a 5 mm. >= a 5 mm.

20 CONCLUSIÓN Concluya de acuerdo a los resultados de la tabla de pagos si existe alguna acción que domina a las otras. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

21 CRITERIOS MINIMAX Y MAXIMÍN Si conociéramos con certeza el evento que se puede presentar, sería sencillo hacer la elección de la acción correcta, es decir, la acción que tenga el costo mínimo o la ganancia máxima. Enunciaremos el principio minimax. Este principio propone al decisor que se encuentre el costo máximo, (la pérdida máxima), para cada una de sus acciones y que elija aquella que tenga el menor costo máximo (la menor pérdida máxima). De acuerdo con el criterio minimax, el decisor debe escoger la acción a k obtenida estableciendo el costo minimax, l (a k, θ r )=min {máx l (a j, θ i )} 1 jn 1 i m Siendo (a k, θ r ) la entrada de la tabla de pagos en donde se halla el costo minimax ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

22 El criterio minimax se puede aplicar a situaciones que involucran ganancias, trocando la regla especificada, esto es, seleccionando la acción que tenga el máximo de ganancias mínimas. Este criterio es conocido como el criterio maximín, es idéntico al anterior en el sentido de que la ganancia puede verse como una pérdida negativa. De acuerdo al criterio maximín el decisor debe escoger entonces la acción a k obtenida estableciendo la ganancia maximín, esto es l (a k, θ r )=máx {mín l (a j, θ i )} 1 jn 1 i m Siendo (a k, θ r ) la entrada en la tabla de pagos en donde se halla la ganancia maximín. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

23 Ejemplo Una empresa de transporte aéreo está interesada en adquirir un nuevo tipo de avión y desea determinar el número de motores de repuesto que acompañarán a la orden. La empresa debe ordenar estos repuestos en lotes de 3 unidades y sólo se pueden escoger 3,6 o 9 unidades. El fabricante tiene dos plantas de producción y la empresa debe tomar su decisión antes de conocer qué planta será usada. De la experiencia pasada se sabe que el número de motores de repuesto requeridos cuando la producción se hace de la planta A es aproximado por una distribución de Poisson con media 4, mientras que el numero de motores de repuesto requeridos cuando la producción se hace en la planta B, es aproximado por una distribución de Poisson con media 8. El costo de un motor de repuesto comprado ahora es de 250 y si su compra se hace en fecha posterior su costo será de 400. Los repuestos debe suplirse tan pronto se demanden y los no usados serán desechados cuando el avión se vuelva obsoleto. Las acciones que podrá adoptar la empresa transportadora son a 1, a 2 y a 3, que corresponden a ordenar 3, 6 y 9 motores de repuesto respectivamente. Por otra parte, los eventos vienen a ser las dos plantas disponibles. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

24 Tabla de costos para la empresa de transporte Motores de repuesto solicitados Planta utilizada 369 A1288,81577,62254,8 B2755,62440,02533,6 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

25 Conclusión Si suponemos que la empresa de transporte desea escoger la acción que le asegure un resultado favorable sin importar la planta que sea utilizada. Esto puede hacerse adoptando un punto de vista pesimista, señalando el costo más alto para cada acción, indiferente de la planta que sea utilizada. Cuando la empresa solicita 3,6 y 9 motores de repuesto el costo más alto es 2755,6, 2444,0 y 2533,6 respectivamente. Por esta razón la acción minimax es: solicitar 6 motores de repuesto ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

26 Criterio de Bayes Consideremos el problema de decisión dado en la siguiente tabla de ganancias: ACCIONES EVENTOSa1 a2a2a2a2 θ1θ1θ1θ10-4 θ2θ2θ2θ2440000 26 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

27 Aunque a 1 es la acción maximín, la acción a 2 representaría una mejor elección si el evento θ 2 tiene una buena posibilidad de ocurrir. Como se observa, se tiene una deficiencia del criterio maximín como la de ser un criterio de decisión muy conservador. En general las acciones que se adoptan utilizando el principio maximín o minimax, suponen que la naturaleza es un oponente consciente, quien desea infringir al decisor tanto daño como le sea posible. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.27

28 En algunas situaciones el decisor tendrá cierta información sobre los eventos que pueden ocurrir. Evidentemente el decisor debe tener en cuenta esta información que por lo general se puede resumir en una distribución de probabilidad, llamada distribución a priori. A menudo este tipo de distribuciones son subjetivas, en el sentido de que pueden depender de la experiencia o intuición de una persona La incertidumbre de un evento será medida de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.28

