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Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES UNIDAD III: ERRORES Hemos desarrollado:

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1 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES UNIDAD III: ERRORES Hemos desarrollado: Sistemas numéricos: decimal, binario y hexadecimal. Representación interna de datos: números y caracteres. Presentaremos hoy: Nociones básicas de errores.

2 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los: MÉTODOS NUMÉRICOS Situación REAL NO SIEMPRE se requiere una RESPUESTA EXACTA MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar APROXIMACIÓN SOLUCIÓN ANALÍTICA:Puede NO tener Puede ser DIFÍCIL o COSTOSA (objetivos) MÉTODOS NUMÉRICOS Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL

3 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES MÉTODO NUMÉRICO Resolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando operaciones aritméticas SIMPLES. OBJETIVO Conjunto FINITO de reglas o instrucciones bien definidas, tal que, siguiéndolas paso a paso se obtiene la solución a un dado problema. ALGORITMO RECORDEMOS MÉTODO NUMÉRICO Es un ALGORITMO diseñado para dar respuesta problema con una PRECISIÓN prescripta. NUMÉRICA a un DIREMOS CÁLCULO NUMÉRICO EVALÚA los MÉTODOS NUMÉRICOS diseñados. OBJETIVO

4 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema, en el caso que existiera. DIREMOS ¿Qué tan PRECISOS (próximos a la solución exacta) son los resultados? O ¿Qué tanto ERROR se ha introducido? NOS PREGUNTAMOS Si el cálculo aproxima a la solución exacta:

5 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES TRATAMIENTO INFORMACIÓN RESUMIMOS ENTRADA INFORMACIÓN PROCESO INFORMACIÓN SALIDA INFORMACIÓN NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES DATOS MÉTODO NUMÉRICO RESULTADOS FUENTES DE ERROR Distintos ERRORES en cada ETAPA. ERROR Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL. ¿Cómo MEDIMOS el ERROR?

6 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES MAGNITUD DEL ERROR CUANTIFICAMOS el ERROR: Siendo V A una aproximación de V V, y V V el valor real, entonces: e = | V A – V V | e R = | ( V A – V V ) / V V |con la condición V V 0 ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO ABSOLUTO e P = 100.| ( V A – V V ) / V V |(%)con la condición V V 0

7 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES CIFRAS SIGNIFICATIVAS EJEMPLOS MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO Siendo V A una aproximación de V V (de la definición de ERROR RELATIVO) Si d es el mayor número natural tal que | ( V A – V V ) / V V | < 10 - d /2 V A es una aproximación a V V con d CIFRAS SIGNIFICATIVAS V A = 3.14 y V V = |(V A – V V )/V V | = < /2 V A es una aproximación a V V con 2 cifras significativas. V A = y V V = |(V A – V V )/V V | = < /2 V A es una aproximación a V V con 5 cifras significativas. V A = y V V = |(V A – V V )/V V | = 0.25 < /2 V A es una aproximación a V V con 0 cifras significativas.

8 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES PROCESO MÉTODO NUMÉRICO ALGORITMO COMPUTACIONAL FUENTES DE ERROR ERRORES ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo). Tiempo ERROR DE REDONDEO (espacio). ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA el MÉTODO. Es decir: TIEMPO FINITO (ALGORITMO) ESPACIO FINITO (COMPUTADORA) INTENCIONALMENTE al usar un ALGORITMO COMPUTACIONAL Introducimos restricciones: Espacio RIGUROSAMENTE: FINITO no alcanza. FINITO debe entenderse como RAZONABLE.

9 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL ERROR DE TRUNCAMIENTO SURGEN debido a la limitación en TIEMPO. Debemos realizar un número finito de acciones. EJEMPLOS: Evaluar funciones con la Serie de Taylor. Proceso iterativo convergente. Evaluar por intervalos. Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o intervalos TRUNCADOS. NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO TRUNCAR

10 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL ERROR DE REDONDEO SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la memoria ocupa espacio). Los números reales se representan por una INFINIDAD de dígitos. En MÁQUINA sólo podemos tener un representación FINITA. X = ± 0, d1 d2 d3 …. dm x 10 n, 1d19 y 0di9 d1 d2 d3 …. dm: mantisan: exponente Trabajamos con: fl(x) = ± 0, d1 d2 d3 …. dk x 10n Tenemos almacenado un REDONDEO del número real que difiere (ERROR) del número real.

11 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos = (redondeo truncado) = 1.000(redondeo simétrico) Errores REDONDEO TRUNCADO REDONDEO SIMÉTRICO El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida si la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Ejemplo: 1/3 + 2/3 = 1, su resolución mediante la calculadora puede llevarnos a un resultado diferente. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas se obtiene

12 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES ERROR NUMÉRICO TOTAL Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el intervalo. DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN INCREMENTO EN LA OTRA ERROR DE TRUNCAMIENTO ERROR DE REDONDEO Error de truncamiento Significanúmero de operaciones Error de redondeo

13 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES There are 10 types of people in the world: those who understand binary and those who don't. 2

14 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES { x 2 -3, x 2 -3, …, x 2 4, x 2 4 } Conjunto de todos los números reales positivos de la forma n pertenece al conjunto {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. MantisaExponente n=-3n=-2n=-1n=0n=1n=2n=3n= (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

15 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Por ejemplo que pasaría si en nuestra computadora de 4 cifras como describimos en los párrafos anteriores se realiza la operación (1/10 + 1/5) + 1/6?. Supongamos además que nuestra computadora redondea todos los números reales al número binario más próximo de los que dispone. La computadora debe decidir ahora cómo almacenar el número (2) x Supongamos que se redondea como (2) x El paso siguiente es

16 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Ahora la computadora decide como almacenar el número (2) x Puesto que suponemos que redondea, almacena (2) x 2 0. Por lo tanto, la solución a nuestro problema original es El error en el cálculo efectuado por la computadora es Equivalente a un error del 7% aproximadamente !!... (1/10 + 1/5) + 1/6 =? 1/10 + (1/5 + 1/6) ….

