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SISTEMA DIÉDRICO Distancias. Ejercicio Nº 1.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' dado al plano α=α1-α2, en verdadera magnitud y que esta sea minima.

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1 SISTEMA DIÉDRICO Distancias

2 Ejercicio Nº 1.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' dado al plano α=α1-α2, en verdadera magnitud y que esta sea minima.

3 1º Hallamos la 3º proyección α3 del plano α.

4 2º Hallamos la 3º proyección P del punto P= P'-P''.

5 3º Trazamos por P' una perpendicular al plano α3 y obtenemos el punto I. La distancia P- I es la pedida.

6 4º Hallamos las proyecciones I y I de la intersección. La distancia del punto al plano es la minima por ser la perpendicular del punto al plano.

7 Ejercicio Nº 2.- Hallar la distancia del punto P dado a una recta de perfil r dada por sus trazas.

8 1º Hallamos la 3º proyección r de la recta r.

9 2º Hallamos la 3º proyección P del punto P

10 3º Por P trazamos un plano auxiliar α3 perpendicular a la recta r, hallamos la intersección del plano α3 y la recta R punto I.

11 4º Hallamos las proyecciones vertical I y horizontal I del punto I.

12 5º Hallamos la distancia en verdadera magnitud. Unimos I y P (por ejemplo) por P trazamos una perpendicular a P-I y llevamos la distancia h=I-P es decir la cota de P menos la de I. La distancia en verdadera magnitud es d.

13 Ejercicio Nº 3.- Hallar la distancia de un punto dado A'-A'' de la LT a la recta r'-r''

14 1º Trazamos por el punto A-A el plano α 1 -α 2 perpendicular a la recta r-r.

15 2º Hallamos la intersección de r-r con el plano α 1 -α 2, mediante el plano proyectante δ 1 -δ 2 de r-r.

16 3º La intersección del plano α 1 -α 2 con el plano proyectante δ 1 -δ 2 es la recta i-i.

17 4º La intersección de la recta r-r con la recta i-i es el punto B-B.

18 5º La distancia entre el punto A-A y la recta r-r es el segmento AB-AB y en verdadera magnitud el segmento d.

19 Ejercicio Nº 4.- Hallar la distancia entre dos rectas r y s paralelas.

20 1º Situamos un punto P=P-P sobre la recta r-r.

21 2º Por el punto P=P-P trazamos una frontal perpendicular a la recta r-r y por lo tanto también a la recta s-s, hallamos la traza horizontal Hf de la frontal f-f.

22 3º Trazamos el plano α= α 1 -α 2 perpendicular a las rectas r-r y s-s y que pasa por el punto P- P. Es decir por Hf trazamos α 1 perpendicular a s y r por el punto de corte de α 1 con la LT trazamos α 2 perpendicular a ry s.

23 4º Hallamos la intersección de la recta s-s con el plano α= α 1 -α 2 mediante el plano proyectante δ de la recta s-s.

24 5º Por el punto de corte de α1 y δ1 trazamos una perpendicular a LT unimos el punto de corte con la LT con el punto de corte de α2 y δ2 y nos determina el punto I de corte con s, hallamos I y tenemos el punto de intersección de s-s con el plano α1-α2.

25 6º La distancia entre las rectas dadas r-r y s-s es la distancia d entre los puntos P-P y I-I. Unimos I y P por P trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la diferencia de cotas P menos I.

26 Ejercicio Nº 5.- Hallar la distancia entre dos planos paralelos α y β perpendiculares al 2º bisector.

27 1º Hallamos un punto cualquiera P-P del plano α1- α2, mediante la recta horizontal r-r.

28 2º Por el punto P-P trazamos una recta s-s perpendicular a los planos α=α1-α2 y β=β1-β2. La recta s-s es una recta perteneciente al 2º bisector.

29 3º.-Trazamos el plano δ 1 -δ 2 proyectante vertical de la recta s-s para hallar la intersección de s-s con el plano β=β1-β2.

30 4º Hallamos la intersección I-I de la recta s-s con el plano β=β1-β2 por medio del proyectante vertical δ1-δ2 de s-s.

31 5º La distancia entre los planos dados α=α 1 -α 2 y β=β 1 -β 2 es la distancia d entre los puntos P-P y I-I. Unimos I y P por P trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la diferencia de cotas I menos P.

32 Ejercicio Nº 6.- Hallar la distancia entre dos planos paralelos dados α y β.

33 1º Trazamos una recta perpendicular cualquiera r-r a los planos dados.

34 2º Hallamos la intersección de la recta r-r con los planos α=α 1 -α 2 y β=β 1 -β 2 mediante el plano proyectante δ 1 - δ 2.

35 3º La intersección de r-r y el plano α=α 1 -α 2 es el punto I-I.

36 4º La intersección de r-r y el plano β=β 1 -β 2 es el punto P-P.

37 5º La distancia entre los planos dados α=α 1 -α 2 y β=β 1 -β 2 es la distancia d entre los puntos P-P y I- I. Unimos I y P por P trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la diferencia de cotas I menos P.

38 Ejercicio Nº 7.- Hallar la verdadera longitud del segmento de la recta r comprendido entre los planos α y β.

39 1º Hallamos la intersección de la recta r=r-r con los planos α y β mediante el plano proyectante de r δ 1 - δ 2.

40 2º La intersección de δ 1 - δ 2 y β 1 - β 2 resulta el punto A-A al ser los planos proyectantes verticales los dos.

41 3º La intersección de δ 1 - δ 2 y α 1 - α 2 resulta la recta s-s pues δ 1 y α 1 se cortan en Hs, y δ 2 y α 2 se cortan en Vs que determinan la recta intersección s-s.

42 4º El punto de corte de la recta r-r y la recta s-s es el punto B-Bque es la intersección de la recta r-r y el plano α 1- α 2.

43 5º La distancia en verdadera magnitud del segmento de recta r-r comprendido entre los dos planos α y β es la distancia que existe entre los puntos A y B.

44 Ejercicio Nº 8.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' al plano α =A-B-C.

45 1º Hallamos las rectas r=r-r y s=s-sque determinan los puntos A-A, B-B y C-C.

46 2º Hallamos las trazas Hr-Vr y Hs-Vs de las rectas r=r-r y s=s-s.

47 3º Hallamos las trazas α 1 y α 2 del plano.

48 4º Por el punto P-P trazamos la recta t=t-t perpendicular al plano α 1- α 2.

49 5º Hallamos la intersección de la recta t-t perpendicular al plano α 1- α 2 mediante el plano proyectante de t-t, δ 1- δ 2. La intersección del plano α 1- α 2 y del δ 1- δ 2, nos determina la recta v-v.

50 6º Hallamos la intersección de la recta t-t y el plano α 1 - α 2, que es el punto de corte de la recta t-t y la recta v-v, punto I-I.

51 7º La distancia entre el punto P-P y el plano α 1 - α 2, es la que existe entre los puntos P-P y el I-I.

52 Ejercicio Nº 9.- Hallar la distancia de un punto dado P( 80; 15;15) a la recta del segundo bisector r que pasa por los puntos A(40; 0; 0) y B(0; 30; -30).

53 1º Trazamos la recta r-r que pasa por los puntos A-A y B-B.

54 2º Por el punto P-P trazamos la recta s-s frontal y perpendicular a la recta r-r, y hallamos la traza horizontal Hs.

55 3º Por la traza Hs trazamos el plano α 1 - α 2 perpendicular a la recta r-r.

56 4º Hallamos la intersección de la recta r-r con el plano α 1 - α 2 mediante el proyectante de r-r δ 1 -δ 2.

57 5º La intersección de la recta r-r con el plano α 1 - α 2 es el punto I-I.

58 6º La distancia (la minima) entre el punto P-P y la recta r-r, es la que existe entre los puntos P-P y el I-I.

59 Ejercicio Nº 10.- Hallar la distancia en verdadera magnitud, entre dos rectas r'-r'' y s'-s'' dadas cuyas proyecciones horizontales son paralelas.

60 1º Trazamos los planos proyectantes horizontales de las rectas planos α 1- α 2 y β 1- β 2, y vemos que son paralelos entre si, por lo tanto la distancia entre las rectas es igual a la distancia entre los planos.

61 2º Por un punto A-A de la recta r-r, trazamos la perpendicular t-t a los planos.

62 3º La recta t corta a s en el punto B hallamos B sobre t y por B trazamos la recta r 1 - r 1 paralela a r-r.

63 4º La recta r 1 - r 1 corta a s-s en el punto C-C.

64 5º Por C-C trazamos la recta v-v perpendicular común a los planos α 1 -α 2 y β 1 -β 2 que corta a la recta r- r en el punto D-D. Como la recta v-ves una horizontal el segmento viene dado en verdadera magnitud por su proyección horizontal. Con esto se comprueba que la distancia entre las rectas es la distancia entre los planos y viene dada en verdadera magnitud por la distancia entre las trazas horizontales α 1 y β 1.


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