29 Es importante reconocer que dos personas diferentes en la misma situación pueden asignar dos probabilidades distintas al mismo evento Una asignación de probabilidad refleja tu experiencia pesonal respecto a la ocurrencia de un evento, es decir, la incertidumbre medida es TU incertidumbre Personas distintas pueden tener diferente conocimiento acerca del evento en cuestión Incluso personas con los mismos conocimientos pueden diferir en la opinión de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Usualmente las probabilidades de este tipo se denominan probabilidades subjetivas La obtención de probabilidades subjetivas es un punto clave en análisis de decisiones y predicciones. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.29

30 El criterio de Bayes es un procedimiento que utiliza la distribución a priori con el fin de ayudar en la selección de una acción. Para cada acción evaluamos el pago esperado con respecto a esta distribución, este pago será representado por: l (a j )=E θ [ l (a j, θ )], j=1,…,n ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.30

31 El criterio de Bayes, indica al decisor que seleccione aquella acción, llamémosla a k, que de lugar al pago esperado óptimo. Este pago, notado por l *(a k ), viene dado entonces por l *(a k )=Optimo{ l (a j )=} 1jn La decisión más conveniente no necesariamente es única. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.31

32 Ejemplo Una empresa está considerando la contratación de tres personas. El campo principal de cada uno de los probables empleados y sus salarios anuales son: PersonaEspecialidadSalario 1Publicidad12 2Ventas15 3Ventas18 32 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

33 El beneficio anual bruto (ingreso menos todos los costos excepto sueldos), que aportaría cada uno de ellos a la empresa, depende del estado de la economía y es el que aparece en la siguiente tabla Estado de Economía Persona 1 Persona 2 Persona 3 Bueno181832 Regular121624 Pobre101216 33 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

34 La especialidad de la persona 1 se complementa con la especialidad de las personas 2 y 3, razón por la cual, cuando aquella es contratada con una de éstas, el beneficio anual bruto que aportaría cada una de ellas sería del 120 % del dado anteriormente. Por otra parte, como las personas 2 y 3 se desempeñan en el mismo campo, si son contratadas el beneficio bruto para cada una sería sólo del 70% del señalado anteriormente. De acuerdo con la información que tien a su disposición la empresa se conoce que en un año cualquiera, el estado de la economía es bueno, regular y pobre, con probabilidades 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente. Determine las posibles acciones que podría adoptar la empresa. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.34

35 Tabla de los beneficios netos para la empresa Personas contratadas Est. Economía Prob a0a0a0a0 a1a1a1a1 a2a2a2a2 a3a3a3a3 a 12 a 13 a 23 a 123 Bueno0.60631416.230,02.018.6 Regular0.300166.613.2-5.03 Pobre0.10-2-3-2-0.61.2-13.4-9.48 Beneficio esperado 03.41.810.011.6421.84-1.6411.11 35 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

36 Criterio de máxima verosimilitud En este modelo, el interés se centra en el evento que tiene la mayor probabilidad, con la exclusión de los otros eventos. De esta manera, de las entradas que corresponden al evento con esta probabilidad, se escoge la acción más conveniente, obteniéndose así la acción de máxima verosimilitud. Formalmente, si θ r (1rm) es el evento más probable, se debe escoger la acción a k para la cual ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.36

37 l (a k, θ r )=Optimo{ l (a j, θ r )} 1jn ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.37

38 Ejemplo Una compañía tiene una máquina que llena frascos con aceite. En un trabajo de producción, sea θ la proporción de frascos que la máquina llena mal. Un trabajo de producción consiste en envasar 5000 frascos y el costo de llenar mal un frasco es 4. La compañía tiene la opción de contratar un experto que ajuste la máquina, a un costo de 300 más dos por cada frasco mal envasado. De experiencias anteriores la compañía ha encontrado que el valor de, θ es 0.01, 0.03, 0.05 o 0.07 con probabilidades 0.1, 0.2, 0.4 y 0.3 respectivamente. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.38

39 Las acciones que podría adoptar la compañía son: a 1 :contratar un experto para ajustar la máquina. a 2 : no contratar experto alguno. Determine la función de pagos. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.39

40 Tabla de costos Acciones Proporción θ Probabilida des a1a1a1a1 a2a2a2a2 0.010.1400200 0.030.2600600 0.050.48001000 0.070.310001400 40 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

41 Conclusión Es más probable que la máquina envase mal el 5% de los frascos, vemos que, la acción de máxima verosimilitud para la compañía es a 1. El costo más probable es 800 Si se compara este resultado con el criterio de bayes, ¿cuál sería la acción a tomar? Compare ahora con el criterio minimax ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.41