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Número PhI Hajar El Azhari. Índice Número áureo Como obtener el número áureo –Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo –Phi a partir de triangulo.

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1 Número PhI Hajar El Azhari

2 Índice Número áureo Como obtener el número áureo –Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo –Phi a partir de triangulo rectángulo –Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo –Phi a partir de círculos concéntricos –Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo –Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo –Phi en la sucesión de Fibonacci Historia del número PHi Número áureo Como obtener el número áureo –Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo –Phi a partir de triangulo rectángulo –Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo –Phi a partir de círculos concéntricos –Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo –Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo –Phi en la sucesión de Fibonacci Historia del número PHi

3 Número áureo El número áureo o de oro representado por la letra griega φ o Φ, en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional Se trata de un número algebraico irracional que posee muchas propiedades y que fue descubierto en la antigüedad, como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes. El número áureo o de oro representado por la letra griega φ o Φ, en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional Se trata de un número algebraico irracional que posee muchas propiedades y que fue descubierto en la antigüedad, como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes.

4 Cómo obtener el número φ o Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo Para obtener el numero áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo. Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado, el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos. 2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a 5. Al que se suma 1 para completar el segmento y obtener el valor de phi para dos, por lo tanto lo dividir por dos. (5 + 1) ÷ 2 = 1, o Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo Para obtener el numero áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo. Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado, el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos. 2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a 5. Al que se suma 1 para completar el segmento y obtener el valor de phi para dos, por lo tanto lo dividir por dos. (5 + 1) ÷ 2 = 1,

5 Cómo obtener el número φ o Phi a partir de triangulo rectángulo Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E. Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D. Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1. o Phi a partir de triangulo rectángulo Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E. Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D. Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1.

6 Cómo obtener el número φ o Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo. Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi. o Phi a partir de círculos concéntricos Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el diámetro de uno de ellos sea el doble del otro. Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado). o Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo. Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi. o Phi a partir de círculos concéntricos Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el diámetro de uno de ellos sea el doble del otro. Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado).

7 Cómo obtener el número φ Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ. o Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una línea que pasa por el centro de dos lados del triángulo llevándola hasta el círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi. En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H. La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I. Perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M. Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ. o Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una línea que pasa por el centro de dos lados del triángulo llevándola hasta el círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi. En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H. La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I. Perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M.

8 Cómo obtener el número φ Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O. o Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero. El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC. AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: 2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a v5. Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O. o Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero. El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC. AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: 2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a v5.

9 Cómo obtener el número φ Phi en la sucesión de Fibonacci Se puede hallar este número también con la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión matemática es la siguiente: Esta numeración consiste en sumar el anterior número para descubrir el siguiente, por ejemplo el siguiente a 8 es 8+5=13. Phi en la sucesión de Fibonacci Se puede hallar este número también con la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión matemática es la siguiente: Esta numeración consiste en sumar el anterior número para descubrir el siguiente, por ejemplo el siguiente a 8 es 8+5=13.

10 Historia del número φ El número Phi ha existido siempre en el universo físico y se puede explicar de forma matemática. Pero el hombre a lo largo de la historia lo ha descubierto y redescubierto alguna vez. El numero Phi era conocido en la antigua Grecia. Después estos conocimientos fueron olvidados para ser redescubierto mas tarde en la historia. Es por esto también que este número recibe varios nombres. Antiguo Egipto El número áureo se encuentra en numerosas obras de arte del antiguo Egipto. En la gran pirámide de Keops la relación entre su altitud y la mitad de un lado de su base es casi exactamente phi. Aunque no se sabe de cierto que este numero fuese conocido por los antiguos egipcios, el sistema de medidas se basa en la diferentes partes del cuerpo por lo que no es extraño que se encuentre phi en las pirámides. El número Phi ha existido siempre en el universo físico y se puede explicar de forma matemática. Pero el hombre a lo largo de la historia lo ha descubierto y redescubierto alguna vez. El numero Phi era conocido en la antigua Grecia. Después estos conocimientos fueron olvidados para ser redescubierto mas tarde en la historia. Es por esto también que este número recibe varios nombres. Antiguo Egipto El número áureo se encuentra en numerosas obras de arte del antiguo Egipto. En la gran pirámide de Keops la relación entre su altitud y la mitad de un lado de su base es casi exactamente phi. Aunque no se sabe de cierto que este numero fuese conocido por los antiguos egipcios, el sistema de medidas se basa en la diferentes partes del cuerpo por lo que no es extraño que se encuentre phi en las pirámides.

