Evolución de interfases fluidas: gotas

Presentación del tema: "Evolución de interfases fluidas: gotas"— Transcripción de la presentación:

1 Evolución de interfases fluidas: gotas
Marco Antonio Fontelos Universidad Rey Juan Carlos

2 Primera Clase Segunda Clase 1.1.- Las Ecuaciones
1.2.- Soluciones de equilibrio y su estabilidad 1.3.- Una restricción geométrica a la ruptura de interfases 1.4.- El modelo unidimensional y ruptura autosimilar Segunda Clase 2.1.- La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos 2.2.- Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico 2.3.- La estructura de gotas-en-alambre 2.4.- Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

3 1.1. Las Ecuaciones

4 Fluido 1 Interfase Fluido 2 n Fluido 1 Interfase Fluido 2

5 Caso de un solo fluido (ocupando )
(en ) C.C. (en ) Cinemát. (en )

6 La condición cinemática en un dominio axisimétrico
h(z,t) z del fluido

7 La curvatura de un Dominio axisimétrico R2 s

8 1.2. Soluciones de equilibrio y su estabilidad

9

10 Ecuación y cond. de contorno:
Reescale: z g Ecuación y cond. de contorno:

11 Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

12 Ecuación y cond. de contorno:
Reescale: Ecuación y cond. de contorno: Inestable. Wente 1980

13 Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

14 g Extremos de E con S Superficies capilares:
R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces

15 La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879)
Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional Ley de Bernoulli: En la frontera:

16 Pequeñas perturbaciones del cilindro:

17 Inest. de Rayleigh Savart 1833 G(x) x Caso viscoso, Chandrasekhar 1961.

18 La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879)

19 Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)
Kowalewski, 1996 Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)

20 1.3. Una restricción geométrica a la ruptura de interfases
A. Córdoba, D. Córdoba, C. Fefferman, MAF (2002)

21 h(t) Simetría cilíndrica, sin gravedad, sin contacto con sólidos. -L L

22 Nota:

23 Entonces: Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente

24 1.- Un solo fluido 1) 2)

25 2.- Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad,
Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno. Obtenemos así la siguiente identidad de energía: 2.- Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan todas las demás:

26 3.- En un disco de radio R se tiene
Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos Cauchy-Schwarz en el término de la derecha: Por 1) y 2) entonces

27 1.4. El modelo unidimensional y ruptura autosimilar
(J. Eggers, T. Dupont, 1993)

28 El límite unidimensional
Navier-Stokes (axisimétricas) t D L Condiciones de contorno Condición cinemática z

29 n Navier-Stokes (axisimétricas) t D L Condiciones de contorno Condición cinemática z

30 Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula:
Entonces: N-S p0 v2 C.C. Cin.

31 Sistema Unidimensional:
Deshacemos el cambio para h y para z. Introducimos: Sistema Unidimensional:

32 Rutland & Jameson, 1971

33 Solución numérica del sistema (perfiles)
h(z,t)

34 Solución numérica del sistema (velocidades)
v(z,t)

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36 Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999

37 La ruptura para un fluido no viscoso
Day et al. 1998

38 2.1. La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos

39 Rothert, Richter, Rehberg, 2001

40 hmin tiempo I II III IV

41 MAF 2001

42 Etapa I

43 Etapa II

44 Etapa III Imponemos y entonces

45 Similaridad de 2º tipo (Barenblatt)
Papageorgiou, 1994

46 Filamentos iterados: Etapa IV ¿Ruptura autosimilar?
Shi, Brenner, Nagel, 1994

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48 2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico

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50 Viscosidad vs. esfuerzo
Efecto Weissenberg F g Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.

51 Leyes Constitutivas Fluido Newtoniano Fluido viscoelástico (Oldroyd-B)

52 2.3. La estructura de gotas-en-alambre
J. Eggers, J. Li, MAF (2002)

53 Goldin et al., 1969 Gotas en alambre Migración y colisión de gotas McKinley et al., 2001 - Radio: hmin=h0exp(-At)

54 El modelo unidimensional para fluidos viscoelásticos

55 Modelo local Coord. Lagrang.

56 Soluciones estacionarias
Filamento:

57 La estabilidad del filamento

58 Ondas viajeras Factor integr. R>>F0 , F0<<1

59 Evolución de un filamento

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61 Perfiles e-(t/3D) e-(t/3D)

62 e-(t/3D) Velocidad

63 e(t/3D) e-(t/3D) Esfuerzo elástico

64 El cuello t>>1

65 Matching con la gota

66 Matching con el filamento

67 Experimentos C. Clasen, G. McKinley (2002)

68 Log(hmín) -t/3D Régimen exponencial Régimen lineal (hmín)

69 2.4. Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

70 Extensibilidad infinita:
Extensibilidad finita: Q+Qeq Ext. infinita Oldroyd B Ext. finita FENE (finitely extensible nonlinear elastic) log(hmin) t

71 Problemas 1.- Existencia y unicidad de soluciones hasta el punto de ruptura (sistemas unidimensional y tridimensional). 2.- Justificación del límite unidimensional a partir del modelo tridimensional (shallow waters). 3.- Demostración de la existencia de las soluciones autosimilares del modelo unidimensional. 4.- Existencia de ruptura en tiempo finito para el caso tridimen- sional y descripción completa del mecanismo. Estabilidad. 5.- Mecanismo de formación de filamentos iterados. 6.- Algoritmos numéricos que resuelvan la singularidad. 7.- Idénticas cuestiones en el caso de los fluidos viscoelásticos. 8.- Efectos “finos” de los polímeros (varias frecuencias de oscila- ción, efectos de enrollamiento, etc.) en la dinámica y observa- ción experimental.

72 Ejercicio 1. Hallar la relación entre
longitud de onda y velocidad de las ondas gravitatorio-capilares generadas en un contenedor de altura media H. h(x,t) H y vy(x,0)=0 x

73 Ejercicio 2. Las ecuaciones para una película plana delgada, en la
aproximación unidimensional, con simetría en una dirección, y bajo la acción de fuerzas de Van der Waals, son las siguientes: (Vaynblat et al. 2001). i) Estudiar la estabilidad de una película de espesor constante. ii) Proponer mecanismos autosimilares de ruptura y deducir los sistemas de EDOs correspondientes. h(x,t) x

74 g z

75

76 NOTA: NOTA:

77 NOTA: NOTA: