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Curvas y superficies en 2D y 3D. Índice Curvas en 2D y 3D –Curva Spline –Introducción –Interpolación lineal –Curvas de Bézier –Curvas B-Spline Superficies.

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1 Curvas y superficies en 2D y 3D

2 Índice Curvas en 2D y 3D –Curva Spline –Introducción –Interpolación lineal –Curvas de Bézier –Curvas B-Spline Superficies en 3D –Interpolación bilineal –Parches bicúbicos

3 Curva Spline En dibujo mecánico, spline es una banda flexible que se usa para producir una curva suave a través de un conjunto de puntos designados. Curva de spline originalmente se refería a una curva trazada de esta manera. Se puede describir en forma matemática con una función cúbica polinómica cuyas primera y segunda derivada son continuas a través de las distintas secciones de la curva. Actualmente curva spline se aplica a cualquier curva compuesta que se forma con secciones polinómicas que satisfacen condiciones específicas de continuidad en la frontera de las piezas.

4 Curva Spline Una superficie de spline se puede describir con dos conjuntos ortogonales de spline. se utiliza en las aplicaciones gráficas –para diseñar formas curvas y de superficie, –para digitalizar trazos para el almacenamiento en la computadora y –especificar trayectorias de animación para los objetos o la cámara de una escena. Las aplicaciones típicas incluyen: –el diseño de carrocerías de automóviles, –superficies de aeronaves, –naves espaciales, –cascos de embarcaciones.

5 Introducción Representación paramétrica vs implícita o explícita –define familias de objetos usando un número finito de parámetros. –es más flexible –curvas componentes: C(t) = (x(t), y(t)) –independiente de los ejes coordenados –evita valores de pendiente infinita con respecto a algún sistema de ejes arbitrario –compatible con el uso de transformaciones de coordenadas homogéneas tridimensionales

6 Introducción Interpolación vs. aproximación: puntos de control –interpolación: curva ha de pasar por una serie de puntos (importancia de los puntos) –aproximación: curva según unos puntos de control (importancia de curva) –Una curva se define, modifica y manipula con operaciones en los puntos de control. –La curva se puede trasladar, girar o escalar con las transformaciones que se aplican a los puntos de control.

7 Introducción La frontera de polígono convexo que encierra un conjunto de puntos de control se conoce como casco convexo. El casco convexo proporciona una medida de la desviación de una curva o superficie desde la región que limita los puntos de control. Es útil para definir el área de recorte. El conjunto de segmentos de línea que conectan la secuencia de puntos de control se conoce como gráfica de control, polígono de control y polígono característico.

8 Continuidad Paramétrica: –Orden cero: C 0, sólo implica que las curvas se unen. –Primer orden: C 1, las primeras derivadas paramétricas son iguales en su punto de unión –Segundo orden: C 2, tanto la primera como la segunda derivada paramétrica de las curvas son las mismas en la intersección.

9 Continuidad En continuidad C 2, los índices de cambio de los vectores tangente para las secciones que se conectan son equivalentes, la línea tangente realiza una transición suave de una sección de la curva a otra. En continuidad C 1, los índices de cambio de los vectores tangente para las secciones son muy diferentes, es posible que las formas generales de las dos secciones adyacentes presenten un cambio abrupto.

10 Continuidad Geométrica: –Orden cero: G 0, sólo implica que las curvas se unen. –Primer orden: G 1, las primeras derivadas paramétricas son proporcionales en su punto de unión –Segundo orden: G 2, tanto la primera como la segunda derivada paramétrica de las curvas son proporcionales en su frontera. derivadas paramétricas proporcionales –La dirección del vector tangente es igual, pero no necesariamente su magnitud.

11 Introducción Propiedades deseables: –representación paramétrica –suave: C n, en curvas componentes –sin oscilaciones (wiggles) –control local: cambio de un punto afecta a entorno reducido –fácil de calcular: poco coste computacional

12 Interpolación lineal Dado un conjunto de puntos se interpolan usando rectas entre ellos. Sencillo. La curva es continua pero no sus derivadas. Curva local: la modificación de un punto afecta a dos intervalos.

13 Interpolación lineal Entre dos puntos se define una línea recta. X(t) = m x t + b x Con las condiciones X(t=0) = X0 X(t=1) = X1 Para el primer intervalo y la primera coordenada.

14 Curvas de Bezier Es un sistema desarrollado hacia los años setenta del siglo XX, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bezier quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD. Posteriormente, los inventores del PostScript, introdujeron en ese código el método de Bezier para la generación del código de las curvas y los trazados.

15 Se denomina curva Bézier asociada a (n + 1) puntos P0, P1,...,Pn a la curva parametrizada, definida para t [0,1], cuyos puntos vienen dados mediante la siguiente expresión en la que los Bi,n(t) son los polinomios de Bernstein de grado n. Los puntos P0, P1,..., Pn que determinan una curva de Bézier se denominan puntos de control, y la poligonal que los une es el polígono Bézier o B-polígono.

