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Administración de Presupuestos METODOS ESTADISTICOS Lic. Edwin Josué Ramírez.

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1 Administración de Presupuestos METODOS ESTADISTICOS Lic. Edwin Josué Ramírez

2 Métodos de Pronósticos Línea Recta o Tendencias (mano libre, análisis estadístico: Línea Recta o Tendencias (mano libre, análisis estadístico: Consiste en establecer mediante un análisis de la tendencia de las ventas en una serie de años, el pronóstico de ventas futuras, se clasifica en: Consiste en establecer mediante un análisis de la tendencia de las ventas en una serie de años, el pronóstico de ventas futuras, se clasifica en: Aritmético Aritmético Y Calculada Y Calculada Semi-promedios Semi-promedios ParPar ImparImpar Mínimos Cuadrados Mínimos Cuadrados Ventas por Semestre Ventas por Semestre Ventas por Zonas o Regiones Ventas por Zonas o Regiones Índice de Variación Estacional (IVE) Índice de Variación Estacional (IVE) Factores Factores Específicos de VentaEspecíficos de Venta Fuerzas Económicas GeneralesFuerzas Económicas Generales Influencia de la AdministraciónInfluencia de la Administración

3 Método Aritmético Procedimiento: Procedimiento: Se toma el año base de la serie y se compara con el último año de la misma. Se toma el año base de la serie y se compara con el último año de la misma. La variación se divide dentro del número (cantidad) de períodos y el resultado es el factor de acumulación. La variación se divide dentro del número (cantidad) de períodos y el resultado es el factor de acumulación. El Factor de acumulación se suma al último año, para determinar las ventas esperadas para el año que se esta pronosticando. El Factor de acumulación se suma al último año, para determinar las ventas esperadas para el año que se esta pronosticando.

4 Problema No. 1 AñosVentas (unidades) , , , , , ,500 La empresa la Gran Lección, S.A. presenta información estadística de sus ventas de útiles escolares por los últimos seis años, con lo cual se necesita establecer las ventas proyectadas para el año 2011, utilizando el método aritmético simple.

5 Solución al Problema 1. Comparación año base y último año: ,500 unidades ,500 unidades ,000 unidades ,000 unidades Incremento 4,500 unidades Incremento 4,500 unidades 2. Determinación del factor de acumulación: 4,500 unidades / 5 = 900 (Factor de acumulación) 4,500 unidades / 5 = 900 (Factor de acumulación) 3. Ventas esperadas para el año 2011: Ventas año 2010 = 29,500 Ventas año 2010 = 29,500 (+) Factor de Acum. = 900 (+) Factor de Acum. = 900 Ventas año 2010 = 30,4000 Unidades Ventas año 2010 = 30,4000 Unidades

6 ComprobaciónAños Factor de Acumulación Ventas más factor de Acumulación , , , , , , ,400

7 Método Y Cálculada Consiste en aplicar la fórmula Yc = a +bx para ajustar la tendencia a una línea recta, en la cual: Consiste en aplicar la fórmula Yc = a +bx para ajustar la tendencia a una línea recta, en la cual: a = Ventas del año base a = Ventas del año base b = Factor de Acumulación b = Factor de Acumulación x = Año que se quiere (partiendo de cero 0) x = Año que se quiere (partiendo de cero 0)

8 La empresa La Escritura, S. A., desea conocer cuales serán las ventas de cuadernos de 100 hojas en el año 2011, utilizando el método de la Y cálculada, para lo cual le proporciona la siguiente información: La empresa La Escritura, S. A., desea conocer cuales serán las ventas de cuadernos de 100 hojas en el año 2011, utilizando el método de la Y cálculada, para lo cual le proporciona la siguiente información: Problema No. 2 XAñosVentas (unidades) ,000(a) , , , , ,500

9 Solución al problema No Comparación año base y último año: ,500 unidades ,500 unidades ,000 unidades ,000 unidades Incremento 10,500 unidades Incremento 10,500 unidades 2. Determinación del factor de acumulación: 10,500 unidades / 5 = 2,100 10,500 unidades / 5 = 2,100 (Factor de Acumulación b) 3. Aplicación de la ecuación: Yc = a + bx Yc = a + bx Yc = 30, ,100 (6) Yc = 30, ,100 (6) Yc = 30, ,600 Yc = 30, ,600 Yc = 42,600 Unidades Yc = 42,600 Unidades

10 Comprobación AñosXVentasYc , ,50032, ,00034, ,00036, ,00038, ,500040, ,600

11 Método de Semipromedios Cuando la serie de años es par Consiste en dividir la serie de años en dos partes iguales y obtener promedio de cada parte, a efecto de determinar el factor de acumulación. Consiste en dividir la serie de años en dos partes iguales y obtener promedio de cada parte, a efecto de determinar el factor de acumulación.