11 Historia del número φ Antigua Grecia En la escuela de Pitágoras (570 / 480 antes de JC) se dice "todo esta arreglado con el numero". Pitágoras y sus discípulos descubren los segmentos inconmensurables apoyándose sin duda en la proporciona áurea. Fidias (490 / 430 antes de JC) utilizó la proporción áurea en el Partenón. Euclides (325 / 265 antes de JC) define la proporción correspondiente al numero áureo en los "elementos de geometría". Vitrubio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero romano aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al numero Phi sino al estudio de las proporciones humanas. Antigua Grecia En la escuela de Pitágoras (570 / 480 antes de JC) se dice "todo esta arreglado con el numero". Pitágoras y sus discípulos descubren los segmentos inconmensurables apoyándose sin duda en la proporciona áurea. Fidias (490 / 430 antes de JC) utilizó la proporción áurea en el Partenón. Euclides (325 / 265 antes de JC) define la proporción correspondiente al numero áureo en los "elementos de geometría". Vitrubio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero romano aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al numero Phi sino al estudio de las proporciones humanas.

12 Historia del número φ Edad Media Fibonacci (1175 / 1240) recoge los conocimientos de Euclides, su sucesión tiene relación directa con el numero phi. Renacimiento Luca di Borgo (nacido en 1445) también llamado Luca Pacioli utiliza el número Phi en su libro "de divina proportione. Aunque este tratado es puramente geométrico nada sobre el arte. Luca Pacioli fue fraile Franciscano y profesor de matematicas. Leonardo de Vinci reflexiona sobre las proporciones humanas perfectas basada en el número Phi que el denomina "sectio aurea Johannes Kepler (1571 /1630) Astrónomo alemán considera el numero phi uno de los grandes tesoros de la geometría. Edad Media Fibonacci (1175 / 1240) recoge los conocimientos de Euclides, su sucesión tiene relación directa con el numero phi. Renacimiento Luca di Borgo (nacido en 1445) también llamado Luca Pacioli utiliza el número Phi en su libro "de divina proportione. Aunque este tratado es puramente geométrico nada sobre el arte. Luca Pacioli fue fraile Franciscano y profesor de matematicas. Leonardo de Vinci reflexiona sobre las proporciones humanas perfectas basada en el número Phi que el denomina "sectio aurea Johannes Kepler (1571 /1630) Astrónomo alemán considera el numero phi uno de los grandes tesoros de la geometría.

13 Historia del número φ Siglo XX Martin Ohm Matemático alemán escribió sobre la sección Áurea en 1835 en su libro "Die reine elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación phi en honor a Fidias. Adolf zeising (1810 / 1876) doctor en filosofía y profesor habla de la sección Áurea pero no del punto de vista geométrico o matemático sino sobre la estética y la arquitectura. Busca y encuentra esta proporción en los monumentos clásicos. Es el que introduce el lado mítico y místico del número phi. Matila Ghyka rumano que escribe sobre el número Phi y lo encuentra en multitud de monumentos pero también en la naturaleza. Le corbusier arquitecto Francés inventa el "modulator" que es un sistema de proporciones arquitecturales y la rapidez de construcción. Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus cuadros. Despues de unos años de duro trabejo se comprobó que el numero fi realmente existia y que es un número Siglo XX Martin Ohm Matemático alemán escribió sobre la sección Áurea en 1835 en su libro "Die reine elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación phi en honor a Fidias. Adolf zeising (1810 / 1876) doctor en filosofía y profesor habla de la sección Áurea pero no del punto de vista geométrico o matemático sino sobre la estética y la arquitectura. Busca y encuentra esta proporción en los monumentos clásicos. Es el que introduce el lado mítico y místico del número phi. Matila Ghyka rumano que escribe sobre el número Phi y lo encuentra en multitud de monumentos pero también en la naturaleza. Le corbusier arquitecto Francés inventa el "modulator" que es un sistema de proporciones arquitecturales y la rapidez de construcción. Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus cuadros. Despues de unos años de duro trabejo se comprobó que el numero fi realmente existia y que es un número


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