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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. 1 TEORÍA DE LA DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Maestría en Riesgo Financiero.

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1 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. 1 TEORÍA DE LA DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Maestría en Riesgo Financiero

2 2 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Toma de decisiones con información experimental En ocasiones, la asignación de una probabilidad a priori, puede ser obtenida de una manera subjetiva, dependiendo del conocimiento o experiencia del decisor. Por otro lado, se puede también obtener una probabilidad a priori de una manera objetiva, mediante la información proveniente de un experimento, por lo general un muestreo, con el cual se busca reducir la incertidumbre en la consecución, no sólo de las probabilidades a priori sino también de las probabilidades a posteriori.

3 3 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Regla de Bayes La regla de Bayes, se utiliza para combinar la distribución a priori y la información muestral, con el fin de determinar la mejor acción que se debe adoptar. Para ver esta combinación consideremos la variable aleatoria (θ,X), donde θ señala un evento o estado de la naturaleza y X indica la información obtenida a partir de un experimento que podría consistir en la toma de una muestra aleatoria. Cuando ambas variables son discretas, la distribución a posteriori de θ dada X=j, puede expresarse en la forma:

4 4 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Regla de Bayes

5 5 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo Ante la decisión de perforar o no en busca de petróleo, el dueño de un terreno contempla la contratación de un geólogo para conducir un examen exploratorio detallado. Puesto que nunca dos sitios de perforación no probados son iguales, no hay frecuencia histórica que pueda ser usada con este propósito. Por tanto, el geólogo debe confiar en un valor subjetivo de la probabilidad. Supongamos que él cree que hay una posibilidad del 60% de encontrar petróleo, eso es, si,{θ=1} y {θ=0} indican los eventos, hay y no hay petróleo, entonces P(θ=1)=0.60 y P(θ=0)=0.40.

6 6 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo Como paso siguiente, el dueño del terreno evalúa el examen exploratorio, empezando por ver qué resultados son significativos. Por simplicidad, asumimos que el análisis del geólogo conduce sólo a una predicción: favorable (X=1) o desfavorable (X=0). Registros históricos muestran que, la predicción del geólogo ha sido favorable en un 85% de los campos que poseen petróleo. Además, el examen del geólogo es en un 90 % digno de confianza, al hacer una predicción desfavorable cuando no hay petróleo.

7 7 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Cronología de los eventos (como árbol)

8 8 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

9 9 En lugar de emplear los árboles de probabilidad se puede recurrir al uso de matrices estocásticas donde cada fila señala una distribución de probabilidad condicional. Para ilustrar el uso de las matrices estocásticas suponemos que la variable θ toma los valores 0,1, 2,…, m y la variable X toma los valores 0, 1, 2, …, n

10 10 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Definimos entonces las probabilidades Definimos entonces las probabilidades Para construir el árbol de decisión se debe conocer la matriz P*=(p* ji ). Cuando esto no es posible se debe identificar la matriz P=(p ij ) y la función de frecuencia de la variable θ. Luego se encuentra la matriz R=(r ij ) para obtener de su transpuesta la función de frecuencia marginal de la variable X. Finalmente se halla la matriz P*

11 11 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo Retomando el ejemplo visto anteriormente, vemos que la matriz P y la función de frecuencia de la variable θ resumen la información del primer árbol de probabilidad presentado. Por otra parte la matriz R T, la función de frecuencia de la variable X y la matriz P* reemplazan al segundo árbol de probabilidad. P(θ=1)=0.60 y P(θ=0)=0.40

12 12 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo

13 13 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Análisis Posterior Este análisis consiste en utilizar un árbol de decisión como base para la toma de decisiones. El árbol inicia con la etapa que involucra la alternativa de obtener o no la información experimental. En caso afirmativo, en las ramas del nodo de incertidumbre se sitúa la distribución de probabilidad de la variable X, donde X representa la información experimental. Posteriormente se tienen en cuenta los nodos de decisión después de los cuales, vienen los nodos de incertidumbre en cuyas ramas se sitúan las distribuciones condicionales de la variable θ. Cuando el decisor no recurre a la información experimental se emplea la distribución a priori de la variable θ

14 14 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Análisis Posterior El valor esperado de la información perfecta, indica el valor de la información ideal acerca de los diferentes eventos. Si el costo de la información es mayor que el valor esperado de la información perfecta, la ramificación proveniente de aquella información se descarta del árbol, haciendo con ello innecesario el cálculo de las probabilidades a posteriori y de paso abreviando el árbol de decisión.

15 15 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo A continuación se muestra el diagrama de árbol de decisión que ilustra las escogencias del dueño del terreno, en el ejemplo del petróleo, una vez que sean conocidos los resultados exploratorios. Si la decisión inicial es no efectuar un examen exploratorio, entonces la escogencia perforar o abandonar, debe hacerse sin información, lo cual se muestra en el nodo de decisión de la parte inferior del árbol. Aquí las probabilidades a priori originalmente obtenidas, se aplican a los eventos petróleo y no petróleo. Se asume que la concesión es vendida por 200 al descubrir petróleo, el costo de perforación es de 80 y el costo del examen exploratorio es 15.

16 16 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

17 17 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Efectuando la inducción hacia atrás se observa que la exploración produce una ganancia esperada de 43, que es superior a la ganancia esperada al no hacer uso del examen exploratorio. La estrategia que maximiza la ganancia esperada consiste entonces en hacer el examen exploratorio, si éste es favorable, perforar, pero si no lo es, entonces se debe abandonar.

18 18 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Uso de la información experimental Consideremos más detenidamente el caso en que un decisor desea buscar información mediante la realización de un experimento o recurriendo a una asesoría que le facilite una buena decisión. En muchos casos el experimento que lleva a cabo un decisor consiste en tomar una muestra aleatoria de una población cuyas características influyen en los pagos fundamentales. La escogencia del decisor depende del resultado del muestreo particular.

19 19 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Uso de la información experimental Un esquema de muestreo puede analizarse identificando todos los resultados posibles de la muestra y todas las estrategias de que dispone el decisor.

20 20 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo En una ciudad y en una fecha dada se decidió la presentación de un conjunto musical. Las ganancias dependen del estado del tiempo; si está lluvioso, el conjunto pierde 15000, si está nublado pierde 5000 y si está soleado gana El conjunto puede cancelar su presentación, acción que dará lugar a una pérdida de Además incurriendo en un costo adicional de 500, el conjunto puede obtener información sobre el estado del tiempo. La oficina encargada de dicha información entrega la siguiente tabla Tiempo actual Lp: lluvia Np: Nubosidad Sp: Sol L: lluvia N: nubosidad S: sol

21 21 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Además según esta oficina, las probabilidades de lluvia, nubosidad y sol son 0.1, 0.3 y 0.6 respectivamente.

22 22 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Valor Esperado de la información muestral Recordemos que el valor esperado de la información perfecta, coloca un límite a la cantidad que el decisor desearía pagar por cualquier tipo de información que sea útil en la predicción del estado de la naturaleza. Una medida similar al valor esperado de la información perfecta, expresa la importancia de la información contenida en la muestra. Esta medida conocida como el Valor esperado de la información muestral (VEIM), se obtiene de la diferencia entre el pago esperado bajo incertidumbre y el pago esperdado con información muestral (PEIM)

23 23 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Valor Esperado de la información muestral Es decir: (VEIM)=|(PEIM)-(PEBI)| (VEIM)=|(PEIM)-(PEBI)| El valor esperado de la información muestral es totalmente análogo al valor esperado de la información perfecta, pero se aplica a una información menos confiable. Al igual que el valor esperado de la información perfecta, el valor esperado de la información muestral establece un límite superior a lo que debe pagar el decisor, para conseguir los resultados muestrales. El valor esperado de la información muestral es totalmente análogo al valor esperado de la información perfecta, pero se aplica a una información menos confiable. Al igual que el valor esperado de la información perfecta, el valor esperado de la información muestral establece un límite superior a lo que debe pagar el decisor, para conseguir los resultados muestrales.

24 24 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Ejemplo El propietario de un almacén que ordena un lote de 100 artículos, puede inspeccionar una muestra de tamaño 2 o inspeccionar la totalidad del lote. La inspección le representa al almacén un costo de 4 por artículo y cada artículo defectuoso es reemplazado por el proveedor. Cuando el propietario del almacén sólo inspecciona la muestra, él repone por su cuenta a los clientes, los artículos que éstos devuelvan por defectuosos, teniendo así una pérdida de 18 por unidad defectuosa. Por otra parte, cada unidad no defectuosa que se venda le representa al almacén una ganancia de 12. Por la experiencia se sabe que la proporción θ de artículos defectuosos en el lote tienen la siguiente función de frecuencia: P(θ=0.10)=0.70 y P(θ=0.20)=0.30 Realice un árbol de decisión que represente el problema, encuentre P, R t y P* Suponga que el propietario del almacén no cancela cantidad alguna, por las dos unidades que examina dentro de la muestra. Calcule (VEIM)

25 25 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. Solución


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