16 Los polinomios de Bernstein de grado n, que denotamos por B 0,n (t), B 1,n (t),..., B n,n (t), son

17 B 0,1 (t) = (1 - t), B 1,1 (t) = t; B 0,2 (t) = (1-t) 2, B 1,2 (t) = 2(1-t)t, B 2,2 (t) = t 2 ; B 0,3 (t) = (1-t) 3, B 1,3 (t) = 3(1-t) 2 t, B 2,3 (t) = 3(1-t)t 2, B 3,3 (t) = t 3. A medida que aumenta el número de puntos, aumenta el grado de la curva. Se limita a 4 el número de puntos de control y el polinomio es de grado 3.

18 Dibujamos una curva: Dados los puntos P 0 =(1, 1), P 1 =(2, 4), P 2 =(5, 3), la curva Bézier asociada tiene las siguientes ecuaciones paramétricas x(t) = B 0,2 (t) + 2B 1,2 (t) + 5B 2,2 (t) = 1+2t+2t2 y(t) = B 0,2 (t) + 4B 1,2 (t) + 3B 2,2 (t) = 1+6t-4t2

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20 La curva de Bezier empieza en P 0 y termina en P n-1 El vector tangente a la curva P(t) en el punto P 0 tiene la dirección del vector P 0 P 1 El vector tangente a la curva P(t) en el punto P n tiene la dirección del vector P n-1 P n. La modificación de un punto de control afecta a toda la curva que define.

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22 Splines Cúbicos Interpolan entre dos puntos utilizando un polinomio de grado 3 Los polinomios de grado 3 son los de menor grado que permiten la existencia de un punto de inflexión. Intentan evitar oscilaciones y complejidad de interpolación polinómica, al aumentar el número de puntos Si el polinomio es de grado m, 3 en este caso, se puede imponer que la curva global sea continua hasta el orden m- 1 (Cm-1), en este caso: grado 2. Es decir, podemos imponer que sea continua la curva, la primera y la segunda derivada, es decir, curvas suaves.

23 Splines Cúbicos Spline cúbico (x(u), y(u)) que pasa por los n+1 puntos P 0, P 1,... P n para los valores del parámetro {u 0, u 1,... u n } Se buscan n polinomios cúbicos (grado 3) para cada coordenada, (q i (u), p i (u)), definidos en intevalo [u i,u i+1 ], que empalmen con continuidad C2 (2ª derivada) en cada valor del parámetro u i Condiciones: 2n + n-1 + n-1 = 4n-2 q i (u i ) = x i ; q i (u i+1 ) = x i+1 i=0,1,...,n-1 2n condiciones Continuidad curva q i '(u i+1 ) = q i+1 '(u i+1 )i=0,1,...,n-2 n-1 condiciones Cont. prim. Deriv. q i ''(u i+1 ) = q i+1 ''(u i+1 )i=0,1,...n-2 n-1 condiciones Cont. Seg. Deriv. Incógnitas: 4n q i (u) = a i + b i u + c i u 2 + d i u 3 Faltan 2 condiciones extra

24 Natural Cubic Splines: –Condiciones extra: derivada segunda nula en los extremos, u 0, u n

25 Splines cúbicos Curva interpolante, con segmentos polinómicos (curvas componentes) Representación paramétrica Suave: C2 (curvas componentes) Sin oscilaciones: grado cúbico de los polinomios evita oscilaciones No local: el cambio de un punto afecta a los polinomios de todos segmentos (ver el sistema (n+1) x (n+1)) Relativamente fácil de calcular: el sistema de ecuaciones es tridiagonal Se ha sacrificado la suavidad (no mucho) para evitar las oscilaciones Para hacer las curvas locales, hay que eliminar el requerimiento de que interpole

26 Curvas B Spline Igual que Bézier, dado un conjunto de puntos P 0,., P n, determinamos una curva compuesta de varios tramos, tal que se aproxime al polígono de control, y que las ecuaciones de cada tramo estén influenciadas solamente por k vértices del polígono de control siendo k un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y, lógicamente, k n + 1

27 Curvas B Spline Fórmula de cálculo de Cox - de Boor: (indeterminación 0/0, si hay nodos repetidos, se resuelve como 0)

28 Obsérvese que hay que definir un vector T de nodos, que suele ser un conjunto de números naturales separados por una unidad (aunque puede hacer cualquier otra elección).

29 Propiedades No interpolan Paramétricas Suavidad Cm-2: m es orden de B-spline No oscilan Locales Difíciles de calcular salvo casos especiales con fórmula matricial: B-Splines uniformes, Bézier Mayor flexibilidad: elección de nodos permite más tipos de curvas

30 Calculo de B splines p5a_0506.pdf

31 Superficies 3D. Interpolación Bilineal La interpolación bilineal calcula los puntos intermedios mediante la siguiente ecuación: V (x, y) = ax +by+cxy+ d donde x e y representan la distancia al punto o esquina superior izquierda del entorno. Los coeficientes a,b,c,d deben calcularse de modo que se cumplan las siguientes igualdades: V(x = 0,y = 0) = P(i, j) V(x=1,y=0) = P(i+1, j) V(x = 0,y = 1) = P(i, j + 1) V(x=1,y=1) = P(i + 1, j + 1)

32 Superficies en 3D Concepto de parche (patch) Superficie como curva con puntos de control en una curva

33 Funciones base son producto de funciones base de curvas: b ij (s,t)=b i (s)b j (t) Matriz (malla) mxn de puntos de control: P ij, i=0,....m; j=0,...n


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