17 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Utilizando polinomios de Taylor analice el valor de exp(x) en funcion del numero de términos retenidos en la serie exp(1) (6 cifras significativas):

18 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Ejemplo ERROR DE REDONDEO x x + 1 = 0 Raíces aproximadas (7 cifras significativas): x 1 = , x 2 = Soluciones: Usando aritmética de 4 cifras (para forzar el error): Calculamos x 1 y x 2

19 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Considere la serie de Taylor para el seno(x) Para pequeños valores de x, solo un reducido numero de términos es necesario para obtener un buena solución. Valor verdadero = Valor suma + Error de truncamiento El valor del Error de truncamiento depende de x y del número de términos incluidos en Valor suma Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO

20 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Se puede demostrar que para cualquier serie alternante convergente el error de truncamiento es menor que el primer término despreciado Nótese que valores de x mayores a 0.5 aprox. el error aumenta rápidamente cuando x tiende a 1. El error máximo es de 3.54e- 06, lo cual esta en acuerdo con el error de truncamiento expresado anteriormente. En el caso de utilizar 5 términos siempre

21 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Si usamos 15 términos … El error por redondeo está controlando el comportamiento. Nótese de todas formas se logra todavía un resultado aceptable en el valor de la serie

22 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES sin(pi/6) Error de truncamiento sin(13pi/6) Potencia.vs. factorial potencia (x=pi/6) potencia (x=13pi/6)

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24 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES TRES IMPORTANTES CONSTANTES EN LA COMPUTADORA Estos tres valores definen el rango de números disponibles y la precisión de nuestra computadora realmax := máximo número (normalizado) E+308 realmin := minimo número (normalizado) E-308 valor positivo mas pequeño de forma tal que sumado a 1 se obtenga como resultado un valor mayor que 1 eps = = 0.00…..1 2 x 2 0 = E-16 # número de dígitos binarios = - log 2 (eps) = 52 # número de dígitos decimales = - log 10 (eps) 15.6

25 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES PROGRAM MACHINE_EPSILON IMPLICIT NONE REAL * 8 :: machEps = 1, tmp =1 PRINT *, "currEp, 1 + currEp" DO PRINT *, machEps, tmp + machEps IF (tmp + machEps == 1.0) EXIT machEps = machEps/2.0 END DO machEps = machEps*2 PRINT * PRINT *, "Calculated Machine epsilon: ", machEps ! Verify our calculation via the intrinsic F95 function EPSILON() PRINT *, "EPSILON(x) = ", EPSILON(machEps) END PROGRAM MACHINE_EPSILON

26 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES TRES ERRORES DE REDONDEO CRÍTICOS Cancelación Underflow Overflow sustracción de dos números casi iguales resultado más pequeño que realmin resultado más grande que realmax

27 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES 25 de Febrero Falla en el sistema de defensa Patriot (Irak) Reporte GAO/IMTEC Problema de software razón acumulación de errores de redondeo. (www.math.psu.edu/dna/455.f97/notes.html)www.math.psu.edu/dna/455.f97/notes.html 4 de Junio El cohete Ariane se auto destruye la corto tiempo del despegue. Causa del desastre un error de overflow. (www.rpi.edu/~holmes/NumComp/Misc/siam.ariane.html)www.rpi.edu/~holmes/NumComp/Misc/siam.ariane.html 1997 un error de redondeo es descubierto en los procesadores Pentium-II. Problema no solo de imagen de la empresa (INTEL) sino el costo del reemplazo de un gran numero de procesadores defectuosos. (x86.ddj.com/secrets/dan0441.htm)x86.ddj.com/secrets/dan0441.htm constantes de la computadora errores de redondeo críticos Errores Algunos datos …

28 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO Compare el resultado exacto (provisto por la función de librería) de: = con el que se obtiene al integrar los primeros términos de la serie asociada al integrando. Problema para el laboratorio Escriba un programa que le permita calcular el valor del coseno aproximándolo por su desarrollo en polinomios de Taylor alrededor de cero en orden creciente desde 1 hasta 4. Realice los cálculos para valores cercanos a 0, /2 y /4.

29 Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A. Unidad III – ERRORES Ejemplo ERROR DE REDONDEO x x + 1 = 0 Raíces aproximadas (7 cifras significativas): x 1 = , x 2 = Resolver la ecuación cuadrática Problema para el laboratorio Escriba un programa para sumar diez mil veces a la unidad usando simple precisión. Compare el resultado con el que se obtiene si implementa una estrategia de agrupamiento o si lo resuelve utilizando doble precisión.


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