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CADENAS DE MARKOV PROF: ALEJANDRO DE JESUS GOVEA ARIZMENDI ALUMNO: B ALICIA MARTINEZ QUINONES ANALISIS DE DECISIONES.

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1 CADENAS DE MARKOV PROF: ALEJANDRO DE JESUS GOVEA ARIZMENDI ALUMNO: B ALICIA MARTINEZ QUINONES ANALISIS DE DECISIONES

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3 INTRODUCCION : Las cadenas de markov son modelos probabilisticos que se usan para predecir la evolucion y el comportamiento de deteminados sistemas. en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior, se puede decir que estas tienen memoria, recuerdan el ultimo evento y esto condiciona los eventos futuros reciben el nombre del matematico ruso andrei andreevitch markov, que las introdujo en han llegado a tener tal importancia que se utilizan en muchas aplicaciones En lo que nos interesa, se ha aplicado para analizar patrones de morosidad, necesidades de personal, preever defectos en maquinaria, etc…

4 Las cadenas de Markov son herramientas para analizar el comportamiento y gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan en forma no determinista a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados. Entonces podemos decir que una cadena de Markov, representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo y es cada cambio una transición del sistema. Los cambios no están predeterminados aunque si lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, a esta probabilidad es constante a lo largo del tiempo. Hablando en particular de las cadenas de Markov finitas, las cuales se caracterizan por tener un número de estados del sistema finitos. C ADENAS DE MARKOV

5 PROCESO ESTOCASTICO: En estadística, y en concreto teoría de la probabilidad, un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo de fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo.

6 ELEMENTOS DE LA CADENA DE MARKOV FINITA

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8 TRANSICIÓN: El sistema modelizado por una cadena por lo tanto es una variable, que cambia de valor en el tiempo, a este cambio lo llamamos transición. PROBABILIDAD CONDICIONAL: Por ser el sistema estocástico no se podrá conocer con certeza el estado del sistema en un determinado instante, sino solamente la probabilidad asociada a cada uno de los estados.

9 Entonces decimos que en la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior.

10 Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.variable aleatorios Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o n o. distribución de probabilidadcorrelacionadas

11 Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de M á rkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. Reciben su nombre del matem á tico ruso Andrei Andreevitch Markov ( ), que las introdujo en 1907.

12 E JEMPLOS DE PROCESOS ESTOCASTICOS SERIE MENSUAL DE VENTAS DE UN PRODUCTO ESTADO DE UNA MAQUINA AL FINAL DE C/SEMANA NO DE CLIENTES ESPERANDO EN UNA FILA MARCA DE DETERGENTE QUE COMPRA EL CONSUMIDOR C/VEZ QUE COMPRA NO DE UNIDADES EN ALMACEN C/SEMANA

13 Una cadena de Márkov es una secuencia X 1, X 2, X 3,... de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de X n es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de X n+1 en estados pasados es una función de X n por sí sola, entonces: Donde x i es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Márkov. propiedad de Márkov

14 MATRIZ DE TRANSICION La forma m á s c ó moda de expresar la ley de probabilidad condicional de una cadena de Markov es mediante la llamada matriz de probabilidades de transici ó n P, o m á s sencillamente, matriz de la cadena. Dicha matriz es cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema, y los elementos de la matriz representan la probabilidad de que el estado pr ó ximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila. Como el sistema debe evolucionar de t a alguno de los n estados posibles, las probabilidades de transici ó n cumplir á n con la propiedad siguiente:

15 La Matriz de Transición debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La Matriz de Transición debe ser Cuadrara, es decir debe tener el mismo número de columnas como de filas. 2. En ella deben estar contenidos tanto en las filas como en las columnas los mismos Estados o Eventos transitorios. 3. La Suma de los elementos de cada fila debe ser siempre igual a 1, cumpliendo con la teoría de Probabilidades. 4. Cada elemento de la matriz debe ser un número entre 0 y 1.

16 Además, por definición de probabilidad, cada una de ellas ha de ser no negativa: Consideremos una población distribuida entre n = 3 estados, que llamaremos estado 1, estado 2 y estado 3. Se supone que conocemos la proporción t ij de la población del estado i, que se mueve al estado j en determinado período de tiempo fijo. La matriz T = (t ij ) se llama matriz de transición.

