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2-20081 Distribución Normal Estadística Capítulo 6.1.

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2 Distribución Normal Estadística Capítulo 6.1

3 Distribución Normal Es la distribución de probabilidad más importante, que corresponde a una variable continua. También se la llama distribución gaussiana. En esta distribución no es posible calcular la probabilidad de un valor exacto, siempre se trabaja con rangos.

4 En la práctica, muchas variables que se observan tienen distribuciones que sólo se aproximan a la normal. Esto es, las variables tienen propiedades que sólo se acercan a las propiedades teóricas de la distribución normal. Distribución Normal

5 Propiedades de la distribución normal 1. Tiene forma de campana (es simétrica) 2. Sus medidas de tendencia central son idénticas (media, mediana, moda, rango medio y eje medio

6 Propiedades de la distribución normal 3. El intervalo medio es 1.33 desviaciones estándar (1.33σ) 4. La variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinito ( - < X < +)

7 Fórmula Distribución Normal e = constante matemática con valor aproximado de π = constante matemática con valor aproximado de µ = media de la población σ = desviación estándar de la población

8 Fórmula de la Estandarización Al estandarizar los datos de la población, la media se convierte en 0 y la desviación estándar en 1 Los elementos base para estandarizar los datos son los parámetros de la Media Aritmética y la Desviación Estándar.

9 Supongamos que los datos de una muestra van de 30 a 90 (en el plano cartesiano se traza la recta en una escala de 10 en 10). En la muestra, la media aritmética es 60 y la desviación estándar es 10. Estandarizar cada uno de los datos de la recta del plano cartesiano; es decir, cuál es el valor de Z de cada dato desde 30 hasta 90.

10

11 10

12 Las probabilidades en una curva normal esta representada por el área que está rodeada por: El valor entre 0 y Z El eje horizontal La curva de la Normal ( ver zona sombreada ).

13 Para calcular el área en una curva normal, no se utiliza la fórmula, sino el diseño una tabla para buscar el resultado. Usualmente los valores de Z están entre -4 y 4, y su representación se denota por un número de dos decimales.

14 Es una tabla trazada en filas y columnas que calcula el valor entre 0 y z

15 La tabla de la distribución normal de nuestro curso solamente tiene el 50% del total de área, porque como la figura es igual antes del 0 que después del 0, las áreas solamente se homologan; lo mismo resulta al calcular un área con Z=1.25 que con Z= El procedimiento es el siguiente:

16 Se configura el valor de Z de manera que tenga 2 decimales

17 Se divide en dos números; el primero formado por la parte entera y el primer decimal; el segundo formado por el segundo decimal

18 En la primer columna se busca el que tiene la parte entera

19 En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal.

20 En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal.

21 Encontrar el área para Z=1.02 Z se convierte en 1.0 y 0.02 Localizar 1.0 en la tabla

22 Encontrar el área para Z=1.02 Localizar 0.02 en la tabla Ubicar la intersección En la tabla de la curva normal se muestra la probabilidad La probabilidad es de 34.61%

23 En la curva, por tratarse de áreas, no es posible calcular valores con el signo igual; siempre se hace referencia con el signo de menor o con el mayor.

24 Enunciado:CalcularP(z i < Z) Acción:Encuentra el área entre 0 y Z

25 Calcular P(Z < 1.11) Se va a calcular el área de 0 a 1.11 El # 1.11 se convierte en : 1.1 y 0.01 Buscar en la columna 1.1 Buscar en la fila 0.01

26 Calcular P(Z < 2.01) Se calculará el área de 0 a 2.01 El # 2.01 se convierte en 2.00 y 0.01 Columna: 2.0 Fila: 0.01

27 Calcular P(Z > ) Se calculará el área de a = Buscar en la columna 1.2 Buscar en la fila 0.08

28 Calcular P(Z > 1.28) Primero el área de 0 a = El área encontrada se resta de 0.50 El área es

29 Calcular P(Z < -2.23) Calcular área de a = El área es

30 Calcular P(-0.57 < Z < 1.02) El área total es la suma de ambos resultados. Área = Área =

31 Calcular P(1.00 < Z < 1.253) ÁREA = – = Calcular el área que va de 0 a 1.25= Calcular el área que va de 0 a 1.00=0.3413

32 Calcular P(-1.25 < Z < -1.00) ÁREA izquierda = = AREA derecha = = ÁREA Total = Calcular el área que va de 0 a 1.25= Calcular el área que va de 0 a 1.00= Se restan ambas áreas de 0.5 Se suman los resultado

33 Distribución normal estándar Un conjunto de datos con distribución normal siempre se puede convertir en su forma estandarizada y después determinar cualquier probabilidad deseada, a partir de la tabla de distribución normal.

34 El gerente de una ensambladora de automóviles estudia el proceso para montar una pieza específica de un automóvil, con el fin de reducir el tiempo requerido para el montaje. Después de estudiar el proceso, el equipo determina que el tiempo de montaje se aproxima a una distribución normal con media aritmética (µ) de 75 segundos y desviación estándar (σ) de 6 segundos. Como puede el equipo aprovechar esta información para responder preguntas acerca del proceso actual.

35 Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar requiera más de 81 segundos para ensamblar la pieza µ = 75 σ = 6

36 La probabilidad de que un empleado ensamble una pieza en mas de 81 segundos es de 15.87%

37 Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en un tiempo entre 75 y 81 segundos µ = 75 σ = 6

38 La probabilidad de que un empleado ensamble una pieza Entre 75 y 81 segundos es de 34.13%

39 Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en mas de 81 segundos o menos de 75 segundos µ = 75 σ = 6

40 P(X > 81) = P(Z>1) = 0.5 – = ) Calcular la P(X > 81)

41 P(X <75) = P(Z<0) = ) Calcular la P(X < 75)

42 La probabilidad de que un empleado tarde menos de 75 ó más de 81 segundos es de 66% 3.) Sumas ambas probabilidades

43 Fin del capítulo 6.1 Continúa 7.1


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