12 Método de Semipromedios Cuando la serie de años es par Procedimiento: Procedimiento: La serie se divide en dos partes iguales. La serie se divide en dos partes iguales. Se obtienen promedios de cada parte de la serie. Se obtienen promedios de cada parte de la serie. Se comparan ambos promedios y el resultado se divide entre la cantidad de años de cada semipromedio. Se comparan ambos promedios y el resultado se divide entre la cantidad de años de cada semipromedio. El resultado que se obtiene con el paso anterior, es el factor de acumulación. El resultado que se obtiene con el paso anterior, es el factor de acumulación.

13 Utilizando el método de semipromedios, la empresa El Buen Vestir le solicita que calcule las ventas de camisas en unidades para el año 2011, tomando como base la información que a continuación se le presenta: Utilizando el método de semipromedios, la empresa El Buen Vestir le solicita que calcule las ventas de camisas en unidades para el año 2011, tomando como base la información que a continuación se le presenta: Problema No. 3 AñosVentas (unidades) , , , , , ,000

14 Solución al problema No. 3 AñosVentas Unidades XX1X , , , , , ,

15 Solución al problema No. 3 Procedimiento: Procedimiento: Determinación de la diferencia entre los dos semipromedios en unidades y en tiempo: Determinación de la diferencia entre los dos semipromedios en unidades y en tiempo: 32,000 – 26,000 = 6,000 unidades año 2009 – año 2006 = 3 años Determinación del factor de crecimiento de ventas b: Determinación del factor de crecimiento de ventas b: Diferencia en unidades / Diferencia en tiempo 6,000 unidades / 3 años = 2,000

16 Solución al problema No. 3 Procedimiento: Procedimiento: Aplicando la Y calculada con el primer semipromedio: Aplicando la Y calculada con el primer semipromedio: El primer semipromedio es de 26,000, producto de sumar las ventas de los años 2005, 2006 y 2007 y luego dividir el resultado dentro de tres. En el presente caso el semipromedio posee la tendencia de ubicarse en el año central, es decir 2006, por lo que éste es el año cero del primer semipromedio, numerando los demás años de forma correlativa, hasta llegar al año deseado, que en el presente caso es el año 2011, correspondiéndole el año 5. Yc = a + b (x1) Yc = 26, ,000 (5) Yc = 26, ,000 Yc = 36,000 unidades

17 Solución al problema No. 3 Procedimiento: Procedimiento: Aplicando la Y calculada con el segundo semipromedio: Aplicando la Y calculada con el segundo semipromedio: El segundo semipromedio es de 32,000, producto de sumar las ventas de los años 2008, 2009 y 2010 y luego dividir el resultado dentro de tres. En el presente caso el semipromedio posee la tendencia de ubicarse en el año central, es decir 2009, por lo que éste es el año cero del segundo semipromedio, numerando los demás años de forma correlativa, hasta llegar al año deseado, que en el presente caso es el año 2011, correspondiéndole el año 2. Yc = a + b (x1) Yc = 32, ,000 (2) Yc = 32, ,000 Yc = 36,000 unidades R// Ventas para el año 2011 = 36,000 camisas

18 Método de Semipromedios Cuando la serie de años es impar Procedimiento: Procedimiento: Si la serie es suficientemente grande, entonces puede eliminarse un año para convertirla en par. Si la serie es suficientemente grande, entonces puede eliminarse un año para convertirla en par. La serie impar puede convertirse a periodos pares y después, proceder como se ha indicado. Para el efecto, se toma el primer año de la serie y se suman al segundo, obteniéndose el promedio; luego el segundo año con el tercero y así sucesivamente, hasta llegar al penúltimo año. Para el efecto, se toma el primer año de la serie y se suman al segundo, obteniéndose el promedio; luego el segundo año con el tercero y así sucesivamente, hasta llegar al penúltimo año. Para procesar el último año, es necesario obtener previamente un factor de acumulación midiendo la tendencia, comparando el último año con el periodo intermedio establecido inmediatamente antes y el resultado (aumento o disminución) se aplica al último año. Para procesar el último año, es necesario obtener previamente un factor de acumulación midiendo la tendencia, comparando el último año con el periodo intermedio establecido inmediatamente antes y el resultado (aumento o disminución) se aplica al último año.

19 La empresa El Block S. A. necesita conocer cual será el número de unidades que venderá en el año 2010, utilizando el método de semipromedios, para el efecto le proporciona la información siguiente: La empresa El Block S. A. necesita conocer cual será el número de unidades que venderá en el año 2010, utilizando el método de semipromedios, para el efecto le proporciona la información siguiente: Problema No. 4 AñosVentas (unidades) , , , , ,000

20 Solución al Problema No. 4 Años Ventas Unidades XXx ,000 25, ,000 26,400 27, ,000 31, ,000 33, ,000 35,000(*)

21 Solución al Problema No. 4 Para determinar el último semipromedio, se resta el anterior semipromedio calculado, con el anterior a éste, para el presente caso: Para determinar el último semipromedio, se resta el anterior semipromedio calculado, con el anterior a éste, para el presente caso: 34, ,000 = 1,000, 34, ,000 = 1,000, Luego esta diferencia se suma a la ventas del último año: Luego esta diferencia se suma a la ventas del último año: 34, ,000 = 35,000 34, ,000 = 35,000

22 Solución al Problema No. 4 Años Ventas Unidades XXx Tiempo 1 SP2 SP ,000 25, ,000 26, ,000½ , ,0001½ ,000 33, ½ , ,0003½2 2011¿? 43 Tiempo en años Tiempo en Semestres º º 34,000 – 33,000 = 1,000 1, ,000 = 35,000

23 Solución al Problema No. 4 Determinación de la Diferencia entre semipromedios en unidades y en tiempo: Determinación de la Diferencia entre semipromedios en unidades y en tiempo: 33,000 – 26,400 = 6,600 33,000 – 26,400 = 6,600 Mediados del año 2009 – principios del año 2007 = 2.5 años Mediados del año 2009 – principios del año 2007 = 2.5 años Determinación del factor de acumulación anual: Determinación del factor de acumulación anual: Dif. en unidades / Dif. en tiempo Dif. en unidades / Dif. en tiempo 6,600 / 2.5 años = 2,640 6,600 / 2.5 años = 2,640 2,640 / 2 = 1,320 (Semestral) 2,640 / 2 = 1,320 (Semestral)

24 Solución al Problema No. 4 Determinación de las ventas para el año 2011, utilizando el primer semipromedio y factor de acumulación anual: Determinación de las ventas para el año 2011, utilizando el primer semipromedio y factor de acumulación anual: Yc = a + bx Yc = a + bx Yc = 26, ,640 (4) Yc = 26, ,640 (4) Yc = 26, ,560 Yc = 26, ,560 Yc = 36,960 unidades Yc = 36,960 unidades

25 Solución al Problema No. 4 Determinación de las ventas para el año 2011, utilizando el segundo semipromedio y factor de acumulación semestral: Determinación de las ventas para el año 2011, utilizando el segundo semipromedio y factor de acumulación semestral: Yc = a + bx Yc = a + bx Yc = 33, ,320 (3) Yc = 33, ,320 (3) Yc = 33, ,960 Yc = 33, ,960 Yc = 36,960 unidades Yc = 36,960 unidades

26 Método de Mínimos Cuadrados Método eminentemente estadístico. Se debe tener pleno conocimiento de la simbología estadística. La fórmula general Yc = a + bx se desarrolla a través de las ecuaciones simultáneas siguientes: Σ Y = Na + b Σx Σ XY = a Σx + bΣx²

27 Método de Mínimos Cuadrados Procedimientos: Para poder aplicar el método de mínimos cuadrados pueden aplicarse dos tipos de procedimientos: Procedimiento General: Con origen en el primer dato o año (Método Largo). Procedimientos Cortos o abreviados (años pares o impares). Método Corto.