17 Supongamos que la población de un país, está clasificada de acuerdo con los ingresos en Estado 1: Pobre Estado 2: Ingresos medios Estado 3: Rico Supongamos que en cada período de 20 años tenemos los siguientes datos para la población y su descendencia:

18 De la gente pobre, el 19% pasó a ingresos medios, y el 1% a rica; De la gente con ingresos medios, el 15% pasó a pobre, y el 10% a rica; De la gente rica, el 5% paso a pobre, y el 30%, a ingresos medios. Podemos armar una matriz de transición de la siguiente manera: Estado final: pasa a nuevo estado en 20 años Estado inicial: PobreMedioRico Pobre Medio Rico

19 Pobre medio rico T = Pobre Medio Rico Obsérvese que: 1) las entradas de la diagonal de la matriz representa la proporción de la población que no cambia de estado en un período de 20 años; 2) un registro de la matriz da la proporción de la población del estado izquierdo del registro que pasa al estado derecho del registro en un período de 20 años. 3) la suma de los registros de cada fila de la matriz T es 1, pues la suma refleja el movimiento de toda la población para el estado relacionado en la parte izquierda de la fila.

20 OTRA FORMA DE PRESENTAR UN PROCESO Y SU MATRIZ DE TRANSICION

21 Donde la i representa el estado inicial de una transición, j representa el estado final de una transición, P ij representa la probabilidad de que el sistema estando en un estado i pase a un estado j.

22 En un pa í s como Colombia existen 3 operadores principales de telefon í a m ó vil como lo son Tigo, Comcel y Movistar (estados). Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para tigo 0.4 para Comcel 0.25 y para movistar (Estado inicial) Se tiene la siguiente informaci ó n un usuario actualmente de tigo tiene una probabilidad de permanecer en tigo de 0.60, de pasar a Comcel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Comcel tiene una probabilidad de mantenerse en Comcel del 0.5 de que esta persona se cambie a tigo 0.3 y que se pase a movistar de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de que se cambie a tigo de 0.3 y a Comcel de 0.3. PROBALIDAD DE ESTAR EN UN ESTADO DESPUES DE T

23 LA MATRIZ DE TRANSICION SERIA La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1 Po= ( ) estado inicial

24 METODO GRAFICO :

25 Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transici ó n por el estado inicial y as í sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior.

26 Como podemos ver la variaci ó n en el periodo 4 al 5 es muy m í nima casi insignificante. Podemos decir que ya se ha llegado al vector o estado estable.

27 APLICACIONES DE LAS CADENAS DE MARKOV: F í sica Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodin á mica y la f í sica estad í stica. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo de difusi ó n de Laplace. Meteorolog í a Si consideramos el clima de una regi ó n a trav é s de distintos d í as, es claro que el estado actual solo depende del ú ltimo estado y no de toda la historia en s í, de modo que se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos climatol ó gicos b á sicos. Modelos epidemiol ó gicos Una importante aplicaci ó n de las cadenas de Markov se encuentra en el proceso Galton-Watson. É ste es un proceso de ramificaci ó n que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (v é ase modelaje matem á tico de epidemias)..

28 Internet El pagerank de una p á gina web (usado por Google en sus motores de b ú squeda) se define a trav é s de una cadena de Markov, donde la posici ó n que tendr á una p á gina en el buscador ser á determinada por su peso en la distribuci ó n estacionaria de la cadena Simulaci ó n Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una soluci ó n anal í tica a ciertos problemas de simulaci ó n tales como el Modelo M/M/1. Juegos de azar Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a trav é s de una cadena de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro.

29 Econom í a y Finanzas Se pueden utilizar en modelos simples de valuaci ó n de opciones para determinar cu á ndo existe oportunidad de arbitraje, as í como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de precios. En los negocios, las cadenas de M á rkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

30 APLICACIONES ESPECÍFICAS: Dentro de las alternativas de modelización dinámica de las migraciones se encuentran las cadenas de Markov, a partir del trabajo Blumen, Kogan y McCarthy (1955), precursores en la aplicación de cadenas de Markov discretas al estudio de la movilidad social, a lo largo de las décadas 60s, 70s y 80s se produjeron importantes aportaciones, tanto metodológicas como empíricas, en la utilización de cadenas de Markov a fenómenos muy diversos, entre ellos la movilidad ocupacional 1955; cambios en las preferencias de consumidores en 1966, la movilidad geográfica en Recientemente, ha sido destacada la divulgación de cadenas de Markov en estudios sobre la distribución regional de la renta y la pobreza 1996 y 1999 y en estudios relacionados con los mercados financieros (Betancourt, 1999; Dezzani, 2002).

31 CONCLUSION: Esta herramienta creada por el matemático ruso Andrei Markov en el año 1907, es una mezcla de principios algebraicos y estadísticos para analizar procesos estocásticos, es decir que evolucionan a lo largo del tiempo en un conjunto de estados, forma parte importante en la base para la toma de decisiones Es posible aplicar este principio a campos tan diferentes como la meteorología, astrología, biología y claro esta en las empresas, entre otras muchas áreas, por supuesto.

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