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SISTEMA DIÉDRICO Ángulos. Ejercicio Nº 1.- Determinar el ángulo que forma la recta r=r'-r'' con los planos de proyección.

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1 SISTEMA DIÉDRICO Ángulos

2 Ejercicio Nº 1.- Determinar el ángulo que forma la recta r=r'-r'' con los planos de proyección.

3 1º Método: Por Abatimientos. 1º Hallamos las trazas de la recta VR y Hr.

4 2º El plano proyectante vertical que contiene a r se abate sobre el horizontal en este caso tomamos las traza Vr, pero sino podemos tomar cualquier punto de la recta r-r. Por la proyección horizontal de Vr trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la cota c del punto en este caso la traza Vr y obtenemos la traza abatida (Vr).

5 3º Unimos el punto Hr y el punto (Vr) y obtenemos la recta abatida sobre el horizontal. El ángulo que forman la proyección horizontal r y la recta abatida (r ) es el ángulo α que forma la recta con el plano horizontal.

6 4º El plano proyectante horizontal que contiene a r se abate sobre el vertical en este caso tomamos las traza Hr, pero sino podemos tomar cualquier punto de la recta r-r. Por la proyección vertical de Hr trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos el alejamiento a del punto en este caso la traza Hr y obtenemos la traza abatida (Hr).

7 5º Unimos el punto Vr y el punto (Hr) y obtenemos la recta abatida sobre el horizontal. El ángulo que forman la proyección vertical r y la recta abatida (r ) es el ángulo β que forma la recta con el plano vertical.

8 2º Método: Por Giros. 1º Hallamos las trazas de la recta VR y Hr.

9 2º Trazamos un eje e-evertical que pase por Vr.

10 3º Giramos la recta hasta llevarla sobre el PV. Es decir con centro en e y radio e-Hr, trazamos un arco de circunferencia para obtener Hr 1.

11 4º El ángulo α que forma la recta girada r 1 y la LT es el ángulo que forma la recta r con el PH.

12 5º Trazamos un eje horizontal e 1 -e 1 que pase por Hr.

13 6º Giramos la recta hasta llevarla sobre el PH. Es decir con centro en e 1 y radio e 1 -Vr, trazamos un arco de circunferencia para obtener Vr 1.

14 7º El ángulo β que forma la recta girada r 1 y la LT es el ángulo que forma la recta r con el PH.

15 3º Método: Por Cambios de Planos. 1º Hallamos las trazas de la recta VR y Hr.

16 2º Realizamos un cambio de plano vertical para transformar la recta en una frontal. La nueva LT será paralela a r.

17 3º Obtenemos las nuevas proyecciones de las trazas en este caso, pero podían ser otros puntos cualquiera. La proyección vertical de Hr sigue en la nueva LT por tener cota cero y la de Vr llevamos la cota c sobre la perpendicular y obtenemos V 1 r.

18 4º El ángulo α que forma la recta cambiada de plano y la nueva LT es el ángulo que forma la recta r con el PH.

19 5º Realizamos un cambio de plano horizontal para transformar la recta en una horizontal. La nueva LT será paralela a r.

20 6º Obtenemos las nuevas proyecciones de las trazas en este caso, pero podían ser otros puntos cualquiera. La proyección horizontal de Vr sigue en la nueva LT por tener alejamiento cero y la de Hr llevamos el alejamiento a sobre la perpendicular y obtenemos H 1 r.

21 7º El ángulo β que forma la recta cambiada de plano y la nueva LT es el ángulo que forma la recta r con el PV.

22 Ejercicio Nº 2.- Determinar el ángulo que forma la recta r paralela al 2º bisector con los planos de proyección.

23 1º Hallamos las trazas Vr y Hr de la recta.

24 2º Abatimos sobre el PV la traza horizontal Hr. Por el punto de corte de r con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Hr trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Hr).

25 3º Unimos Vr y (Hr) y obtenemos el ángulo β que forma la recta con el plano vertical.

26 4º Abatimos sobre el PH la traza horizontal Vr. Por el punto de corte de r con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Vr trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Vr). Unimos Hr y (Vr) y obtenemos el ángulo α que forma la recta con el plano horizontal.

27 Ejercicio Nº 3.- Hallar los ángulos que forma el plano α con los planos de proyección.

28 1º Trazamos la recta p-p de máxima pendiente por un punto cualquiera del plano (la proyección horizontal de la recta p es perpendicular a la traza horizontal α 1 del plano.

29 2º Abatimos sobre el PH la traza horizontal Vp. Por el punto de corte de p con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Vp trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Vp). Unimos Hp y (Vp) y obtenemos el ángulo α que forma la recta con el plano horizontal.

30 3º Trazamos la recta i-i de máxima inclinación por un punto cualquiera del plano (la proyección vertical de la recta i es perpendicular a la traza vertical α 2 del plano.

31 4º Abatimos sobre el PV la traza horizontal Hi. Por el punto de corte de i con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Hi trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Hi). Unimos Vi y (Hi) y obtenemos el ángulo β que forma la recta con el plano vertical.

32 5º Así quedaría con los dos ejercicios a la vez.

33 Ejercicio Nº 4.- Determinar el ángulo que forman las dos rectas r y s que se cortan así como la bisectriz del ángulo que forman.

34 1º Trazamos un plano Ω 2 paralelo al PH y que corta a las dos rectas. Para hallar el ángulo tenemos que abatir el plano que forman las dos rectas sobre uno de los planos de proyección o en nuestro caso sobre el Ω 2 paralelo al PH.

35 2º El plano Ω 2 corta a las rectas en los puntos A-A y B-B.

36 3º La recta A-B resulta el eje de abatimiento también llamada Charnela.

37 4º Por la proyección horizontal P de la intersección trazamos una paralela y una perpendicular a la charnela o eje de abatimiento.

38 5º Sobre la paralela llevamos la distancia h que es la que existe de P al plano Ω 2.

39 6º Hacemos centro en 1 y con radio 1-2 trazamos un arco de circunferencia que nos determina el punto (P) sobre la perpendicular que resulta el abatimiento del punto P.

40 7º Unimos (P) con A y con B y tenemos el ángulo α pedido que forman las dos rectas en verdadera magnitud.

41 8º Trazamos la bisectriz del ángulo α y determinamos el punto C sobre el eje.

42 9º Hallamos la proyección C sobre el plano Ω 2 y trazamos las proyecciones de la bisectriz b y b.

43 Ejercicio Nº 5.- Hallar el ángulo que forma el plano α y la recta de perfil r.

44 1º Hallamos un punto de la recta como es una recta de perfil, hallamos la tercera proyección y situamos un punto P sobre r.

45 2º Hallamos las proyecciones vertical P y horizontal P del punto P.

46 3º Por el punto P=P-P trazamos una perpendicular al plano α=α 1 -α 2. Por P perpendicular a α 1 y por P perpendicular a α 2. Como coinciden las dos trazas las proyecciones s,s son paralelas.

47 4º Hallamos la traza horizontal Hs de la recta s.

48 5º Determinamos la charnela o eje de abatimiento Ch, uniendo Hr con Hs.

49 6º Abatimos el punto P sobre el PH, trazamos por P una paralela y una perpendicular a la charnela, sobre la paralela llevamos la cota, hacemos centro en el punto 1 y radio 1-2 obtenemos (P).

50 7º Unimos (P) con Hr y tenemos la recta (r) abatida, si unimos (P) con Hs tenemos la recta (s) abatida el ángulo en (P) resulta el ángulo que forman las rectas r y s.

51 8º El ángulo complementario del forman las rectas (r) y (s) es el ángulo que forma la recta r y el plano α.

52 Ejercicio Nº 6.- Determinar el ángulo que forman el plan α y la recta r.

53 1º Hallamos la 3ª proyección del plano α 3.

54 2º Hallamos la 3ª proyección de la recta r.

55 3º El ángulo Ω formado por el plano α 3 y la recta r es en verdadera magnitud el formado por el plano α 1- α 2 y la recta r-r.

56 Ejercicio Nº 7.- Hallar las trazas del plano α, dada la traza α 1, si sabemos que las trazas forman entre si un ángulo de 40º.

57 1º Abatimos el plano α sobre el PH la traza abatida ( α 2 ) forma con la traza horizontal α 1 un ángulo dado de 40º.

58 2º Situamos un punto (A) sobre la traza abatida (α 2 ), por este punto trazamos una perpendicular a la traza horizontal α 1, y hallamos la proyección horizontal A.

59 3º Por A levantamos una perpendicular a la LT sobre la que se encontrara la proyección vertical A.

60 4º Trazamos un arco de circunferencia de centro O y radio O-(A), que determina la proyección vertical A.

61 5º Unimos A con el punto O y obtenemos la traza vertical α 2 del plano pedido.


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