SEMEJANZA.

Presentación del tema: "SEMEJANZA."— Transcripción de la presentación:

1 SEMEJANZA

2 La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.
Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.

3 ¿ Qué observas ? 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm

4 ¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”?
La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías : Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir: las dos fotografías son: Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 x 4 = 8 x 5 ¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?

5 Dos figuras son semejantes porque:
1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción. 2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los ángulos.

6 No son figuras semejantes

7 ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

8 ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.

9 Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

10 Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
B C 18m 15m 12m P Q R Multiplica cada uno de los lados por 3. x 3 Los lados del triángulo se han triplicado.

11 Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 AB BC AC PQ QR PR LADOS HOMÓLOGOS 11

12 Criterios de semejanza de triángulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

13 Existen tres criterios de semejanza de triángulos
AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

14 Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a = a´ , b = b´ de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´

15 ¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65° 25°
Q 25° 65° P R 65° 25° A B C ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

16 Segundo criterio: LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: = b b´ c c´ =K

17 Ejemplo : Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P
1,5 3,5 5 P Q R 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 3,5 7 5 10 = = = 0,5 Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre los lados correspondientes es constante Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

18 Tercer criterio:LAL y a = a’
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A’ B’ C’ A B C Es decir: a a’ = c c’ y a = a’ a´ Entonces D ABC semejante a D A’B’C’

19 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales
Ejemplo : ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 3 4 = 9 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES