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SISTEMA DIÉDRICO Intersecciones de planos y de rectas y planos.

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Presentación del tema: "SISTEMA DIÉDRICO Intersecciones de planos y de rectas y planos."— Transcripción de la presentación:

1 SISTEMA DIÉDRICO Intersecciones de planos y de rectas y planos

2 Ejercicio Nº 90 Hallar la intersección del plano α con el primer bisector.

3 1º Un punto de la intersección del plano α con el primer bisector es el punto B'-B''.

4 2º Para hallar otro punto trazamos una recta cualquiera r'-r'' que pertenezca al plano α, sabiendo que las trazas Vr y Hr se encuentran sobre las trazas homónimas del plano.

5 3º Hallamos la intersección de la recta r'-r'' con el primer bisector, por medio de la recta r1' simétrica de r' respecto a LT que corta a r'' en A'', hallando la otra proyección A' que nos permite trazar la recta i'-i'', que es la intersección del plano α con el 1º bisector.

6 Ejercicio Nº 91 Hallar la intersección de dos planos α y β cuando cada traza de uno coincide con la de nombre contrario del otro.

7 1º Un punto de la intersección de ambos planos es el punto O'-O''.

8 2º Para determinar otro punto trazamos dos rectas una que pertenece al plano α y otra al plano β. 3º Tomamos dos puntos el B'-B'' y el A'-A'' que pertenecen al plano α y determinan la recta r'-r''.

9 4º Tomamos otros dos puntos el C'-C'' y el D'-D'' que pertenecen al plano β y determinan la recta s'-s''.

10 5º Hallamos la intersección de ambas rectas punto I'-I'', que es otro punto de la intersección.

11 6º Unimos el punto I'-I'' con el otro punto O'-O'' y tenemos la recta intersección i'-i''

12 Ejercicio Nº 92 Hallar la intersección del plano α que pasa por LT y un punto A'-A'' y el plano β.

13 1º Un punto de intersección del plano α con el plano β es el punto O'-O''.

14 2º Para hallar otro punto trazamos un plano auxiliar 2 que pasa por A'' y hallamos la intersección de con los planos dados.

15 3º La intersección de con α, es la recta paralela a LT r'-r''.

16 4º La intersección de con β es la horizontal s'-s''.

17 5º El punto de intersección B'-B'' de r'-r'' y s'-s'' es otro punto de la intersección de ambos planos.

18 5º Unimos los puntos B'-B'' y O'-O'' que determinan la recta i'-i'' que es la intersección de ambos planos.

19 Ejercicio Nº 93 Hallar la intersección de dos planos α y β perpendiculares al 2º bisector y que se cortan en LT.

20 1º Un punto de la intersección de ambos planos es el punto I'-I''.

21 2º Para determinar otro punto trazamos un plano auxiliar paralelo al plano horizontal hallamos la intersección de este plano con el plano α y β. La intersección de α y es la recta horizontal r'-r'.

22 3º La intersección de β y es la recta horizontal s'-s''.

23 4º La intersección de r'-r'' y s'-s'' es el punto A'-A'', que es otro punto de la intersección de ambos planos.

24 4º Unimos el punto A'-A'', con el punto I'-I'' y nos determina la recta i'-i'' intersección de ambos planos.

25 Ejercicio Nº 94 Hallar la intersección de dos planos dados por sus rectas de máxima pendiente n'-n'' y m'-m''.

26 1º Hallamos las trazas de las rectas n'-n'' y m'-m'', puntos Vn-Hn y Vm-Hm.

27 2º Por Hn y Hm trazamos las perpendiculares a n' y m' que son las trazas horizontales de los planos α1 y β1, que deseamos hallar la intersección.

28 3º La intersección de las trazas horizontales α1 y β1 nos da el punto A'-A'' que es un punto de la intersección.

29 4º Determinamos otro punto mediante un plano auxiliar 2, que mediante las horizontales de plano h'-h'' y t'-t'' nos determina el punto B'-B''. (La intersección de 2 con α se determina mediante el punto de intersección de 2 con n'', Punto C'' determinamos la otra proyección C' y trazamos una paralela a α1 recta h'. La intersección de 2 con β se halla de la misma forma mediante la horizontal t'-t''.

30 5º El punto de intersección B'-B'' de h'-h'' y t'-t'' es otro punto de la intersección de ambos planos por lo tanto de la recta intersección i'-i'' que determinan los puntos A'-A'' y B'-B''.

31 Ejercicio Nº 95 Hallar la intersección de tres planos α, β y dados. α pasa por LT y un punto A'-A''; β es proyectante vertical y es perpendicular al 2º bisector.

32 La intersección de tres planos es un punto. Para determinarlo hallamos la intersección de dos planos que nos determina una recta y la intersección de otros dos que nos determina otra recta, el punto de corte de estas rectas es el punto de intersección. 1º Hallamos la intersección de β 1 -β 2 y que nos determina la recta r'-r''. Las trazas β 2 y 2 se cortan en el punto Vr, las trazas β 1 y 1 en el punto Hr que unidos nos da la recta r'-r''.

33 2º Para determinar la intersección de α y β, nos ayudamos del plano auxiliar f2. Trazamos por A'' el plano horizontal (paralelo al PH) f2,.

34 3º La intersección del plano f2, con el plano α es la recta s'-s'' paralela LT.

35 4º La intersección de f2 con el plano β es la recta de punta t'-t'' (perpendicular al PV).

36 5º Las rectas s'-s'' y t'-t'' se corta en el punto B'-B'' que es un punto que pertenece a los tres planos α, β y, como α y β se corta en el punto de LT, O'-O''. Unimos el punto B'-B'' con O'-O'' y tenemos la recta n'-n'' intersección de α y β.

37 6º El punto de intersección de las rectas r'-r'' y n'-n'' punto I'-I'' es el punto de intersección de los tres planos dados.

38 Ejercicio Nº 96 Hallar la intersección de la recta r y el plano α.

39 1º Trazamos un plano proyectante horizontal β1-β2 que pase por r'.

40 2º Hallamos la intersección del plano α con el proyectante β, que es la recta i'-i''.

41 3º La intersección de la recta r'-r'' con i'-i'' punto I'-I'' es el punto de intersección de la recta r'-r'' con el plano α.

42 Ejercicio Nº 97 Hallar la intersección de la recta r y el plano α.

43 Tenemos el plano α y la recta r, como la recta no corta a LT al plano proyectante de r solamente le podemos trazar la traza horizontal β1, la otra traza vertical β2 no la podemos trazar. 1º Trazamos la traza horizontal β1.

44 2º Trazamos la frontal t'-t'' del plano α

45 3º Trazamos la recta perpendicular al plano horizontal s'-s'' que corta en A'-A'' a la recta t'-t''. El punto A'-A'' es un punto de la intersección de plano α y del plano β.

46 4º Hallamos la intersección de los planos α y β, trazamos por el punto de corte de α1 y β1 la perpendicular a LT y unimos este punto con A'', la recta i'-i'' es la intersección de α y β.

47 5º El punto de corte de i'' con r'' es la proyección vertical de la intersección de la recta r con el plano α, punto I'' trazamos la perpendicular a LT y determinamos la proyección horizontal I' de la intersección de la recta r con el plano α. El punto I'-I'' es el punto de intersección de la recta con el plano.

48 Ejercicio Nº 98 Hallar la intersección de la recta r y el plano α.

49 1º Trazamos un plano proyectante de r en este caso el proyectante vertical β1- β2.

50 2º Hallamos la intersección de α y β, recta i'-i''.

51 3º La intersección de las rectas r'-r'' (prolongamos la recta r') con i'-i'' punto A'-A'' es un punto α.

52 Ejercicio Nº 99 Hallar la intersección de tres planos α, β y dados.

53 La intersección de tres planos es un punto. 1º Determinamos la intersección de α y β prolongando las trazas de ambos planos hasta que se corten. Donde α1 y β1 se cortan trazamos una perpendicular a LT, unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α2 y β2, por este punto trazamos otra perpendicular a LT y unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α1 y β1 y tenemos la recta r'-r'', recta de intersección de los planos α y β.

54 2º Determinamos ahora la intersección de α y prolongando las trazas hasta que se corten. Donde α1 y 1 se cortan trazamos una perpendicular a LT, unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α2 y 2 por este punto trazamos otra perpendicular a LT y unimos el punto de corte de la perpendicular y LT con el punto de corte de α1 y 1 y tenemos la recta s'-s'', recta de intersección de los planos α y.

55 3º Donde se cortan r'-r'' y s'-s'', punto I'-I'' es el punto de intersección de los tres planos.

56 Ejercicio Nº 100 Hallar la intersección de los planos a. y β

57 1º Los dos planos se cortan en el punto O'-O'', por lo que tenemos que hallar otro punto de la intersección.

58 2º Trazamos un plano auxiliar ? paralelo al PH (plano horizontal).

59 3º Hallamos la intersección del plano con el plano α recta m'-m'' y con el plano β, recta n'-n''.

60 4º La intersección de las rectas m'-m'' con n'-n'' punto A'-A'' es un punto de intersección de los planos.

61 5º Unimos el punto A'-A'' con el punto O'-O'' y obtenemos la intersección de los planos solicitada.

62 Ejercicio Nº 101 Hallar la intersección de una recta de punta r'-r'' con un plano α perpendicular al segundo bisector.

63 1º Trazamos un plano auxiliar β2 horizontal que pase por r''.

64 2º Hallamos la intersección de α y β, que nos da la recta s'-s''.

65 3º La intersección de las rectas s'-s'' y r'-r'', nos determina el punto I-I de intersección de la recta r'-r'' y el plano α1-α2.

66 Ejercicio Nº 102 Hallar la intersección de una recta r'-r'' con un plano determinado por su recta máxima inclinación n'-n'', sin utilizar las trazas del plano.

67 1º Trazamos el plano auxiliar α1-α2 proyectante horizontal de la recta r'-r''.

68 2º Trazamos las frontales del plano dado s'-s'' y t'-t'' que tienen que ser perpendiculares a la proyección vertical de la recta de máxima inclinación n'' y pasan por los puntos A'-A'' y B'-B'' respectivamente.

69 3º La intersección de las rectas s'-s'' y t'-t'' con la proyección horizontal de la recta r' nos determina los puntos C'-C''y D'-D'' que son puntos de la recta intersección i'-i'' de los planos. 4º Donde i'-i'' corta a r'-r'' nos determina el punto I'-I'' que es el punto pedido.

70 4º Donde i'-i'' corta a r'-r'' nos determina el punto I'-I'' que es el punto pedido.

71 Ejercicio Nº 103 Hallar la intersección de una recta de punta r'-r'' con un plano α perpendicular al segundo bisector.

72 1º Trazamos un plano auxiliar β2 horizontal que pase por r''.

73 2º Hallamos la intersección de α y β, que nos da la recta s'-s''.

74 3º La intersección de las rectas s'-s'' y r'-r'', nos determina el punto I-I de intersección de la recta r'-r'' y el plano α1-α2.

75 Ejercicio Nº 104 Hallar la intersección de una recta r de perfil definida por los puntos A y B con un plano que pasa por LT y un punto C. Dos métodos

76 Aplicamos la tercera proyección 1º Trazamos una recta cualquiera PP.

77 2º Por A', A'', B' y B'' trazamos paralelas a LT hasta cortar a la recta PP. Hacemos centro en O y radio O1 trazamos el arco de circunferencia hasta que corte a LT, desde el punto de corte trazamos la perpendicular a LT que corta en A'' a la paralela que trazamos por A'' que es la tercera proyección de A. Se repite el mismo procedimiento con el punto B y obtenemos B''', unimos A''' y B''' y tenemos r''' tercera proyección de la recta r.

78 3º Hacemos lo mismo con el punto C y obtenemos C''' tercera proyección de C, (por C' y C'' trazamos paralelas a LT hacemos centro en O con radio O2 hasta que corte a LT), seguidamente un perpendicular a LT y obtenemos C''' que unido con O nos determina el plano α3.

79 4º El punto de corte de α3 y r''' nos determina el punto de intersección I'''. Desabatimos I''' ( por I''' trazamos una paralela a LT que nos determina la proyección vertical I'', por I''' trazamos la perpendicular a LT punto 3 trazamos el arco de radio O3 hasta que corte a PP y después una paralela y obtenemos I'.

80 Por el método tradicional

81 1º Trazamos un plano cualquiera β que pase por la recta dada, mediante dos rectas que pasan por los puntos A'-A''y B'-B'', rectas s'-s'' y t'-t' que se cortan en el punto D-D.

82 2º Hallamos las trazas de ambas rectas Vt, Vs y Ht.

83 3º Trazamos las trazas del plano β1- β2.

84 4º Hallamos la intersección de α y β solamente tenemos el punto O'-O'',

85 5º Para determinar otro punto utilizando un plano auxiliar ?2 la intersección de α y es la recta x'-x'' y la de y β es la recta y'-y'. 2

86 6º La recta x'-x'' y la recta y'-y'', se cortan en el punto E'-E''..

87 7º Unimos el punto O'-O'' con el E'-E'' que es la recta i-i intersección de los planos α y β,

88 8º La recta i-i corta a la recta dada r'-r'' en el punto I'-I'' que es el punto buscado la intersección de la recta r'-r'' con el plano α1 – α2.


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