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ESTIMACIÓN EN ÁREAS PEQUEÑAS EN EL INSTITUTO GALEGO DE ESTATÍSTICA Esther López Vizcaíno

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Presentación del tema: "ESTIMACIÓN EN ÁREAS PEQUEÑAS EN EL INSTITUTO GALEGO DE ESTATÍSTICA Esther López Vizcaíno"— Transcripción de la presentación:

1 ESTIMACIÓN EN ÁREAS PEQUEÑAS EN EL INSTITUTO GALEGO DE ESTATÍSTICA Esther López Vizcaíno

2 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Introducción Ejemplo para la discusión Ejemplo de aplicación de modelos con datos agregados Ejemplo de aplicación de modelos con datos a nivel de individuo Conclusiones Futuro Bibliografía Contenido

3 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Necesidades de los usuarios La información derivada de operaciones censales es costosa y se limita a una serie de variables cuya referencia temporal no tiene la actualización necesaria Los registros administrativos, con un enorme potencial de información, no se explotan lo suficiente Las encuestas por muestreo, dado su elevado coste, raramente aportan datos representativos para territorios infra-municipales Qué ? falla Demanda de datos estadísticos en áreas pequeñas No está totalmente satisfecha

4 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Demanda creciente Administraciones locales Investigadores Usuarios privados Por sus propias competencias, requieren información desagregada para el diseño y evaluación de sus políticas en sus respectivos ámbitos geográficos Políticas de marketing a poblaciones o segmentos muy concretos Las decisiones de inversión en una región se basan en el conocimiento de sus características: población activa, costes de producción, … Necesitan datos suficientemente desagregados con el objeto de construír, contrastar y validar modelos

5 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Tendencia hacia una mayor demanda de datos desagregados Productores públicos Los productores públicos de estadísticas deben enfrentarse a este reto en cumplimiento de su misión MISIÓN Proporcionar información relevante, fiable y de forma neutral

6 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Problema Nº de observaciones escaso en el dominio de interés Estimaciones directas con poca precisión Aumento de costes Mayor carga de respuesta a los informantes > Errores ajenos al muestreo Aumento de muestra Empleo de técnicas indirectas de estimación Información auxiliar De la encuesta De muestras complementarias De fuentes administrativas

7 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Antecedentes Informe elaborado por un grupo de expertos al Comité Interterritorial de Estadísticas (CITE) sobre La organización de la estadística pública en España. Situación actual y propuestas de mejora... las ventajas de las encuestas por muestreo como técnica de recogida de información disminuyen a medida que se reduce el tamaño de la población, de modo que en poblaciones pequeñas es preferible acudir a otras fuentes de información, como los registros administrativos, o profundizar en las técnicas de estimación en áreas pequeñas. Proyecto EURAREA Proyecto financiado parcialmente por la Unión Europea dentro del 5º programa de I+D Desarrollado por un Consorcio formado por las oficinas de estadística y las universidades de 7 países europeos: U.K., Finlandia, España, Noruega, Suecia, Polonia, Italia, U. Of Southampton, U. Of Jyvaskyla, U. Miguel Hernández, Poznan U. Of Economics, U. Degli Studi di Roma. Objetivo: evaluar la eficiencia de los estimadores estándar para áreas pequeñas

8 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Antecedentes Grupo de trabajo áreas pequeñas INE-CCAA Objetivo: establecer procedimientos para elaborar estimaciones en áreas pequeñas de las variables más significativas de la Encuesta de Población Activa (EPA), teniendo en cuenta la experiencia del INE en el proyecto EURAREA de la Unión Europea Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT) Estimación de áreas pequeñas en la encuesta industrial de la Comunidad Autónoma de Euskadi

9 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Antecedentes Programa estatístico anual 2007 Galicia Actividad estadística Investigación y desarrollo de métodos de estimación en áreas pequeñas Objetivo.- Mejorar las predicciones o estimaciones de variables o parámetros de interés en las encuestas realizadas por el IGE considerando un nivel de desagregación mayor de aquel para el que se diseñó la encuesta Convenio de colaboración IGE-USC Recopilar y divulgar los métodos de inferencia estadística en áreas pequenas ya existentes Realización de una jornada de carácter internacional que reuna a expertos en el tema Otros objetivos

10 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Encuesta de condiciones de vida (IGE) Trabajos a realizar Variables objetivo: nº de parados, tasa de paro Desagregación geográfica: 53 comarcas (NUTS IV), 14 agrupaciones de comarcas

11 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Encuesta de condiciones de vida (IGE) Trabajos a realizar Encuesta anual dirigida a hogares Objetivo: obtener información de las características socioeconómicas de los hogares gallegos Muestreo: bietápico con estratificación previa de las unidades de primera etapa Muestras independientes en cada área (agrupaciones de comarcas) Unidades de primera etapa: secciones censales Unidades de segunda etapa: vivienda familiar principal

12 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Trabajos a realizar Encuesta de condiciones de vida (IGE) En la primera etapa las secciones se seleccionan con probabilidad proporcional a su tamaño En la segunda etapa las viviendas se seleccionan con muestreo sistemático con arranque aleatorio. Se entrevistan a todos los individuos de las viviendas seleccionadas Estimadores: estimadores de expansión corregidos con información proporcionada por fuentes externas (calibrado) Se obtiene información a nivel de Galicia, provincias y de agrupaciones de comarcas

13 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación del nº de parados y la tasa de paro en 14 agrupaciones comarcales: –Estimador directo –Estimador sintético básico –Estimador compuesto Ejemplo Cálculo de los coeficientes de variación de los estimadores empleando Jackknife

14 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimadores Estimador directo –Total –Media Estimador postestratificado g: grupo de edad Ndg:población en el área d y grupo de edad g

15 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimadores Estimador sintético básico –Se construyeron grupos de comarcas (grup) que presentan un comportamiento homogéneo en cuanto a las variables a estudiar (Censo 2001) –Se construyeron grupos en función del sexo y si la variable es parado o ocupado

16 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Ocupados Parados Estimador sintético básico. Grupos

17 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Mujeres ocupadasMujeres paradas Estimador sintético básico. Grupos

18 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimadores Estimador compuesto

19 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Método Jackknife Estimador de la varianza L: nº de estratos Sh: total de secciones muestrales en el estrato h : estimador obtenido despues de suprimir de la muestra la sección s en el estrato h Y Jh : media de los estimadores correspondientes al estrato h

20 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Método Jackknife Estimador del sesgo L: nº de estratos Sh: total de secciones muestrales en el estrato h : estimador obtenido despues de suprimir de la muestra la sección s en el estrato h Y Jh : media de los estimadores correspondientes al estrato h

21 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Método Jackknife Estimador del coeficiente de variación: Deberían ser inferiores al 20%-25% para indicar que existe fiabilidad

22 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Tasa de paro Estimación directa Resultados con mucha variabilidad

23 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación sintética Tasa de paro Los resultados se estabilizan

24 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimador compuesto (α=2) Tasa de paro Los resultados no son tan estables como en el sintético

25 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Situación. Año 2005 Número reducido de personas paradas en la muestra

26 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación directa Tasa de paro. Coeficientes de variación 2005

27 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación sintética Tasa de paro. Coeficientes de variación 2005

28 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimador compuesto (α=2)

29 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación directa Parados. Coeficientes de variación 2005 Los mayor parte de los estimadores tienen muy poca precisión

30 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación sintética Parados. Coeficientes de variación 2005

31 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimador compuesto (α=2)

32 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación directa Tasa de paro mujeres. Coeficientes de variación 2005

33 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimación sintética Tasa de paro mujeres. Coeficientes de variación 2005 Los CV del estimador sintético no tienen una relación directa con el tamaño de muestra

34 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Encuesta de condiciones de vida (IGE) Trabajos a realizar Variable OBJETIVO: ingreso medio mensual por hogar, ingreso equivalente del hogar Desagregación geográfica: 53 comarcas (NUTS IV) Información auxiliar a nivel de área: -Impuesto de la renta de las personas físicas: renta imponible, nº de declarantes, rendimiento medio, porcentaje de rendimientos procedentes del trabajo (AEAT)

35 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Informacion muestral: Encuesta de condiciones de vida de las familias (ECV).Informacion a nivel de individuo. Informacion auxiliar: Impuesto sobre la renta de las personas físicas (IRPF).Información a nivel de municipio. INFORMACIÓN DISPONIBLE

36 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTIMADORES Estimador basado en el diseño: Horvitz-Thompson Para un área d Estimadores asistidos por el diseño: postestratificado sintético Estimadores compuestos

37 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Estimadores basados en el modelo: Fay- Herriot Modelo de regresión lineal mixto para datos agregados Basado en el modelo Para un área d el estimador de Fay-Herriot es: ESTIMADORES

38 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Fórmulas analíticas Bootstrap Naive (estimador de HT) Se extraen B muestras con reemplazamiento a partir de la muestra original, utilizando el mismo diseño muestral Sea el estimador obtenido a partir de la b-ésima muestra bootstrap. Entonces el estimador de la varianza es:

39 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Bootstrap paramétrico (Fay-Herriot) Para estimar el MSE del estimador de Fay-Herriot se aplicará un método Bootstrap paramétrico (González-Manteiga et al. 2008) 1.- Se construye un modelo Bootstrap a partir de los parámetros estimados con la muestra original 2.- A partir de este modelo se generan B vectores Bootstrap de los cuales se calcula el MSE

40 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 De todas las variables auxiliares disponibles nos quedamos con: Rendi Medio: Rendimiento medio =Renta Imponible/Número Declarantes Buscamos variables que tengan correlación con nuestra variable objetivo. ESTIMADORES

41 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Generación de una población de hogares a partir de los datos de la muestra. Las variables generadas son: comarca: Comarca a la que pertenece el hogar. estrato: Estrato al que pertenece el hogar. ingreso: Ingreso mensual del hogar. pers hogar: Numero de miembros del hogar. ingreso equiv: Ingreso equivalente mensual del hogar. Procedemos a la simulación tomando muestras de la poblacion generada y analizamos los posibles estimadores

42 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Indicadores de evaluación Sesgo relativo en valor absoluto % Error cuadrático medio: MSE Raíz cuadrada del error cuadrático medio relativo %

43 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio mensual por hogar

44 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio mensual por hogar

45 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio mensual por hogar

46 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio equivalente por hogar

47 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio equivalente por hogar

48 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Ingreso medio equivalente por hogar

49 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Para las comarcas con tamaño muestral grande (>100) los resultados son similares para todos los estimadores Para las comarcas con tamaño muestral pequeño el estimador de Fay- Herriot es el que mejor se aproxima a la variable objetivo Hay suficiente razón para incluir el estimador Fay-Herriot como competidor serio de los estimadores basados en el diseño.

50 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

51 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

52 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

53 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

54 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008

55 RESULTADOS El estimador Fay-Herriot es el estimador con menor coeficiente de variación. Hay poca diferencia entre la estimación analítica y la estimación por Bootstrap del error del estimador Fay-Herriot. Es recomendable usar el estimador Fay-Herriot para este problema,sobre todo en las comarcas con poca muestra ( 48 hogares).

56 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Trabajos a realizar Encuesta industrial de empresas (INE) Variable objetivo: Importe neto de la cifra de negocios en las empresas de menos de 20 empleados Desagregación geográfica: 53 comarcas (NUTS IV) Información auxiliar a nivel de individuo: -Directorio de empresas: nº de empleados todos los establecimientos industriales gallegos -Encuesta: nº de empleados, importe neto de la cifra de negocios en el año anterior, horas trabajadas en el año, nº medio de personas ocupadas en el año anterior y nº de personas ocupadas.

57 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Objetivo: Estimación del importe neto de la cifra de negocios del sector industrial en los establecimientos con menos de 20 personas ocupadas remuneradas en las comarcas gallegas. Informacion auxiliar. (Encuesta Industrial del INE(2005)). B13=importe neto de la cifra de negocios B10= ventas netas de productos B141=importe neto de la cifra de negocios en el año anterior A3=personas ocupadas remuneradas (Información poblacional) A140=nº medio de personas ocupadas en el año anterior A4= horas trabajadas en el año por el personal remunerado Población: los establecimientos industriales con menos de 20 personas ocupadas remuneradas. N = 9235 Muestra: m.a.s, de tamaño n = 1152 Áreas pequeñas: comarcas gallegas. Trabajos a realizar

58 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTIMADORES Sin información auxiliar: Horvitz-Thompson Con información auxiliar específica de las áreas pequeñas: estimador de regresión generalizado directo o estimador GREG Estimadores directos

59 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTIMADORES Estimador sintético Estimadores compuestos Estimadores indirectos Drew, Singh y Choudry (1982) Sarndal y Hidiroglou (1989)

60 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTIMADORES Modelo tipo individuo sin información poblacional Modelo tipo individuo con información poblacional Estimadores EBLUP Basados en el modelo

61 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Fórmulas analíticas Jackknife Las muestras Jackknife se obtienen suprimiendo una unidad de la muestra original Sesgo Estimador obtenido de suprimir la unidad (j) de la muestra Pseudovalores Jackknife

62 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 Cálculo de los errores de muestreo Bootstrap: 2 tipos En todos los estimadores que empleen información poblacional de una variable auxiliar, se aplicará un método de remuestreo bootstrap en el que se construye una población artificial a partir de la cual se extraen muestras, González-Manteiga et al (2008) Cuando se usa solo información muestral se aplicará el bootstrap consistente en seleccionar B muestras aleatorias simples con reemplazamiento de la muestra original

63 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Generación de una población que se ajusta a un modelo tipo individuo con cuatro variables auxiliares (p=4) m=8 áreas con tamaños poblacionales Ni i=1, …, 8 Las 8 áreas tienen tamaños muestrales ni i=1,…, 8 (similares al problema real) Procedemos a la simulación tomando 1500 muestras de la población generada y analizamos los posibles estimadores

64 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN

65 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Los estimadores basados en el modelo con información poblacional son los que tienen un mayor MSE

66 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN El estimador compuesto 3 sigue el comportamiento del sintético Los estimadores compuestos 1 y 4 siguen el comportamiento del GREG directo En los estimadores basados en modelos apenas hay diferencia en estimar las componentes de por ML o REML

67 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN cv_SINT es el cv real cv_SINT1 y cv_SINT2 usan estimadores analíticos cv_SINTJ y cv_SINTJS usan estimadores Jackknife cv_SINTB usan estimadores bootstrap

68 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Parece que el que mejor funciona es el bootstrap

69 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN

70 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Los estimadores Jackknife y la fórmula analítica de Prasad y Rao infraestiman el verdadero coeficiente de variación

71 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN El estimador del cv con fórmulas analíticas dá buenos resultados

72 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Mal comportamiento de los estimadores basados en el modelo cuando se usa información poblacional de una única variable Los estimadores que mejor funcionan, en cuanto a que su MSE es bajo, son el estimador GREG, el estimador compuesto 2, el estimador sintético y por último los basados en el modelo Los estimadores analíticos del MSE no funcionan bien, es necesario emplear técnicas de remuestreo como el Jackknife o el Bootstrap Para el estimador sintético y el compuesto 2 los estimadores Jackknife y Bootstrap para la estimación del MSE funcionan mucho mejor que el analítico Para el estimador EBLUP los resultados obtenidos a partir del estimador Jackknife del MSE infraestiman el verdadero valor del coeficiente de variación (CV)

73 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

74 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

75 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

76 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

77 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

78 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS

79 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 RESULTADOS El estimador GREG es el estimador cuyos coeficientes de variación estimados son más altos, alcanzando unos valores muy elevados Con el estimador H-T se obtienen unos estimadores del cv bastante buenos El estimador sintético no es un buen estimador para este ejemplo Los cv más bajos corresponden al estimador basado en el modelo sin información poblacional. Hay que recordar que en la simulación los estimadores jackknife del MSE y la fórmula analítica de Prasad y Rao infraestimaban el coeficiente de variación teórico en los estimadores basados en modelos

80 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 FUTURO Estimadores basados en modelos multinomiales mixtos Estudio de modelos dinámicos –Inluyen el horizonte temporal

81 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 BIBLIOGRAFÍA Azula Lazkano, I., Garrido Espinosa, P. y Olaeta Goiriena, H. Estimadores directos y asistidos por modelos. Estimación en Áreas Pequeñas. Una aplicación a la Encuesta Industrial de la Comunidad Autónoma de Euskadi, Eustat, Donostia. Cochran, W.G. (1987), Técnicas de muestreo. New York: Wiley. Datta, G.S. y Lahiri, P. (2000), A Unified Measure of Uncertainty of Estimated Best Linear Unbiased Predictors in Small Area Estimation Problems, Statistica Sinica, 10, EUSTAT. (2007). Cálculo de coeficientes de variación para diferentes estimadores directos e indirectos utilizados en las encuestas económicas de Eustat. EUSTAT. EUSTAT. (2008). Estimación de áreas pequeñas en la Encuesta de Población en relación con la actividad de la C. A. de Euskadi.EUSTAT. EAPRA c.pdfwww.eustat.es/documents/datos/CT EAPRA c.pdf Ghosh, M. y Rao, J.N.K. (1994), Small Area Estimation: An Appraisal, Statistical Science, 9, González-Manteiga W, Lombardía MJ, Molina I, Morales, D, Santamaría L (2008). Analytic and bootstrap approximations of prediction errors under a multivariate Fay-Herriot model. Computational Statistics and Data Analysis 52, González Manteiga W, Lombardía MJ, Molina I., Morales D., Santamaría L.(2008). Bootstrap mean squared error of a small-area EBLUP. Journal of Statistical Computation and Simulation Vol 78, nº 5, May 2008, Jiang, J. y Lahiri, P. (2006), Mixed Model Prediction and Small Area Estimation, Sociedad de Estadística e Investigación Operativa, 15,1-96. Militino, A. F., Ugarte, M. D. y Goicoa, T. (2007). A EBLUP Synthetic Versus an EBLUP Estimator: An Empirical Study of a Small Area Estimation Problem. Journal of Apllied Statistics. 34, Rao, J.N.K. (2003), Small Area Estimation. New York:Wiley. S¨arndal, C.E., Swensson, B. y Wretman, J.H. (1992), Model Assisted Survey Sampling, New York: Springer- Verlag. S¨arndal, C.E. y Hidiroglou, M.A. (1989), Small Domain Estimation: A Conditional Analysis, Journal of the American Statistical Association,84, Valliant, R., Dortman, A.H. y Royall R.M. (2000). Finite Population Sampling and Inference. New York: John Wiley.

82 Curso sobre estimación en pequeños dominios. Madrid, 26 de noviembre 2008 FIN MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN


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