28 Problema No. 5 La empresa Computadoras Activas, S. A., necesita conocer su presupuesto e venta de computadoras personales para el año 2011, y para el efecto proporciona los siguientes datos: AñosVentas (unidades) , , , , , ,500

29 Solución al Problema No. 5 Se procede a despejar b: ΣY = Na + bΣx ΣXY = aΣx + bΣx² Para poder desarrollar el presente caso deben aplicarse procedimientos algebraicos que permitan despejar la presente ecuación simultánea. En el presente caso utilizaremos el método conocido como diferencia o eliminación, sin embargo existen entre otros procedimientos que también son aplicables. Este procedimiento consiste en multiplicar el factor de a de la primera ecuación (6) con todos los elementos de la segunda ecuación, igualmente se toma el factor de a de la segunda ecuación, pero con signo cambiado (-15) y se procede a multiplicarlo con todos los elementos de la primera ecuación. Lo anterior permitirá eliminar los factores de a.

30 Solución al Problema No. 5 NAñosXYXYX²X² , , ,00048, ,00078, ,000112, ,500147, ,000413,00055

31 Solución al Problema No ΣY = Na + bΣx ΣXY = aΣx + bΣx² 160,000 = 6a + 15b (-15) 413,000 = 15a + 55b (6) - 2,400,000 = - 90a - 225b 2,478,000 = 90a + 330b 78,000 = + 105b 78,000/105 = b = b

32 Solución al Problema No. 5 Se despeja a sustituyendo b por su valor: 2,478,000 = 90a + 330b 2,478,000 = 90a + 330( ) 2,478,000 = 90a + 245, ,478,000 – 245, = 90a 2,232, = 90a 2,232, / 90 = a 24, = a

33 Solución al Problema No. 5 Se sustituyen los valores en la fórmula general para determinar las ventas del año 2011: Yc = a + bx Yc = 24, (6) Yc = 24, , Yc = 29, Yc = 29,267 unidades Yc = 29,267 unidades

34 Presupuesto de Ventas Por Semestre Los presupuestos de ventas deben ser una herramienta que permita al empresario conocer el desenlace que tendrán sus operaciones para un periodo futuro, lo que le permitirá proyectarse con sus gastos. Los presupuestos de ventas deben ser una herramienta que permita al empresario conocer el desenlace que tendrán sus operaciones para un periodo futuro, lo que le permitirá proyectarse con sus gastos. Los presupuestos para ser de más utilidad pueden ser proyectados por periodos menores a un año, ya sea por trimestres o semestres, ambos son los más recomendados, en vista que por menos tiempo sería mucho el esfuerzo invertido para rendimientos menores, aunque si se puede elaborar si se contara con un sistema computarizado de presupuesto. Los presupuestos para ser de más utilidad pueden ser proyectados por periodos menores a un año, ya sea por trimestres o semestres, ambos son los más recomendados, en vista que por menos tiempo sería mucho el esfuerzo invertido para rendimientos menores, aunque si se puede elaborar si se contara con un sistema computarizado de presupuesto.

35 Problema No. 7 Semestre Enero – Junio18,00021,00023,000 Julio – Diciembre10,00011,00012,000 La empresa Los Escritores necesita conocer cual será el presupuesto de venta de textos escolares para el año 2010, para ello le proporciona la siguiente información: Con base en la información anterior se le solicita lo siguiente: Determinar, aplicando el método Y calculada las ventas por semestre del año 2011

36 Solución al Problema No. 7 Semestres Total% Enero - Junio 18,00021,00023,000 62, Julio – Dic. 10,00011,00012,000 33, Total28,00032,00035,00095, Comparación año base y último año: , , , ,000 Incremento 7,000 Incremento 7,000

37 Solución al Problema No Determinación del factor de acumulación: 7,000 unidades / 3 = 2, (Factor de acumulación) 7,000 unidades / 3 = 2, (Factor de acumulación) 3. Aplicación de la ecuación: Yc = a + b x Yc = a + b x Yc = 28, , (4) Yc = 28, , (4) Yc = 28, , Yc = 28, , Yc = 37, Yc = 37, Yc = 37,333 unidades Yc = 37,333 unidades

38 4. Distribución de las ventas estimadas para el 2011 en semestres: Semestre%Ventas 2011 Enero – Junio ,364 Julio – Diciembre ,969 Total ,333 R// Las ventas presupuestadas de textos escolares para el año 2011 son de 37,333 unidades en el primer semestre y 12,969 unidades en el segundo semestre R// Las ventas presupuestadas de textos escolares para el año 2011 son de 37,333 unidades en el primer semestre y 12,969 unidades en el segundo semestre

39 Presupuesto de Ventas por Zonas o Regiones Generalmente, además de que las ventas de las empresas se distribuyen estacionalmente, también se efectúan por regiones o zonas, por lo cual, para efectos del presupuesto de ventas, es necesario distribuir las ventas no sólo por estación, sino por región o zona, para lo cual se propone el siguiente procedimiento:

40 Presupuesto de Ventas por Zonas o Regiones Procedimiento: Se obtiene información estadística porcentual de la ventas por región. Se establecen totales de los porcentajes periódicos. Se obtienes promedios periódicos de los porcentajes. El promedio obtenido se aplica al total de las ventas por cada periodo que corresponda (mensual, trimestral, semestral).

41 Problema No. 8 La empresa La Abeja Veloz, necesita conocer cuales serán sus ventas de miel por regiones, para el año 2011, para lo cual le proporciona la siguiente información: RegiónPorcentaje de Ventas Norte Sur Oriente Occidente Total100 Con base en la información porcentual indicada, se distribuirán las ventas estimadas para el año 2011 de 680,000 litros de miel de abeja por región.

42 Solución Problema No. 8 Región Porcentaje de Ventas TotalPromedioVentas Norte ,244 Sur ,200 Oriente ,756 Occidente ,800 Total ,000

43 Cálculos Realizados Promedios: Se toma la suma de los porcentajes de las ventas realizadas durante los tres años por región, dividiendo el total dentro del número de años de las serie, ejemplo: Región Norte = 61 / 3 = Distribución de las ventas estimadas para el 2011 por regiones: Se multiplica el promedio de los porcentajes obtenidos en el cálculo anterior, por las ventas estimadas para el 2011, por ejemplo: Región Norte 680,000 unidades*20.33% = 138,244 unidades.

44 Método por Índice de Variación Estacional Como se indicó, las ventas de las empresas no son uniformes para todos los meses del año, trimestres, semestres, etc., sino responden a cierta tendencia estacional. Para aplicar tal tendencia al presupuesto de ventas, se utiliza el INDICE DE VARIACION ESTACIONAL, que consiste en determinar a través del análisis y procesamiento de la información estadística que se obtenga, un índice de variación que aplicado al promedio de los ingresos estimados, nos demuestre los ingresos estacionales.

45 Método por Índice de Variación Estacional Procedimiento: Se obtienen las ventas periódicas de la serie de años que se trate. Se establecen totales de las ventas periódicas (horizontal y Vertical). Se obtienen promedios periódicos de ventas. Se establece el promedio de los promedios. Se obtiene el IVE (índice de variación estacional), dividiendo el promedio periódico (paso 3º ) entre el promedio de los promedios (paso 4º ). Se obtiene el IVE (índice de variación estacional), dividiendo el promedio periódico (paso 3º ) entre el promedio de los promedios (paso 4º ). Se establece el promedio de las ventas estimadas para el periodo que se presupuesta. Se establece el promedio de las ventas estimadas para el periodo que se presupuesta. La estacionalidad de las ventas presupuestadas se obtiene multiplicando el índice de variación estacional (paso 5º ) por el promedio de ventas estimadas (paso 6º ) La estacionalidad de las ventas presupuestadas se obtiene multiplicando el índice de variación estacional (paso 5º ) por el promedio de ventas estimadas (paso 6º )

46 Problema No. 9 Periodo Primer TrimestreQ1,300.00Q1,700.00Q2, Segundo TrimestreQ1,500.00Q1,800.00Q2, Tercer TrimestreQ1,600.00Q2,100.00Q2, Cuarto TrimestreQ2,500.00Q2,900.00Q3, La fábrica de tejidos DURATEX, S. A., ha previsto para el año que termina el 31 de Diciembre de 2011, ventas por un monto de Q 12, La información de proyección de ventas por trimestres, que actualmente tiene la empresa y que corresponde a los años de 2008 a 2010 es el siguiente:

47 Problema No. 9 Región Norte Oriente25 22 Sur Occidente Las ventas regionales se han efectuado en las siguientes cantidades porcentuales (%) Con la información anterior se le pide: Calcular el índice de Variación Estacional (IVE), para luego y con base en éste, determinar las ventas esperadas para el 3º y 4º trimestre del año Determinar la distribución de las mismas ventas en las regiones de división del país.

48 Solución Problema No. 9 Periodo Suma de Años Trimestre 011,3001,7002,1005,100 Trimestre 021,5001,8002,4005,700 Trimestre 031,6002,1002,6006,300 Trimestre 042,5002,9003,6009,000 Total6,9008,50010,70026,100 Índice de Variación Estacional (IVE) para el año Determinación del Presupuesto de Venta por trimestre.

49 Solución Problema No. 9 PeriodoPromedio de Ventas Promedio de Promedios (IVE) Promedio de Ventas Estimadas 2011 Porcentaje de Ventas del 2011 Trimestre 011, , % Trimestre 021, , % Trimestre 032, , % Trimestre 043, , % Total8, , %

50 Cálculos Realizados Promedio de Ventas: Se toma el total de las ventas en las series de años en cada trimestre y luego se divide dentro de tres (este divisor variará, dependiendo del número de años con que cuente la serie). Ejemplo: Primer trimestre: 5,100 / 3 = 1,700 Promedio de Promedios o Índice de Variación Estacional: La suma total de promedio de ventas se divide dentro de cuatro (este divisor variará dependiendo del periodo de tiempo que se esté utilizando, pues si se tratara de bimestres, se dividirá dentro de seis). 8,700 / 4 = 2,175

51 Cálculos Realizados Luego se procede a dividir los promedios de cada trimestre dentro de este factor, así: 1er. Trimestre 1,700 / 2,175 = do. Trimestre 1,900 / 2,175 = er. Trimestre 2,100 / 2,175 = to. Trimestre 3,000 / 2,175 = 1.38 Para comprobar si los cálculos anteriores son correctos, se procede a sumar los índices de variación estacional, los cuales deberán dar como resultado, el número de trimestres que hay en el año, es decir 4: = 4.00 Ventas estimadas por Trimestre para el año Se dividen las ventas estimadas para el año 2011, que en el presente caso son 12,000 dentro de cuatro, luego se multiplica el resultado por el índice de variación estacional de cada trimestre, así: 12,000 / 4 = 3,000 1er. Trimestre: 0.78 * 3,000 = 2,340 2do. Trimestre: 0.87 * 3,000 = 2,610 3er. Trimestre: 0.97 * 3,000 = 2,910 4to. Trimestre: 1.38 * 3,000 = 4,140

52 Cálculos Realizados Para comprobar si los cálculos anteriores son correctos, se procede a sumar las ventas estimadas de cada trimestre, las cuales deberán dar como resultado las ventas totales presupuestadas para el año 2011, es decir, 12,000. 2, , , ,140 = 12,000 Porcentaje de las Ventas Estimadas para el año 2011 por Trimestre: Se dividen las ventas estimadas de cada trimestre dentro de las ventas totales estimadas, multiplicando el resultado por cien: 1er. Trimestre: 2,340 / 12,000 = * 100 = 19.50% 2do. Trimestre: 2,610 / 12,000 = * 100 = 21.75% 3er. Trimestre: 2,910 / 12,000 = * 100 = 24.25% 4to. Trimestre: 4,140 / 12,000 = * 100 = 34.50%

53 Determinación del Presupuesto de Ventas de 2011 por Regiones Región SumaPromedio Ventas por Región Norte %2, Oriente %2, Sur %3, Occidente %3, %12,000.00

54 Cálculos Realizados Promedio de las Proporciones Porcentuales de cada Región en los años de la serie: Promedio de las Proporciones Porcentuales de cada Región en los años de la serie: Se divide la sumatoria de los porcentajes de ventas de cada región en la serie de años dentro del número de años que contiene la serie, en el presente caso son tres los años que conforman la serie. Se divide la sumatoria de los porcentajes de ventas de cada región en la serie de años dentro del número de años que contiene la serie, en el presente caso son tres los años que conforman la serie. Ejemplo: 1er. Trimestre = 55/3 = 18.33% Determinación de las Ventas Estimadas para el año 2011 por región: Determinación de las Ventas Estimadas para el año 2011 por región: Se multiplican las ventas totales estimadas para el 2011 por el promedio calculado en el punto anterior, así: Se multiplican las ventas totales estimadas para el 2011 por el promedio calculado en el punto anterior, así: 1er. Trimestre: 12,000 * 18.33% = 2, do. Trimestre: 12,000 * 24.00% = 2, er. Trimestre: 12,000 * 30.67% = 3, to. Trimestre: 12,000 * 27.00% = 3,240.00

55 ES TODO PARA ESTE FIN DE SEMANA Algunas veces el camino corto es el más fácil, otras no, una buen parte de la vida consiste en saber cuando. Filosofía China


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