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Evolución de interfases fluidas: gotas Marco Antonio Fontelos Universidad Rey Juan Carlos.

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Presentación del tema: "Evolución de interfases fluidas: gotas Marco Antonio Fontelos Universidad Rey Juan Carlos."— Transcripción de la presentación:

1 Evolución de interfases fluidas: gotas Marco Antonio Fontelos Universidad Rey Juan Carlos

2 Primera Clase Las Ecuaciones Soluciones de equilibrio y su estabilidad Una restricción geométrica a la ruptura de interfases El modelo unidimensional y ruptura autosimilar Segunda Clase La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico La estructura de gotas-en-alambre Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

3 1.1. Las Ecuaciones

4 Fluido 1 Fluido 2 Interfase n Fluido 1 Fluido 2 Interfase

5 Caso de un solo fluido (ocupando ) N-S (en) C.C. (en ) Cinemát. (en )

6 La condición cinemática en un dominio axisimétrico z h(z,t) n del fluido

7 s R2R2 La curvatura de un Dominio axisimétrico

8 1.2. Soluciones de equilibrio y su estabilidad

9

10 Reescale: Ecuación y cond. de contorno: g z

11 Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

12 Reescale: Ecuación y cond. de contorno: Inestable. Wente 1980

13 Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

14 g S Extremos de E con Superficies capilares: R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces

15 La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879) Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional Ley de Bernoulli: En la frontera:

16 Pequeñas perturbaciones del cilindro: R

17 G(x) x Caso viscoso, Chandrasekhar Savart 1833 Inest. de Rayleigh

18 La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879) R

19 Kowalewski, 1996 Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)

20 1.3. Una restricción geométrica a la ruptura de interfases A. Córdoba, D. Córdoba, C. Fefferman, MAF (2002)

21 -LL h(t) Simetría cilíndrica, sin gravedad, sin contacto con sólidos.

22 Nota:

23 Entonces: Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente

24 1) 2) 1.- Un solo fluido

25 Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad, Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno. Obtenemos así la siguiente identidad de energía: Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan todas las demás: 2.-

26 En un disco de radio R se tiene Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos Cauchy-Schwarz en el término de la derecha: 3.- Por 1) y 2) entonces

27 1.4. El modelo unidimensional y ruptura autosimilar (J. Eggers, T. Dupont, 1993)

28 D L El límite unidimensional z n t Navier-Stokes (axisimétricas) Condiciones de contorno Condición cinemática

29 D L z n t Navier-Stokes (axisimétricas) Condiciones de contorno Condición cinemática

30 Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula: Entonces: N-S C.C. Cin. p0p0 v2v2

31 Deshacemos el cambio para h y para z. Introducimos: Sistema Unidimensional:

32 Rutland & Jameson, 1971

33 Solución numérica del sistema (perfiles) h(z,t)

34 Solución numérica del sistema (velocidades) v(z,t)

35

36 Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999

37 La ruptura para un fluido no viscoso Day et al. 1998

38 2.1. La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos

39 Rothert, Richter, Rehberg, 2001

40 tiempo h min IIIIIIIV

41 MAF 2001

42 Etapa I

43 Etapa II

44 Etapa III Imponemos y entonces

45 Papageorgiou, 1994 Similaridad de 2º tipo (Barenblatt)

46 Filamentos iterados: Shi, Brenner, Nagel, 1994 Etapa IV ¿Ruptura autosimilar?

47

48 2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico

49

50 Efecto Weissenberg Viscosidad vs. esfuerzo g F Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.

51 Fluido Newtoniano Fluido viscoelástico (Oldroyd-B) Leyes Constitutivas

52 2.3. La estructura de gotas-en-alambre J. Eggers, J. Li, MAF (2002)

53 Goldin et al., 1969 McKinley et al., Gotas en alambre - Migración y colisión de gotas - Radio: h min =h 0 exp(-At)

54 El modelo unidimensional para fluidos viscoelásticos

55 Modelo local Coord. Lagrang.

56 Soluciones estacionarias Filamento:

57 La estabilidad del filamento

58 Ondas viajeras Factor integr. R>>F 0, F 0 <<1

59 Evolución de un filamento

60

61 e -(t/3D) Perfiles

62 Velocidad e -(t/3D)

63 Esfuerzo elástico e -(t/3D) e (t/3D)

64 El cuello t>>1

65 Matching con la gota

66 Matching con el filamento

67 C. Clasen, G. McKinley (2002) Experimentos

68 Log(h mín ) Régimen exponencialRégimen lineal (h mín ) -t/3D

69 2.4. Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

70 Q+Q eq Extensibilidad finita: Extensibilidad infinita: Ext. infinita Oldroyd B Ext. finitaFENE (finitely extensible nonlinear elastic) log(h min ) t

71 1.- Existencia y unicidad de soluciones hasta el punto de ruptura (sistemas unidimensional y tridimensional). 2.- Justificación del límite unidimensional a partir del modelo tridimensional (shallow waters). 3.- Demostración de la existencia de las soluciones autosimilares del modelo unidimensional. 4.- Existencia de ruptura en tiempo finito para el caso tridimen- sional y descripción completa del mecanismo. Estabilidad. 5.- Mecanismo de formación de filamentos iterados. 6.- Algoritmos numéricos que resuelvan la singularidad. 7.- Idénticas cuestiones en el caso de los fluidos viscoelásticos. 8.- Efectos finos de los polímeros (varias frecuencias de oscila- ción, efectos de enrollamiento, etc.) en la dinámica y observa- ción experimental. Problemas

72 Ejercicio 1. Hallar la relación entre longitud de onda y velocidad de las ondas gravitatorio-capilares generadas en un contenedor de altura media H. H x h(x,t) y v y (x,0)=0

73 Ejercicio 2. Las ecuaciones para una película plana delgada, en la aproximación unidimensional, con simetría en una dirección, y bajo la acción de fuerzas de Van der Waals, son las siguientes: i) Estudiar la estabilidad de una película de espesor constante. ii) Proponer mecanismos autosimilares de ruptura y deducir los sistemas de EDOs correspondientes. (Vaynblat et al. 2001). x h(x,t)

74 g z

75

76 NOTA:

77


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