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1 Problemas aritméticos Para resolver muchas situaciones es necesario aplicar técnicas de proporcionalidad y el manejo de porcentajes.

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1 1 Problemas aritméticos Para resolver muchas situaciones es necesario aplicar técnicas de proporcionalidad y el manejo de porcentajes.

2 Existen muchas situaciones que se resuelven con reglas de tres simples, directas o inversas, y métodos de reducción a la unidad. Proporcionalidad simple PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: Al aumentar una el doble, el triple…, la otra aumenta en igual medida. Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra disminuye en la misma medida. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: Al aumentar una el doble, el triple…, la otra disminuye la mitad, un tercio… Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra aumenta el doble, el triple…

3 Proporcionalidad simple Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? PROPORCIONALIDAD DIRECTA

4 Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? A medida que aumentan las páginas aumenta el tiempo, y la relación es de proporcionalidad directa. 20 min x 4 páginas 22 páginas PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple

5 Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? A medida que aumentan las páginas aumenta el tiempo, y la relación es de proporcionalidad directa. 20 min x 4 páginas 22 páginas PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple

6 Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? A medida que aumentan las páginas aumenta el tiempo, y la relación es de proporcionalidad directa. 20 min x 4 páginas 22 páginas PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple

7 Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? PROPORCIONALIDAD INVERSA

8 Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? A medida que aumentan los ordenadores conectados disminuye la velocidad, y la relación es de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 ordenadores x 256 kbps 6 ordenadores

9 Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? A medida que aumentan los ordenadores conectados disminuye la velocidad, y la relación es de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 ordenadores x 256 kbps 6 ordenadores

10 Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? A medida que aumentan los ordenadores conectados disminuye la velocidad, y la relación es de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 ordenadores x 256 kbps 6 ordenadores

11 Repartos proporcionales Al repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a una serie de números, las partes se calculan multiplicando cada número por la cantidad que se quiera repartir, dividida entre la suma de los números. Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a una serie de números equivale a repartirla en partes directamente proporcionales a los inversos de dichos números.

12 Tres jardineros reparten 420 en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Repartos proporcionales

13 Tres jardineros reparten 420 en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Repartos proporcionales

14 JardinerosHORASDINERO Juan6 Lucía5 Jesús8 66,13211,226 55,11011,225 88,17611,228 Tres jardineros reparten 420 en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Repartos proporcionales

15 INVERSAMENTE PROPORCIONALES En un testamento se leía lo siguiente: Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos. Si el capital es 7.000, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿ cuánto le correspondió a cada uno? Repartos proporcionales

16 INVERSAMENTE PROPORCIONALES En un testamento se leía lo siguiente: Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos. Si el capital es 7.000, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿ cuánto le correspondió a cada uno? Repartos proporcionales

17 INVERSAMENTE PROPORCIONALES En un testamento se leía lo siguiente: Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos. Si el capital es 7.000, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿ cuánto le correspondió a cada uno? HerederosEDADINVERSODINERO Heredero 1401/40 Heredero 2501/50 Heredero 3801/80 48, , , , , , Repartos proporcionales

18 Cuando una situación de proporcionalidad, inversa o directa, relaciona más de dos magnitudes, hablamos de proporcionalidad compuesta. Proporcionalidad compuesta Para resolver una situación de proporcionalidad compuesta, se utilizan los mismos métodos que para la proporcionalidad simple: regla de tres compuesta y método de reducción a la unidad.

19 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿ Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta

20 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿ Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x

21 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x directa

22 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x inversa directa

23 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x inversa directa inversa

24 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x inversa directa inversa

25 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x inversa directa inversa

26 Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? Proporcionalidad compuesta OBREROSDÍASMETROSHORAS x inversa directa inversa Los 24 obreros emplearán 5 horas diarias durante 14 días para tender 700 metros de cable.

27 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. Porcentajes 1. Si un televisor cuesta y hemos pagado el 65%, ¿ qué cantidad hemos pagado? 2. Si un televisor cuesta y nos quedan por pagar 600, ¿ qué porcentaje hemos pagado?

28 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. Porcentajes 1. Si un televisor cuesta y hemos pagado el 65%, ¿ qué cantidad hemos pagado? 2. Si un televisor cuesta y nos quedan por pagar 600, ¿ qué porcentaje hemos pagado?

29 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. Porcentajes 1. Si un televisor cuesta y hemos pagado el 65%, ¿ qué cantidad hemos pagado? 2. Si un televisor cuesta y nos quedan por pagar 600, ¿ qué porcentaje hemos pagado?

30 Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C. Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C. Aumentos y disminuciones porcentuales Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 ?

31 Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C. Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C. Aumentos y disminuciones porcentuales 1ª rebajas: disminuir 10% de 42 Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 ? 4290,042) (1 42 de )%10100(

32 Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C. Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C. Aumentos y disminuciones porcentuales 1ª rebajas: disminuir 10% de 42 2ª rebajas: disminuir 15% de las 1ª rebajas 13,324290,085,0 )4290,0() (1 42)(0,90 de )%15100( Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 ? 4290,042) (1 42 de )%10100(

33 El interés simple, i, es el beneficio que origina una cantidad de dinero llamado capital, C, en un periodo de tiempo, t, a un rédito determinado, r. Si el tiempo se da en meses o en días, la fórmula se transforma en: Interés simple

34 Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio. Interés simple

35 Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio. En años: Interés simple

36 Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio. 2 años y medio son meses, es decir, 30 meses. En años: En meses:

37 Cuando los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retiran, como hacemos en el interés simple, sino que se añaden al capital y se reinvierten, estamos ante el concepto de interés compuesto. t if CC 100 r 1 El capital final, C f, obtenido al invertir un capital, C i, a un rédito, r, durante un tiempo, t, a interés compuesto, es: Interés compuesto

38 Calcular el capital invertido que hemos invertido a interés compuesto durante 2 años al 5% para que produzca un capital final de 200. t if CC 100 r 1

39 Interés compuesto Calcular el capital invertido que hemos invertido a interés compuesto durante 2 años al 5% para que produzca un capital final de i C i C41, ,1 200 i C t if CC 100 r 1


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